Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Помимо разногласий относительно того, какие логические принципы можно считать приемлемыми, существуют разногласия и по поводу того, сколь далеко простираются сферы действия логики. Как известно, логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики, хотя впоследствии им приходилось всячески изворачиваться, когда дело касалось проблем, связанных с аксиомами бесконечности и выбора. По мнению формалистов, одной лишь логики недостаточно и для обоснования математики; логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими. Представители теоретико-множественного направления обращались с логическими принципами довольно небрежно, и кое-кто из них даже не удосуживался указывать используемые логические принципы в явном виде. Интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным не вдаваться в логику.

Еще один спорный вопрос — понятие существования. Например, установив, что каждый многочлен имеет по крайней мере один корень, мы доказываем чистую теорему существования (Existenzbewies. — нем.). Любое доказательство, если оно непротиворечиво, приемлемо с точки зрения логицистов, формалистов и представителей теоретико-множественного направления. Но доказательство, даже не использующее закона исключенного третьего, может не указывать метода, позволяющего найти (или вычислить) тот объект, существование которого мы установили. Для интуиционистов доказательства существования такого рода неприемлемы. Нежелание интуиционистов допустить трансфинитные кардинальные и ординальные числа (поскольку эти числа интуитивно не очевидны и конструктивно не достижимы в интуиционистском понимании конструктивности, или вычислимости) — еще один пример различных стандартов понимания «существования». Спорный вопрос, в каком смысле существуют не только отдельные математические объекты, например корни многочленов, но и вся математика в целом, имеет первостепенное значение, и мы еще вернемся к нему в этой главе.

Интерес к тому, что такое истинная математика, подогревается еще одним обстоятельством. Какие математические аксиомы можно считать приемлемыми? Блестящий пример вопросов такого рода — вопрос о том, допустимо ли использование аксиомы выбора. Пытаясь ответить на него, математики встали перед дилеммой: не использовать аксиому выбора или отвергнуть ее означало отказаться от больших и важных разделов математики, а применение аксиомы выбора приводило если не к противоречиям, то к интуитивно неразумным выводам (гл. XII).

Неспособность математиков доказать непротиворечивость своей науки бросает тень на весь идеал математики. Противоречия обнаруживались в самых неожиданных местах. И хотя их удавалось разрешить более или менее приемлемым образом, опасность возникновения новых противоречий, несомненно, заставила многих математиков скептически относиться к чрезмерным усилиям, которые их собратья прилагали для достижения строгости.

Что же такое математика, если она перестала быть однозначной, строгой логической конструкцией? Это серия интуитивных прозрений, тщательно отсеянных, очищенных и организованных с помощью той логики, которую занимавшиеся ее отбором люди хотели и могли применять, когда им заблагорассудится. Чем больше усилий прилагалось к уточнению понятий и систематизации дедуктивной системы математики, тем более изощренными становились интуитивные представления. Но опирается ли математика на какие-либо фундаментальные интуитивные представления, которые могут косвенно отражать структуру наших органов чувств, мозга и внешнего мира? Математика — творение человеческого разума, и любая попытка подвести под нее некую абсолютную базу обречена на провал.

Прогресс математики представляет собой цепочку великих интуитивных озарений, впоследствии получавших обоснования, которые возникают не за один прием, а путем последовательных поправок, долженствующих исправить различного рода ошибки и упущения, вводимых до тех пор, пока доказательство не достигнет приемлемого для своего времени уровня строгости.{164} Ни одно доказательство не является окончательным. Новые контрпримеры подрывают старые доказательства, лишая их силы. Доказательства пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными. Но, как учит история, это означает лишь, что для критического пересмотра доказательства еще не настало время. Иногда математики сознательно откладывают пересмотр доказательства на будущее. Промедление объясняется не только тем, что обнаружение ошибки в чужом доказательстве не приносит славы открывателю, но и другой причиной: математик, которому хватило ума усомниться в правильности ранее известного доказательства теоремы, обычно стремится самостоятельно доказать ее, связав тем самым старый факт со своим именем. Математики гораздо больше озабочены доказательством собственных теорем, нежели поиском ошибок в чужих доказательствах.

Некоторые школы пытались заточить математику в стенах логики. Но интуиция не терпит никаких посягательств на свою свободу. Представление о математике как о своде абсолютно надежных, бесспорных и неопровержимых истин, имеющих под собой прочное основание, разумеется, восходит к классическому периоду, воплощенному в «Началах» Евклида. Греческий идеал довлел над мышлением математиков более двадцати столетий. Но «злой гений» Евклид явно сбил математиков с истинного пути.

В действительности математик не полагается на строгое доказательство до такой степени, как обычно считают. Его творения обретают для него смысл до всякой формализации, и именно этот смысл сам по себе придает реальность. Попытки установить точные границы результата путем вывода его из системы аксиом могут оказаться в известной степени полезными, но, по существу, они довольно слабо влияют на значение результата.

Интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика. Когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании. Строгое доказательство ничего не значит для математика, если результат ему непонятен интуитивно. Обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру. Если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его. Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов. Пуанкаре сказал однажды: «Когда довольно длинное рассуждение приводит нас к простому и неожиданному результату, мы не успокаиваемся до тех пор, пока нам не удается показать, что полученный результат — если не целиком, то по крайней мере в общих чертах — можно было предвидеть заранее».

Многие математики предпочитали полагаться на интуицию. Артур Шопенгауэр объяснил это так: «Чтобы усовершенствовать метод в математике, необходимо прежде всего решительно отказаться от предрассудка — веры в то, будто доказанная истина превыше интуитивного знания». Паскалю принадлежат два выражения — esprit de géométrie [дух геометрии] и esprit de finesse [дух проницательности]. Под первым Паскаль понимал силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуждений.{165} Под вторым — широту ума, способность видеть глубже и прозревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке esprit de finesse был уровнем мышления, стоящим неизмеримо выше (и вне) логики и несоизмеримым с ней. То, что непостижимо для разума, считал Паскаль, может тем не менее быть истиной.

Задолго до Паскаля другие математики также утверждали, что интуитивное убеждение превосходит логику подобно тому, как ослепительный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны. Декарт полагался на врожденные интуитивные представления. По поводу логики Декарт заметил: «Я обнаружил, что силлогизмы и большинство посылок логики более пригодны, когда речь идет о вещах уже известных, или о вещах, в которых говорящий несведущ». Тем не менее Декарт охотно дополнял интуицию дедуктивными рассуждениями (гл. II).

Великие математики заранее, еще до того, как им удавалось найти логическое доказательство, знали, что какая-то теорема верна, и иногда ограничивались всего лишь беглым наброском доказательства. Более того, Ферма в своей обширной классической работе по теории чисел и Ньютон в работе по кривым третьего порядка не привели даже набросков доказательств. Прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией.

Итак, понятие доказательства, сколь ни преувеличивали его значение общественное мнение и публикации математиков, не играло той роли, которая ему обычно отводилась. Возникновение противоборствующих философий математики, каждая из которых отстаивала свои мерки строгости доказательства, вызывало скептическую переоценку важности доказательства. Критические нападки на понятие доказательства начались еще до того, как успели сформироваться различные течения в основаниях математики и их взаимно исключающие точки зрения получили сколько-нибудь широкое распространение. Еще в 1928 г. Годфри Гарольд Харди утверждал с присущей ему прямотой: