Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Человек — песчинка в мироздании. Мы странники в бескрайних просторах Вселенной, беспомощные перед разгулом природных стихий, зависящие от них и в получении пищи, и в удовлетворении других потребностей. Человек взирает на загадочную, быстро меняющуюся, бесконечную Вселенную смущенный, озадаченный и даже испуганный собственной незначительностью. Как сказал Паскаль{184},

…ибо что такое человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, среднее между всем и ничем. Он не в силах даже приблизиться к пониманию этих крайностей — конца мироздания и его начала, неприступных, скрытых от людского взора непроницаемой тайной, и равно не может постичь небытие, из которого возник, и бесконечность, в которой растворяется.

([119], с. 123.)

Монтень и Гоббс, по существу, утверждали то же, только иными словами. Человек одинок и слаб, а век его короток. Он жертва непредвиденного стечения обстоятельств.

Наделенный органами чувств, возможности которых весьма ограниченны, и рассудком, позволяющим анализировать воспринимаемую органами чувств информацию, человек начал проникать в окружающие его тайны природы. Используя данные непосредственного наблюдения или результаты специально поставленных экспериментов, он сформулировал определенные аксиомы и воспользовался своей способностью мыслить. Он стремился во всем найти порядок. Целью человека было построить систему знаний, способную противостоять мимолетной смене ощущений и послужить основой для познания — и покорения — окружающего мира. Один из значительных итогов его деятельности, продукт его разума — математика. Наша наука не идеальный алмаз — возможно, даже постоянная полировка не позволит ей избавиться от всех изъянов, Тем не менее математика была и остается самой надежной нашей связью с миром чувственного восприятия, и, хотя мы знаем, что она лишена прочных оснований (что не может не вселять в нас тревогу), она тем не менее по-прежнему является драгоценнейшим украшением нашей интеллектуальной жизни, которое следует беречь. Математика по праву занимает свое высокое место в сокровищнице человеческого разума и, несомненно, останется там, даже если более детальные исследования обнаружат в ней новые изъяны.{185} Алфред Норт Уайтхед некогда сказал: «Нельзя не признать, что занятие математикой — ниспосланное богами безумие человеческого духа». Безумие? Вполне возможно — но, несомненно, ниспосланное богами.

Избранная литература

1. Barker S.F. Philosophy of Mathematics. — Engelwood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964. 

2. Baum R.J. Philosophy and Mathematics from Plato to the Present. — San Francisco: Freeman, Cooper & Co., 1973. 

3. Bell E.T. The Place of Rigor in Mathematics. — Amer. Math. Month., 1934, 41, p. 599-607. 

4. Benacerraf P., Putnam H. Philosophy of Mathematics, Selected Readings. — Engelwood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964. 

5. Beth E.W. The Foundations of Mathematics. — New York: North-Holland Publishing Co., 1959; New York: Harper and Row, 1966. 

6. Beth E.W. Mathematical Thought: An Introduction to the Philosophy of Mathematics. — Dordrecht, Holland: D. Reidel, 1965; New York: Gordon and Breach, 1965. 

7. Bishop E. et al. The Crisis in Contemporary Mathematics. — Hictoria Mathematica, 1975, 2, p. 505-533. 

8. Black M. The Nature of Mathematics. — New York: Harcourt, Brace, Jovanovich, 1935; London: Routledge & Kegan Paul, 1933. 

9. Blumenthal L.M. A Paradox, A Paradox, A Most Ingenious Paradox. — Amer. Math. Month., 1940, 47, p. 346-353. 

10. Bochenski I.M. A History of Formal Logic. — New York: Chelsea переиздание, 1970.

11. Bourbaki N. The Architecture of Mathematics. — Amer. Math. Month, 1950, 57, p. 221-232; также в [54], т. I, p. 23-26. [Русский перевод: Бурбаки Н. Архитектура математики. — В кн. Очерки по истории математики. — M.: ИЛ, 1963, с. 245-259; в кн.: Математическое просвещение (новая серия), вып. 5. — М.: Физматгиз, 1960, с. 99-112; в кн. Архитектура математики, — М.: Знание, 1972, с. 4-18.]

12. Brouwer L.E.J. Intuitionism and Formalism. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1913-1914, 20, p. 81-96.

13. Burington A.S. On the Nature of Applied Mathematics. — Amer. Math. Month., 1949, 56, p. 221-241.

14. Calder A. Constructive Mathematics. — Scientific American, Oct, 1979, p. 146-171.

15. Cantor G. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. — New York: Dover Inc., 1955. [Немецкий оригинал в кн.: Cantor G. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. — Heidelberg Springer, 1980; русский перевод (неполный): Кантор Г. Теория ансамблей. — Спб.: Образование, 1914 («Новые идеи в математике», вып. 6).]

16. Cohen M.R. A Preface to Logic. — New York: Holt, Rinehart and Winston. 1944; New York: Dover Inc., 1977.

17. Cohen P.J., Reuben Hersh. Non-Cantorian Set Theory. — Scientific American, Dec. 1967, p. 104-116. [Русский перевод: Коэн П., Херш Р. Неканторовская теория множеств. — Природа, 1969, №4, с. 43-51; в кн, Математика в современном мире. — М.: Знание, 1969, с. 20-32.]

18. Courant R. Mathematics in the Modern World. — Scientific American, Sept, 1964, p. 40-49. [Русский перевод: Курант Р. Математика в современном мире. — В кн. [137], с. 13-27.]

19. Dauben J.W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. — Cambridge: Harvard University Press, 1978.

20. Davis M., Hersh R. Nonstandard Analysis. — Scientific American, June 1972. p. 78-86. [Вошло также в книгу: Davis M., Hersh R. The Mathematical Experience. Boston: Birkhauser, 1981.]

21. Davis P.J. Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two? — Amer. Math. Month., 1972, 79, p. 252-263.

22. De Long H. A Profile of Mathematical Logic. — Reading, Mass, Addison-Wesley, 1970.

23. De Long H. Unsolved Problems in Arithmetic. — Scientific American. March 1971, p. 50-60.

24. Desua F. Consistency and Completeness — A Résumé. — Amer. Math. Month., 1956, 63, p. 293-305.

25. Dieudonné J. Modern Axiomatic Methods and the Foundations of Mathematics. [Французский оригинал статьи — в оригинальном издании собрания математических статей, составленного Ле Лионне — см. [54]. vol. I, p. 251-266.]

26. Dieudonné J. The Work of Nicolas Bourbaki. — Amer. Math. Month., 1970, 77, p. 134-145. [Русский перевод: Дьедонне Ж. О деятельности Бурбаки. — Успехи математических, наук, т. 28, вып. 3(171), 1973, с. 205-216; Дело Никола Бурбаки. В кн.: Очерки о математике. М.: Знание, 1973, с. 44-56.]

27. Dresden A. Brouwer's Contributions to the Foundations of Mathematics. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1924, 30, p. 31-40.

28. Dresden A. Some Philosophical Aspects of Mathematics. — Amer. Math. Soc. Bulletin, 1928, 34, p. 438-452.

29. Eves H., Carroll V.N. An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, rev. ed. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1965.

30. Fraenkel A.A. On the Crisis of the Principle of the Excluded Middle. — Scripta Mathematica, 1951, 17, p. 5-16.

31. Fraenkel A.A. The Recent Controversies about the Foundations of Mathematics. — Scripta Mathematica, 1947, 13, p. 17-36,

32. Fraenkel A.A., Bar-Hillel Y., Levy A. Foundations of Set Theory, 2nd rev, ed. — New York: North-Holland, 1973. [Имеется русский перевод 1-го изд «книги: Френкель А., Бар-Хилел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966]

33. Gödel K. What is Cantor's Continuum Problem? — Amer. Math. Month., 1947, 54, p. 515-525; с дополнением вошло в кн. [4], р. 258-273.

34. Goodman N.D. Mathematics as an Objective Science. — Amer. Math. Month., 1979, 86, p. 540-551.

35. Goodstein R.L. Essays in the Philosophy of Mathematics. — Leicester: The University Press, 1965.

36. Hahn H. The Crisis in Intuition. — B [65], vol. III, p. 1956-1976. [Русский перевод: Хан. Г. Кризис интуиции. — В кн.: Математики о математике. — М.: Знание, 1972, с. 25-42.]

37. Halmos P.R. The Basic Concepts of Algebraic Logic. — Amer. Math. Month., 1956, 63, p. 363-387.

38. Hardy G.H. Mathematical Proof. — Mind, 1928, 38, p. 1-25; Collected Papers, vol. VII, 58, p. 1-606.

39. Hardy G.H. A Mathematician's Apology. — Cambridge: University Press, 1981. [Русский перевод отрывков из книги: Харди Г.Г. Исповедь математика. — В кн.: Математики о математике. — М.: Знание, 1967, с. 4-15.]

40. Heijenoort J. van, ed. From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. — Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967.

41. Hempel C.G. Geometry and Empirical Science. — Amer. Math. Month., 1945, 52, p. 7-17.

42. Hempel C.G. On the Nature of Mathematical Truth. — Amer. Math. Month., 1945, 52, p. 543-556; также вошло в кн. [4].

43. Hersh R. Some Proposals For Reviving the Philosophy of Mathematics. — Advances in Mathematics, 1979, 31, p. 31-50.

44. Hilbert D. Über das Unendliche. — Mathematische Annalen, 1925, 95, 161-190; англ. переводы On the Infinite в кн. [4], p. 131-151 и в кн. [40], с. 367-392. [Русский перевод сокращенного варианта статьи: Гильберт Д. О бесконечном. В кн.: Гильберт. Основания геометрии. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948, 338-364.]

45. Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. — New York: Oxford University Press, 1972.

46. Kline M. Mathematics in Western Culture. — New York: Oxford University Press, 1958.

47. Kneale W., Kneale M. The Development of Logic. — New York: Oxford University Press, 1962.

48. Kneeborn G.T. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics. — New York: D. Van Nostrand, 1963.

49. Körner S. The Philosophy of Mathematics. — London: Hutchinson University Library, 1960.

50. Lakatos I. Mathematics, Science and Epistemology, 2 vols. — New York: Cambridge University Press, 1978.

61. Lakatos I., ed. Problems in the Philosophy of Mathematics, vol. I. — New York: North-Holland, 1972.

62. Lakatos I. Proofs and Refutations. — New York: Cambridge University Press., 1976. [Русский перевод более краткого варианта книги: Лакатос И. Доказательства и опровержения. — М.: Наука, 1967.]

63. Langer S.K. An Introduction to Symbolic Logic, 2nd ed. — New York: Dover, 1953.

64. Le Lionnais F. ed. Great Currents of Mathematical Thoughts, 2 vols. — New York: Dover, 1971. [Французский оригинал: La Lionnais F. Les grands courants de la pensée mathématiques. — Cahiers du Sud, 1948.]

65. Lewis C.I. A Survey of Symbolic Logic. — New York: Dover, 1960.

66. Luchins E. and A. Logicism. — Scripta Mathematics, 1965, 27, p. 223-243.

57. Luxemburg W.A.J. What is Non-Standard Analysis? — Amer. Math. Month., 1973, 80, p. 11, p. 38-67.

58. Mackie G.L. Truth, Probability and Paradox. — New York: Oxford University Press, 1973.

59. Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. — New York: Van Nostrand, 1979, (2nd ed.) [Русский перевод 1-го изд. книги: Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1971.]

60. Monk J.D. On the Foundation of Set Theory. — Amer. Math. Month., 1970, 77, p. 703-711.

61. Myhill J. What is a Real Number? — Amer. Math. Month., 1972, p. 748-754.

62. Nagel E., Newman J.R. Gödel's Proof. — Scientific American, June 1956, p. 71-86.