Алексей Лобанов - Энциклопедия финансового риск-менеджмента

• Название: Энциклопедия финансового риск-менеджмента
• Автор: Алексей Лобанов
• Жанр: Управление, подбор персонала
• Год: 2019
• ISBN: 978-5-9614-2284-9

Эта книга – первое в России издание учебно-энциклопедического характера, в котором в соответствии с международными стандартами освещаются основные вопросы финансового риск-менеджмента. Издание дополнено новыми материалами по организационным аспектам риск-менеджмента, моделям эволюции процентных ставок, рискам страхования банковских вкладов и анализу макроэкономических рисков. Рассмотрены современные методы количественной оценки и управления финансовыми рисками, теория экстремальных значений, соглашения о форвардной процентной ставке и др. Дан систематизированный обзор методов количественного анализа, используемых в риск-менеджменте, моделей ценообразования и стратегий применения производных финансовых инструментов. Приведен обзор основных положений Нового базельского соглашения по капиталу 2004 г., выполненных на основе последней редакции соглашения от ноября 2006 г. Книга предназначена для профессионалов, непосредственно занимающихся оценкой и управлением рисками, преподавателей, студентов и аспирантов экономических факультетов вузов. Она также может использоваться для подготовки к сдаче международных экзаменов по финансовому риск-менеджменту на получение сертификатов Financial Risk Manager (FRM®) и Professional Risk Manager (PRM®).

---

Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет определяться следующими двумя факторами: кривой доходностей казначейских облигаций через 6 месяцев и спредом между доходностями корпоративных и казначейских облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и следующей информацией:

Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло.

Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0,12 для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских облигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8 %, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения 15 и 25 лет – 9 и 9 %.

Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев определяются следующим образом:

Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна -3,905 %, а наибольшая реализуемая доходность составляет 24,97 %.

Разделив отрезок [-3,905 %; 24,97 %] на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.

Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятностей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и т. д.

1.26. Случайные процессы и их основные характеристики

Дано основное вероятное пространство

где Ω – пространство элементарных событий;

β – σ-алгебра случайных событий;

Р – вероятностная мера.

Рассмотрим некоторое числовое множество V, элементы которого в дальнейшем будем считать моментами времени.

Функция ξ(w, t) двух переменных w ∈ Ω и t ∈ V называется случайным процессом (stochastic process), определенным на множестве V, если для любых t ∈ V и x ∈ R (R – множество всех действительных чисел) множество

т. е. является случайным событием.

Из условия (1.70) следует, что если на множестве V определен случайный процесс ξ(w, t), то каждому моменту времени t ∈ V поставлена в соответствие случайная величина ξt(w) = ξ(w, t). Случайная величина ξt(w) называется сечением случайного процесса в момент времени t.

Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный процесс, достаточно каждому моменту времени t ∈ V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ξt(w) – сечение этого случайного процесса. В силу этого случайный процесс можно обозначить как ξt(w) или просто ξt.

Если на множестве V задан случайный процесс ξ(w, t), то при каждом фиксированном элементарном событии w ∈ Ω мы имеем функцию одного переменного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траекторией, или реализацией, случайного процесса ξ(w, t).

Пример 1.68. Рассмотрим случайный процесс

Сечением данного случайного процесса в момент времени t = 2 является случайная величина 2η(w) + 1. Траектории случайного процесса ξ(w, t) изображены на рис. 1.27.

Пример 1.69. Случайный процесс на [0, +∞) определен следующим образом:

Сечением случайного процесса ξ(w, t) в момент времени t является случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной P{η(w) > t}, и значение 2 с вероятностью, равной P{η(w) ≤ t}.

Траектория случайного процесса ξ(w, t) имеет вид, изображенный на рис. 1.28. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математическое ожидание и дисперсия.

Пример 1.70. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного процесса из примера 1.68.

Пример 1.71. Рассмотрим случайный процесс из примера 1.69, считая, что случайная величина η(w) распределена показательно с плотностью

Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации (которая, вообще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы.

1.27. Важнейшие виды случайных процессов

1.27.1. Случайное блуждание

Сечением случайного блуждания в момент времени t0 + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

Траектории случайного блуждания изображены на рис. 1.29 (точками выделена одна из траекторий).

Случайное блуждание α (w, t) обладает независимыми приращениями, причем

1.27.2. Биномиальная модель

Случайный процесс β(w, t), определенный на множестве

называется биномиальной моделью (binominal model), если

Сечением биномиальной модели в момент времени t0 + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

Траектории биноминальной модели изображены на рис. 1.30.

Если случайный процесс β (w, t) является биномиальной моделью с параметрами u, d, p, то

Приращения биномиальной модели, вообще говоря, не являются независимыми. Однако случайный процесс ln β (w, t) имеет независимые приращения.

Случайное блуждание и биноминальная модель относятся к случайным процессам с дискретным временем (discrete time process). Важнейшим примером случайного процесса с непрерывным временем (continuous time process) является винеровский случайный процесс.

1.27.3. Винеровский случайный процесс

Случайный процесс w(w, t), определенный на промежутке [t0, +∞), называется винеровским случайным процессом (Wienerprocess), если выполняются следующие условия:

Для моделирования траекторий винеровского случайного процесса w (w, t) на заданном промежутке времени [t0, Т] можно применить метод Монте-Карло.

Сам винеровский случайный процесс редко используется для моделирования финансовых показателей, так как имеет постоянное математическое ожидание. Однако на основе винеровского процесса строятся почти все случайные процессы, используемые в настоящее время для моделирования различных финансовых показателей.

1.28. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях

Стохастическим дифференциальным уравнением (stochastic differential equation) называется уравнение вида

Решением стохастического дифференциального уравнения (1.71) на промежутке [t, Т] называется случайный процесс х (w, τ), удовлетворяющий следующим условиям:

Любое решение стохастического дифференциального уравнения (1.71), удовлетворяющее некоторому начальному условию

В частности, геометрическим броуновским движением (geometric Brownian motion) является случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению:

Геометрическое броуновское движение, определяемое условиями (1.74) и (1.75), можно найти в явном виде:

Свойства геометрического броуновского движения

Во многих случаях можно считать, что эволюция цены финансовых активов описывается геометрическим броуновским движением. Такое моделирование оказывается достаточно точным, например, в случае обыкновенных акций.

Пример 1.72. Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40 %. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц.

Эволюцию цены Вτ облигации с нулевым купоном можно описывать с помощью геометрического броуновского движения, лишь когда до погашения облигации остается достаточно много времени. Действительно, в момент погашения Т ее цена всегда равна номиналу, т. е. известна достоверно. Это означает, что и зависимость от времени должна иметь вид, изображенный на рис. 1.31.