Грег Иган - Лестница Шильда, роман

• Название: Лестница Шильда, роман
• Автор: Грег Иган
• Издательство: "М.И.Ф."
• Жанр: Научная Фантастика

В результате неудачного научного эксперимента самопроизвольно образовался новый тип пространства — «ново-вакуум», который совершенно необъяснимо начал расширяться во все стороны с полусветовой скоростью, поглощая всю «обычную» материю на своем пути. Среди человечества возникают два лагеря: одни пытаются найти способ уничтожить эту угрозу, а другие — изучить и понять.

Тем более, что, возможно, люди, сами того не осознавая, только что создали новую вселенную…

Greg Egan. Schild's Ladder. 2002.

Перевод с английского: Конрад Сташевски.

(Неофициальное электронное издание)

---

Спиновые сети представляют собой обобщение этой идеи, но сравнение производится более сложным образом. Каждому ребру спиновой сети приписывают значение спина j. Можно представить себе параллельный перенос частиц вдоль каждого ребра, так что их суммарный спин соответствует j. В каждом узле вычисляется амплитуда, которой выражено различие спиновых состояний на входе и выходе. Произведение амплитуд всех узлов дает общий спин сети, зависящий от геометрии пространства, куда погружены ребра сети.

Общие значения спина на ребрах недостаточно полно описывают спиновое состояние частиц: сохраняется произвол при выборе значений m, компоненты спина вдоль оси Z. Трудность в том, что, если задаться определенным значением этой компоненты (скажем, принять m = j для всех ребер), то для каждого типа геометрии амплитуды будут зависеть от ориентации оси Z. Тем не менее существует простой способ превозмочь эту проблему: если просуммировать амплитуду сети по всем возможным комбинациям значений m, где т пробегает диапазон значений — j…+ j на каждом ребре, получим величину, полностью независимую от выбора ориентации.

С использованием этой суммы спиновая сеть позволяет определить состояние квантовой геометрии, характеризующееся ценным свойством, а именно калибровочной инвариантностью: амплитуда не зависит от способа измерения, но только от геометрии пространства внутри сети.

На моем сайте доступен:

http: //gregegan.customer.netspace.net.au/SCHILD/Spin/Spin.html ,

 где для разных геометрий построены различные состояния спиновых сетей.

Математические тонкости: голономия

Эффект параллельного переноса вектора по определенному маршруту можно представить в виде карты линий, соединяющих касательные пространства в начальной и конечной точках маршрута. Говорят, что для этого пути наблюдается голономия, выраженная вращением R. Семейство геометрий, для которых вышеуказанный апплет вычисляет эволюцию спиновой сети, характеризуется простым правилом: параллельный перенос по прямой из точки (х0, у0, z0) в точку (x1,y1,z1) поворачивает вектор вокруг оси а на угол, равный магнитуде a, причем

a = k(y0z1 — z0y1, z0x1 - x0z1, x0y1 - y0x1)

и k — параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром € в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол

Θloop = 2€2k.

Эффект голономии для частицы с общим спином j определяется унитарной матрицей Uj. Ее можно получить, использовав соответствующее представление SU(2)- гомоморфизм из группы SU(2) в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы.[127]

Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином 1/2).Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения т в начале и конце ребра:

acdge(ms, mc) = [jmc|Uj(R)|jms]

Для любого вращения RUj (R) действует на дуальные векторы так, что

Uj*(R)|jm| = |jm|Uj (R)-1

Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j1,j2, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j3. Их можно сравнить посредством линейной карты С между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:

anode(m1, m2, m3) = [j3m3|C(|j1 m1] × |j2 m2])

Карта С нужна, чтобы эффекты произвольного вращения R коммутировали между собой:

C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) = Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2])

При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:

anode(m1, m2, m3) = (Uj3(R)[j3m3|)C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) =

= [j3m3|Uj3-1(R)Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2]) = j3m3|C(|j1 m1 × |j2 m2])

Требуя, чтобы С удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты С представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.

Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям т в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σm-edgesm = mout-edge, можнопостроить полную спиновую сеть.

Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.

На языке теории групп можно назвать карту С сплетением двух представлений группы U(2) — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления с предметом, помимо {1} и {2}, рекомендую работу Джона Баэза Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036.

Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте http:// jdc. math. two. ca/spin-foams.

[Страничка эта последнее время не обновляется, но многие ссылки актуальны. Доступный начинающим обзор публикаций, вышедших после написания «Лестницы Шильда», можно почерпнуть в лекциях по квантовой гравитации, прочитанных Ли Смолиным в 2011 г. на Закопанской конференции: http: //arxiv.org/abs/1102.3660v5].

Математические тонкости: как декогеренция подавляет распад ложного вакуума [128]

За десять лет, минувших после выхода в свет «Лестницы Шильда», в петлевой квантовой гравитации и геометрической физике наметился определенный прогресс в исследованиях пространств с множественными взаимодействующими вакуумными состояниями и влияния декогеренции на космологические процессы в крупномасштабной структуре Вселенной. Многие предсказания и гипотезы, сформулированные Иганом, в этих работах нашли превосходное подтверждение.