Алексей Лобанов - Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Все авторские права соблюдены. Напишите нам, если Вы не согласны.
Описание книги "Энциклопедия финансового риск-менеджмента"
Описание и краткое содержание "Энциклопедия финансового риск-менеджмента" читать бесплатно онлайн.
1. Если случайная величина ξ распределена нормально с плотностью
2. Плотность нормально распределенной случайной величины симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины, т. е. асимметрия a(ξ) = 0.
В частности,
Эксцесс нормального распределения всегда равен 3.
3. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина будет отличаться от своего ожидаемого значения на величину, не превышающую одного, двух или трех ее стандартных отклонений, равна 68,3, 95,5 и 99,75 % соответственно.
Пример 1.54. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7 % и стандартным отклонением 4 %.
Вероятность того, что реализуемая доходность окажется:
4. Если случайная величина ξ распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина
распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартное нормальное распределение.
Пример 1.55. Менеджер считает, что стоимость управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн долл. и стандартным отклонением 2 млн долл. Его интересует, какова вероятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн и 11 млн долл.
В данном случае
Пример 1.56. Предположим, что в условиях примера 1.55 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95 %. Иными словами, требуется найти интервал
Тогда Ф(z) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Значит, y = z · S = 1,96 · 2 млн долл. = 3,92 млн долл.
Искомый доверительный интервал: (6,08 млн долл.; 13,92 млн долл.).
1.22.4. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение
Говорят, что положительная случайная величина ξ распределена логнормально (lognormal distribution), если ln ξ имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид:
График плотности логнормального распределения приведен на рис. 1.25.
Свойства логнормального распределения1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрией (positively skewed), а при малых значениях S = σ(lnξ) близко к нормальному распределению.
2. Если случайная величина ξ имеет логнормальное распределение с параметрами а и S, то
Пример 1.57. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.
3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.
1.22.5. Распределение х2 (хи-квадрат)
Говорят, что случайная величина z имеет распределение х2 (chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.
Свойства распределения X2Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:
Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом:
Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96 % можно найти из условия
1.22.6. Распределение Стьюдента
Распределение вероятностей случайной величины
называется распределением Стьюдента (Student’s t-distribution) с n степенями свободы, если случайные величины ξ и η независимы, ξ имеет стандартное нормальное распределение, а η – распределение х2 с n степенями свободы.
Свойства распределения Стьюдента1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, то
Асимметрия распределения Стьюдента равна 0.
2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом распределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.
3. Критическим значением распределения Стьюдента с и степенями свободы называют число ta(n), удовлетворяющее условию:
где α – заданная вероятность.
Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.
4. Если случайные величины ξ1, ξ2…., ξn взаимно независимы и распределены нормально с параметрами (а, σ), то случайная величина
Пример. 1.59. В условиях примера 1.58 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95 %.
Так как
Согласно табл. 1.3, критическое значение распределения Стьюдента t0,025(9) = 2, 262.
Следовательно,
Таким образом, с надежностью 95 % ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67 %.
1.22.7. Гамма-распределение
Плотность гамма-распределения Г(α, γ) имеет следующий вид:
1.22.8. Бета-распределение
Плотность бета-распределения В(α, β) записывается в виде:
Если случайная величина ξ имеет бета-распределение В(α, β), то
1.22.9. Двумерное нормальное распределение
Плотность двумерного нормального распределения имеет следующий вид:
Свойства двумерного нормального распределения
1.23. Расчет волатильности финансовых показателей на основе исторических данных
Волатильность, или изменчивость (volatility), финансовых показателей играет очень важную роль в управлении финансовыми рисками.
Пусть Yt – некоторый финансовый показатель (например, цена или доходность некоторого финансового инструмента), наблюдаемый в день t, t = 0, 1, 2, …, T. Положим
Случайная величина Xt представляет собой натуральный логарифм относительного изменения этого показателя за один день, выраженный в процентах. Тогда дневную волатильность данного показателя можно оценить следующим образом:
Иными словами, дневная волатильность принимается равной стандартному отклонению логарифма относительного изменения финансового показателя за один день.
Пример 1.60. В течение 11 последовательных рабочих дней биржи определялась доходность 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами. Расчет дневной волатильности доходности на основе этой информации приведен ниже.
Таким образом, дневная волатильность доходности 30-летних облигаций с нулевыми купонами оценивается в 0,70 %.
Если случайные величины Xt не коррелируют между собой, то, зная дневную волатильность доходности финансового инструмента, можно оценить волатильность доходности этого инструмента за данный период времени:
В частности, для того чтобы определить годовую волатильность, необходимо для каждого конкретного случая правильно определить число рабочих дней в году. Число рабочих дней в году может быть равным 250, 260 или 365.
Пример 1.61. В примере 1.60 была найдена дневная волатильность доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами: σдн = 0,70147.
Ниже указана годовая волатильность доходности при разных оценках числа дней в году:
Предположим, что в данный момент времени доходность финансового инструмента равна r. Можно считать, что доходности за один день распределены логнормально с параметрами 0 и σдн. Если логарифмы относительных изменений доходности не коррелируют между собой, то отношение доходности через год к доходности г будет распределено также логнормально, но с параметрами (0, σгод). Следовательно, сама доходность финансового инструмента через год должна иметь логнормальное распределение с параметрами (ln r, σгод).
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!
Похожие книги на "Энциклопедия финансового риск-менеджмента"
Книги похожие на "Энциклопедия финансового риск-менеджмента" читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Отзывы о "Алексей Лобанов - Энциклопедия финансового риск-менеджмента"
Отзывы читателей о книге "Энциклопедия финансового риск-менеджмента", комментарии и мнения людей о произведении.