Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Существует еще один подход к объяснению взаимосвязи математики и природы. Он также наводит на мысль о некой соответствии, но соответствии особого рода, которое обычно упускают из виду. За последние сто лет возник статистический подход к описанию природы. По иронии судьбы его родоначальником стал Лаплас, твердо веривший в то, что явления природы строго детерминированы в соответствии с математическими законами. Однако причины, вызывающие то или иное явление, как считал Лаплас, не всегда известны, и наблюдения обладают лишь ограниченной точностью. Чтобы определить наиболее вероятные причины и наиболее вероятные результаты, следует воспользоваться теорией вероятностей. «Аналитическая теория вероятностей» (3-е изд — 1820) Лапласа по праву считается классическим трудом по этому разделу математики. История теории вероятностей и математической статистики весьма обширна, и нам нет необходимости входить здесь в излишние подробности (см., например, [130] и — по поводу позиции Лапласа — [131]). Но менее чем за сто лет вероятностно-статистические представления привели к возникновению новых взглядов, согласно которым явления природы не детерминированы, а носят случайный характер, но существует некий наиболее вероятный, средний, режим. Именно его мы и наблюдаем, утверждая, что он детерминирован математическими законами. Поясним сказанное на примере. Продолжительность человеческой жизни колеблется в довольно широких пределах: одни умирают в младенческом возрасте, другие доживают почти до ста лет. Поэтому для всех мужчин и женщин существует не только средняя продолжительность жизни, но и средняя продолжительность жизни по достижении определенного возраста. Строя свою деятельность с учетом этих данных, страховые компании извлекают солидные прибыли. Статистический подход к описанию природы особенно существенное распространение получил в последнее время в связи с развитием квантовой механики, которая утверждает, что не существует «твердых», дискретных, строго локализованных частиц. Каждая частица распределена с определенной вероятностью по всему пространству, но с наибольшей вероятностью она сосредоточена («локализована») в каком-то одном месте.

Согласно статистическим представлениям, математические законы природы описывают в лучшем случае наиболее вероятный режим протекания того или иного явления; однако они не исключают полностью, например, возможности того, что Земля может неожиданно сойти со своей орбиты и отправиться странствовать в глубины космического пространства. Статистический подход как бы оставляет за природой возможность «передумать» и не делать того, что наиболее вероятно. Некоторые философы, занимающиеся проблемами естествознания, пришли к заключению, что необъяснимая эффективность математики остается необъяснимой. Впервые эту точку зрения выразил американский математик, естествоиспытатель и философ Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914): «По-видимому, в этом есть какая-то тайна, которую еще предстоит раскрыть».

Эрвин Шредингер в своей книге «Что такое жизнь с точки зрения физики» [132] (1945) признавал, что суть открытия человеком законов природы вполне может быть недоступна человеческому разуму. Другой физик, Фримен Дайсон, также считает, что «мы, по-видимому, еще не приблизились к пониманию взаимосвязи между физическим и математическим мирами». К словам названных ученых остается только добавить высказывание Эйнштейна: «Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим» (ср. также [129]).

Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Пол Вигнер, обсуждая в 1960 г. непостижимую эффективность математики в естественных науках в статье под тем же названием, не дал никакого объяснения и ограничился лишь констатацией спорного вопроса:

Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.

([96]*; см. [133], с. 197.)

Последние из приведенных здесь «объяснений» носят скорее характер апологий. Они мало что говорят по существу, но их выразительный язык наводит на мысль, что авторы «объяснений» пребывают в неведении относительно причин непостижимой эффективности математики.

Сколь бы удовлетворительным или неудовлетворительным ни было любое объяснение эффективности математики, важно отчетливо сознавать, что природа и математическое описание природы не одно и то же, причем различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию (ср. [4] или [134]). Математический треугольник, несомненно, отличается от физического треугольника. Но математика отходит от природы еще дальше. В V в. до н.э. Зенон Элейский сформулировал несколько апорий, или парадоксов. Каковы бы ни были его мотивы, первая же из апорий Зенона великолепно иллюстрирует различие между математической концептуализацией и опытом. Первая апория Зенона утверждает, что бегун никогда не сможет добежать до конца дистанции, так как для этого ему необходимо сначала преодолеть 1/2 дистанции, затем 1/2 оставшейся половины, затем 1/2 половины оставшейся половины и т.д. Следовательно, всего бегуну необходимо преодолеть

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

дистанции. Но чтобы преодолеть бесконечно большое число отрезков, бегуну, по мнению Зенона, необходимо затратить бесконечно большое время.

Одно из физических решений, причем наиболее очевидное, этого парадокса состоит в том, что бегун преодолеет всю дистанцию за конечное число шагов. Но если принять математический анализ апории, проделанный Зеноном, то окажется, что на преодоление дистанции бегун должен затратить 1/2 мин плюс 1/4 мин плюс 1/8 мин и т.д., а сумма всех этих промежутков времени в точности равна одной минуте. Такой анализ расходится с физическим процессом, но тем не менее приводит к тому же результату.

Возможно, человек ввел ограниченные и даже искусственные понятия и только таким способом сумел навести порядок в природе. Созданная человеком математика не более чем рабочая схема. Сама природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура ее не обладает особой правильностью.{182} Тем не менее математика остается непревзойденным методом исследования и описания природы, позволяющим овладеть ею. В тех областях, где математика эффективна, она представляет собой все, чем мы владеем; если это и не сама реальность, то самое лучшее приближение к ней, какое только доступно для нас.

Хотя математика — творение чисто человеческое, тот путь, который она открывает нам к различным явлениям природы, приводит к результатам, превосходящим самые смелые ожидания. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого. Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: человеческий разум обладает огромной силой, даже если эту силу не так-то легко объяснить.

За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена — количественный подход к миру: мы рассматриваем его с точки зрения меры, веса, продолжительности и тому подобных понятий. Такое описание может давать о богатом и разнообразном опыте не более полное представление, чем рост человека о человеке. В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все.

Не следует забывать, что математика рассматривает простейшие понятия и явления физического мира. Она имеет дело не с человеком, а с неодушевленной природой. Явления неодушевленной природы обладают повторяемостью, и математика может описывать их. Но в экономике, политике, психологии, а также в биологии математика пока приносит существенно меньшую пользу… Даже в физике математика имеет дело с упрощениями, лишь касающимися реальности, подобно тому как касательная лишь соприкасается с кривой и приближенно ее передает. Имеет ли орбита Земли, обращающейся вокруг Солнца, форму эллипса? Нет. Земную орбиту можно считать эллиптической только в том случае, если Землю и Солнце считать точками и пренебречь влиянием всех остальных тел во Вселенной. Повторяется ли из года в год продолжительность зимы, весны, лета и осени? Вряд ли. Они повторяются, лишь если их продолжительность оценивать приближенно, т.е. так, как только и может их оценить человек.

Станем ли мы отказываться от математики лишь по той причине, что не понимаем, почему она так эффективна в описании природы? Хевисайд как-то заметил: «Стану ли я отказываться от обеда только потому, что не до конца понимаю процесс пищеварения?» Опыт опровергает сомневающихся. Самоуверенные отвергают рациональные объяснения. При всем нашем почтении к социологии и философии, прекрасно понимая, что математика затрагивает далеко не все аспекты нашей жизни, мы, однако, не можем не признать одной простой истины: успехи математики как источника знания затмевают ее неудачи. И знания, даваемые математикой, основаны не просто на голословных утверждениях о ее правильности — они ежедневно и ежечасно подвергаются проверке в каждом работающем радиоприемнике или атомной электростанции, в предсказании солнечных и лунных затмений, в тысячах других явлений, происходящих в лабораториях или в повседневной жизни.