Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

К сожалению, цемент, скрепляющий фундамент нового здания, не затвердевал. Строители не могли гарантировать непротиворечивость, и, когда возникли противоречия в теории множеств, математики поняли, что над их творением нависла еще более серьезная угроза. Разумеется, они не собирались безучастно наблюдать, как обращаются в прах плоды многовековых усилий. Непротиворечивость зависит от того, что положено в основу рассуждений. Следовательно, спасти положение может лишь полная перестройка оснований математики. Необходимо было укрепить сам фундамент реконструируемой математики — ее логические и математические аксиомы, и строители решили копать еще глубже. К сожалению, они так и не смогли прийти к единому мнению относительно того, где и как надлежит укреплять основания, и каждый, считая, что именно ему суждено обеспечить надлежащую прочность здания математики, приступал к перестройке так, как считал нужным. Построенное совместными усилиями здание не отличалось ни изяществом пропорций, ни особой устойчивостью. Оно расползалось во все стороны и было весьма шатким. Каждое крыло здания претендовало на роль единственно истинного храма математики, где хранятся жемчужины математической мысли.

Вероятно, всем известна притча о семи слепцах и слоне. Наткнувшись на слона, слепцы принялись ощупывать его и спорить, на что он похож. Тот, кто ощупывал хвост, заявил, что слон похож на веревку; его товарищ по несчастью, ощупывавший ногу слона, сравнил слона с колонной; третий слепец, ощупывавший хобот, утверждал, что слон подобен змее и т.д. Слепцы не могли прийти к согласию, так как все они представляли себе слона по-разному. Хотя математика по своей структуре, возможно, намного изящнее слона, тем, кто занимается основаниями математики и рассматривает ее с различных точек зрения, так же трудно согласовать свои позиции, как и несчастным слепцам.

Математика достигла ныне той стадии развития, когда вопрос о том, что, собственно, надлежит считать математикой — логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств, — вызывает, ожесточенные споры. Каждое течение в основаниях математики обладает тонкой структурой: разделяется на отдельные русла, состоящие в свою очередь из множества протоков. Так, интуиционисты не сходятся между собой во мнениях относительно того, что следует считать фундаментальными, интуитивно воспринимаемыми понятиями: только целые или также и некоторые иррациональные числа, закон исключенного третьего, распространяемый только на конечные или и на счетные множества, по-разному трактуемые конструктивные методы. Логицисты полагаются только на логику, но и они не избавлены от сомнений по поводу аксиом сводимости, выбора и бесконечности. Представители теоретико-множественного течения могут двигаться в любом из нескольких различных направлений в зависимости от того, принимают они аксиому выбора и гипотезу континуума или отвергают одну из этих аксиом (ибо гипотеза континуума также имеет ныне статус аксиомы!) или даже отказываются от них обеих. Даже формалисты могут выбирать путь по своему усмотрению. Выбор принципов математики для доказательства непротиворечивости не вполне однозначен. Финитистских принципов, отстаиваемых Гильбертом, оказалось недостаточно даже для доказательства исчисления предикатов (первой ступени), не говоря уже об установлении непротиворечивости формальных математических систем Гильберта. Формалистам не оставалось ничего другого, как воспользоваться нефинитистскими методами (гл. XII). Кроме того, как показал Гёдель, в рамках наложенных Гильбертом ограничений любая достаточно мощная формальная система содержит неразрешимые утверждения, т.е. утверждения, которые, базируясь на аксиомах нельзя ни доказать, ни опровергнуть; но это значит, что подобные утверждения (или их отрицания) можно принять в качестве дополнительных аксиом. Однако и после присоединения новой аксиомы расширенная система, согласно теореме Гёделя, все еще должна содержать неразрешимые утверждения. Приняв их за новые дополнительные аксиомы, мы могли бы вторично расширить формальную систему и т.д. Процесс последовательного расширения исходной формальной системы можно было бы продолжать бесконечно.

Логицисты, формалисты и представители теоретико-множественного направления полагаются на аксиоматические основания. В первые десятилетия XX в. именно аксиоматика превозносилась как наиболее подходящий фундамент для построения математики. Но теорема Гёделя утверждает, что ни одна система аксиом не охватывает всех истин, содержащихся в любой математической структуре, а теорема Левенгейма — Сколема показывает, что каждая система аксиом включает больше, чем предполагалось. Только интуиционисты могут позволить себе безразличие к проблемам, возникшим в связи с аксиоматическим подходом.

В довершение всех разногласий и неясностей по поводу того, какие основания математики считать наилучшими, над головами математиков, подобно дамоклову мечу, висит нерешенная проблема доказательства непротиворечивости всей математики. Какую бы философию ни исповедовал тот или иной математик, в своей работе он рискует натолкнуться на противоречие.

Основной вывод, который можно сделать из существования нескольких противоборствующих подходов к математике, состоит в следующем: имеется не одна, а много математик. О математике в целом, по-видимому, правильнее говорить во множественном числе (как о многих математиках), оставив единственное число для обозначения любого из подходов. Философ Джордж Сантаяна как-то сказал: «Не существует бога, и дева Мария — матерь его». Перефразируя эти слова, можно сказать: «Не существует единой, общепринятой математики, и греки — создатели ее». Широкий выбор подходов, открывающийся перед математиками, вызывает у них ощущение, близкое к тому, которое отлично передано в следующих строках Шелли:

Пред роем нескончаемым
Бесчисленных миров
Фантазии крылатой
Кружится голова.

Насколько можно судить, в ближайшем будущем нам придется обходиться без критерия, который позволял бы выбрать предпочтительный подход к собственно математике.

Примирить разные взгляды на то, что такое истинная математика (или по крайней мере в каком направлении она должна развиваться), можно надеяться лишь основываясь на прогрессе в решении тех спорных вопросов, по которым расходятся во мнениях математики разных школ. Больше всего разногласий вызывает вопрос о том, что такое математическое доказательство.

Во все времена — начиная с древнейших ионийской и пифагорейской школ (гл. I) — предполагалось, что математическое доказательство — это ясный и бесспорный процесс; формализации этого процесса Аристотель посвятил десять лет жизни. Правда, долгое время им пренебрегали (гл. V-VIII), но в целом математики никогда о нем не забывали. Само понятие математического доказательства всегда существовало; оно и служило парадигмой и образцом, которому в той или иной степени стремились следовать ученые.

Что же заставило математиков изменить отношение к доказательству и даже разбиться на враждующие группировки, каждая из которых придерживается своей версии этого важнейшего понятия? На протяжении более чем двух тысячелетий математики разделяли старые взгляды на логику, согласно которым логические принципы в том виде, как их кодифицировал Аристотель, являются абсолютными истинами. Уверенность в непогрешимости логических принципов подкреплялась их длительным и, казалось бы, безотказным использованием. Но впоследствии математики поняли, что основы логики — такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии. Возникло легкое беспокойство по поводу того, какие же логические аксиомы можно считать надежными. Так, интуиционисты не без основания ограничили область применения закона исключенного третьего. И кто знает, стали бы мы считать, что приемлемые ныне логические принципы останутся таковыми и впредь, не будь их репутация столь безупречной в прошлом?

Второй связанный с понятием доказательства спорный вопрос, возникший с появлением логистической школы, можно сформулировать так: что входит и что не входит в («исходные») логические принципы? Хотя Рассел и Уайтхед без каких-либо колебаний в первом издании «Оснований математики» включили в свой список аксиом аксиомы бесконечности и выбора, позднее они отступили от этой позиции, не только признав, что первоначальные логические принципы не были абсолютными истинами, но уяснив, что аксиомы выбора и бесконечности аксиомами логики не являются. Во втором издании «Оснований математики» эти аксиомы не были включены в исходный список аксиом и их использование при доказательстве некоторых теорем каждый раз оговаривалось особо.