Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Станем ли мы отказываться от математики лишь по той причине, что не понимаем, почему она так эффективна в описании природы? Хевисайд как-то заметил: «Стану ли я отказываться от обеда только потому, что не до конца понимаю процесс пищеварения?» Опыт опровергает сомневающихся. Самоуверенные отвергают рациональные объяснения. При всем нашем почтении к социологии и философии, прекрасно понимая, что математика затрагивает далеко не все аспекты нашей жизни, мы, однако, не можем не признать одной простой истины: успехи математики как источника знания затмевают ее неудачи. И знания, даваемые математикой, основаны не просто на голословных утверждениях о ее правильности — они ежедневно и ежечасно подвергаются проверке в каждом работающем радиоприемнике или атомной электростанции, в предсказании солнечных и лунных затмений, в тысячах других явлений, происходящих в лабораториях или в повседневной жизни.

Математике доступны лишь наиболее простые проблемы физического мира, но именно в ней эти проблемы находят полное решение. Вера в могущество человека отчасти зиждется на той силе, которой наделяет его математика — она помогает человеку покорять природу и тем облегчает его ношу. Одержанными математикой победами человек может по праву гордиться.

Вопрос о том, почему математика столь эффективна, представляет не только чисто академический интерес. Если мы используем математику в технике, то в какой степени можно полагаться на нее в расчетах и проектах? Можно ли спроектировать мост с помощью теории, опирающейся на бесконечные множества или аксиому выбора? Не обрушится ли такой мост? К счастью, инженерные проекты обычно основаны на применении теорем, столь надежно подкрепленных накопленным ранее опытом, что их использование не вызывает сомнений. Многие инженерные проекты умышленно предусматривают большой запас прочности. Например, при строительстве мостов используются такие материалы, как сталь, хотя прочность материалов нам не известна досконально. Чтобы компенсировать возможные неточности, инженеры вводят «коэффициент незнания» — используют более прочные кабели и балки, чем того требует теория. Но в тех случаях, когда речь идет о проекте сооружения, не возводившегося никогда ранее, необходимо учитывать и надежность применяемой математики.{183} В таких случаях разумная осторожность подсказывает не приступать к строительству сооружения прежде, чем все расчеты не будут проверены на модели, выполненной в уменьшенном масштабе.

В этой главе мы поставили перед собой задачу попытаться наметить какой-то выход из того затруднительного положения, в котором оказались математика и ее «жрецы». Единой, общепринятой математики не существует, поэтому мы не стали бы рекомендовать в качестве возможного выхода перебор множества различных путей, отстаиваемых теми или иными группами: избрать такой «лобовой» подход к решению проблемы означало бы воспрепятствовать достижению главной цели математики — способствовать прогрессу науки. Именно этой высокой целью мы и рекомендовали бы воспользоваться как эталоном. Здесь мы достаточно подробно обсудили связанные с этим проблемы и спорные вопросы.

Но хотя акцент на приложениях к естественным наукам представляется наиболее разумным курсом дальнейшего развития математики, эта программа отнюдь не исключает и другие заслуживающие внимания и вполне разумные цели в рамках самой математики. Мы отмечали (гл. XIII), что развитие прикладной математики требует основательной и разнообразной поддержки: абстракции, обобщения, строгого обоснования и усовершенствования существующих методов. Кроме того, вполне оправдана деятельность в области оснований математики, не дающая прямого выхода в математику, но доказавшая свою полезность в процессе естественнонаучных исследований. Конструктивистская программа интуиционистов, хотя те исходили из намерения заменить лишенные смысла чистые теоремы существования, приводит к методам вычисления величин, о которых чистые теоремы существования сообщают нам лишь то, что эти теоремы существуют. Приведем один старый пример. Евклид доказал, что отношение площади круга к квадрату его радиуса одинаково для всех кругов (это отношение обычно обозначается греческой буквой π). Тем самым Евклид доказал чистую теорему существования. Но если мы хотим вычислить площадь какого-нибудь круга, то для этого нам необходимо знать, чему равно π. К счастью, приближенный метод вычисления π, предложенный Архимедом, и некоторые разложения в ряды, полученные впоследствии, позволили найти π задолго до того, как интуиционисты бросили вызов чистым теоремам существования. Разумеется, возможность вычисления числа π необычайно важна. Аналогично возникает необходимость и в вычислении других величин, относительно которых пока доказано лишь то, что они существуют. Следовательно, конструктивистская программа вполне заслуживает внимания.

Однако исследования в области оснований математики ценны и тем, что открывают потенциальную возможность прийти к какому-нибудь противоречию. Непротиворечивость математики не доказана, и открытие противоречия или заведомо абсурдной теоремы позволило бы по крайней мере раз и навсегда разрешить эту проблему, которая поглощает сегодня немало времени и энергии некоторых математиков.

Наш обзор современного состояния математики вряд ли может пробудить чувство успокоенности. Математика лишилась своей истинности. Ныне она уже не является независимой, абсолютно надежной и прочно обоснованной областью знаний. Большинство математиков заявили о своей преданности естествознанию — акт похвальный в любой период истории, но особенно в тот момент, когда естественнонаучные приложения могут сыграть роль путеводной нити в поиске разумного направления в развитии математики. Замечательная точность и эффективность математики в описании реального мира по-прежнему ждут своего объяснения.

Несмотря на все свои недостатки и ограниченные возможности, математике есть чем гордиться. Она была и остается высшим интеллектуальным достижением и наиболее оригинальным творением человеческого духа. Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать чувства, философия — удовлетворять потребности разума, инженерное дело — совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей. Если же говорить о возможностях человеческого разума, то математики немало потрудились, чтобы доказать, сколь высокую надежность результатов способен обеспечить человеческий разум. Не случайно математическая точность вошла в поговорку. Математика по-прежнему остается эталоном самого надежного и точного знания, которого мы только в состоянии достичь.

Все свершения математики — это свершения человеческого разума. Показав, на что способен человек, математика вселила в людей смелость и уверенность, позволившие им вплотную взяться за разгадку ранее, казалось бы, неприступных тайн космоса, лечение страшных болезней, количественный анализ проблем, относящихся к экономике и устройству человеческого общества, что позволяет надеяться на дальнейший прогресс человечества. В решении этих проблем математика может оказаться более эффективной или менее, но с ней мы связываем определение надежды на успех.

Математика таит в себе ценности не меньше, чем любое другое творение человеческого духа. Ценности эти нелегко воспринимаются, им не всегда воздают должное, но, к счастью, ими пользуются. Познать их труднее, чем, скажем, ценности музыки, однако того, кто сумеет преодолеть нелегкий путь познания, ждет богатое вознаграждение; в этих ценностях сосредоточено все, что отличает лучшие творения человеческого духа. Ценности, воплощенные в математике, поистине неисчерпаемы; единственный вопрос, который может здесь возникнуть, — это вопрос о степени их важности. На этот вопрос каждый сам должен найти ответ, так как многое зависит от индивидуальных суждений, мнений и вкусов.

Математика — это высокий образец достоверного знания, идеал определенности, к которому мы будем стремиться и впредь, даже если он и недостижим. Достоверность вполне может оказаться не более чем призраком, манящим и все время ускользающим. Но идеалы, даже недостижимые, обладают притягательной силой и ценностью. Справедливость, равноправие или бог — идеалы. Правда, во имя бога люди убивали себе подобных, а справедливость далеко не всегда торжествует. И все же эти идеалы представляют собой главный итог многовекового развития цивилизации. Так обстоит дело и с математикой, даже если она всего лишь остается идеалом. Возможно, созерцание идеала позволяет нам с большей уверенностью выбирать направление, которым необходимо следовать для достижения истины.