Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— Ну-ка, брось Точку в эту речку.

Илюша бросил Точку, и она поплыла по течению вокруг по всей ленте, вернулась на старое место и опять поплыла в том же направлении. Так что Илюша еще раз мог убедиться, что конца у этой поверхности, как и у окружности, пет.

— Ну, а теперь, — продолжал Радикс, — выуди ее оттуда и положи на бережок, который около тебя.

— 130 —

Илюша выловил Точку и положил ее на берег речки.

— На какой берег ты ее положил? — спросил Радикс.

— Если я стану лицом по течению реки и буду смотреть на ленту сверху, — отвечал Илюша, — то, значит, она лежит на правом берегу.

— На правом? — переспросил Радикс.

— Да, — ответил Илюша.

— Так, — ответил Радикс, — на правом так на правом. Так и запишем: Точка находится на правом берегу речки.

Точка легла на плоскость. Однако лента была настолько тонка, что Точка прошла ее всю насквозь, как чернильная клякса на промокашке, и ее на ленте было отлично видно как сверху, так и снизу.

— Готово! — пискнула Точка из плоскости.

— Прелестно! — отвечал ей Радикс. — А теперь я попрошу тебя, любезная Точечка, двигаться по берегу вниз по течению речки, но, пожалуйста, двигайся как можно медленнее.

Точка послушалась и медленно поплыла внутри ленты.

Илюша отлично видел ее.

— А ты, Илюша, — сказал Радикс, — следи за ней. И как только ты ее снова увидишь сверху, скажи ей, чтобы она остановилась. Понял?

— Понял, — отвечал Илюша.

Точка медленно подошла к тому месту, где лента Бушмейстера поворачивала вниз, исчезла на миг, появилась на сгибе и опять исчезла. Затем Илюша увидел, как она появилась с другого края и начала двигаться вверх. Когда она подошла к нему поближе, Илюша скомандовал:

— Точка, стоп!

Точка остановилась.

— Ты ее видишь? — спросил Радикс.

— Вижу, — ответил мальчик.

— Ясно видишь?

— Совершенно ясно. Она ведь прошла насквозь через ленту.

— Можешь ты мне ответить, на каком она берегу? Только посмотри повнимательней.

Илюша посмотрел и ответил:

— Я смотрю опять сверху. И берег определяю так же, то есть по течению речки. Но только… только… хм… Вот уж я не знаю…

— Чего ты не знаешь?

— Она сейчас на другом берегу!

— На каком другом?

— На левом.

— А ты не ошибаешься?

— 131 —

— Да нет, — ответил Илюша, — я не могу ошибиться, потому что даже поставил мелом крестик на том месте, куда ее положил. И вот крестик остался на правом берегу, а она на левом… Послушай, Радикс, а можно, чтобы она еще раз пошла?

— Прошу, — отвечал тот.

— Точка, — сказал Илюша, стараясь говорить как можно более внятно и определенно, — продолжай двигаться в том же направлении, в каком ты двигалась, и так же медленно. Поняла?

— Как не понять! — раздался тоненький писк, и Точка поплыла вдоль по ленте.

Через некоторое время она появилась на правом берегу, около крестика. Илюша не остановил ее, она пошла дальше и снова появилась на левом берегу.

— Значит, — сказал в раздумье Илюша, — ей надо обойти плоскость эту два раза, чтобы попасть на то же самое место.

— Точно! — отвечал Радикс.

— А когда она плыла по поверхности речки, ей надо было обойти плоскость только один раз, — сказал Илюша.

— В этом роде, — рассеянно отвечал Радикс. — Однако это еще не все. Ну, ты, Точка, можешь теперь исчезнуть! Благодарю.

Точка немедленно исчезла, вслед за ней исчезла и речка.

— Вот тут у меня часики есть, — продолжал Илюшин друг, — посмотри-ка!

Илюша взял со стола обыкновенные карманные часы. Впрочем, при ближайшем рассмотрении они оказались не совсем обыкновенными, потому что были плоские и очень тонкие, примерно в миллиметр толщины, и совершенно прозрачные, так что стрелки можно было видеть с обеих сторон. Шли они очень быстро, и поэтому Илюша ясно видел, как бежит большая, минутная стрелка. Часовая двигалась медленнее, во и ее движение было заметно.

— Положи их на Бушмейстера около твоего крестика, предложил Радикс.

Илюша положил их на самый крестик.

— Ну-ка, часики, — сказал Радикс, — прошу вас, принимайтесь за работу.

Часы сразу ушли в ленту так же, как это сделала Точка.

Они медленно двинулись в путь вдоль ленты вперед, по тому же направлению, по которому раньше текла речка, словно они были вставлены в ленту. Илюша внимательно следил за ними. Часики плыли, плыли и наконец показались около самого крестика.

— Стойте! Стойте! — закричал Илюша вне себя от удивления,

— 132 —

Часики остановились около крестика, а Илюша смотрел на них и ничего не понимал. Циферблат был виден как будто отраженный в зеркале. Стрелки бежали с прежней быстротой, но уж теперь в обратную сторону, следуя движению переставленных цифр: против часовой стрелки!

— Теперь уж я совсем ничего не понимаю! — воскликнул Илюша в отчаянии. — Ну, идите дальше!

Часы послушались и через некоторое время снова появились у крестика. Теперь у них опять был обычный циферблат, и их стрелки двигались нормально. Затем они вновь появились около крестика, и тут стрелки опять бежали в противоположную сторону.

— Нет, — сказал Илюша, — этого я не могу понять. Они где-то меняют направление движения стрелок.

— Ты думаешь? — спросил Радикс. — Ну хорошо, постарайся проследить, где именно это происходит. Вот тебе вторые часики, такие же. Оставь одни часы около крестика, а сам следи за теми, которые будут плыть в ленте.

Илюша послушался и заметил, что часы, за которыми он следил не отрываясь, ведут себя обычно. Но когда часы добрались до крестика и оказались рядом с теми часами, которые там оставались, Илюша с удивлением обнаружил, что теперь те часы, которые не двигались, идут в противоположную сторону.

— Может быть, — произнес в недоумении Илюша, — я просто смотрю теперь на них с другой стороны ленты?

— С другой стороны? — спросил Радикс. — А когда же ты успел перебраться на «другую сторону»? И что это за «другая сторона»? Ты ведь, кажется, убедился, что у этой поверхности только одна сторона и есть.

— Но мне кажется, что на часы я смотрю с другой стороны!

— Хм… — иронически промолвил Радикс. — Но вот то-то и удивительно, что, оставаясь с той же стороны поверхности, ты ухитрился на часы посмотреть «с другой стороны». Нет, тут дело немножко похитрее. Если эти часы принадлежат ленте, вделаны в нее, то и о них уже нельзя сказать, где у них одна сторона, где другая.

— Да, — сказал Илюша. — Но если лента и часы непро

— 133 —

зрачные, они будут в том же месте с другой стороны ленты, и я их не увижу.

— Это так, но если ты хочешь рассуждать о поверхности, у которой нет никакой толщины, то лучше представлять себе ее прозрачной, как мы с самого начала и сделали. А ты рассуждаешь о листке бумаги — это уже, собственно говоря, удвоенный Бушмейстер или, если хочешь, Бушмейстер «в чехле». Но и на нем происходят удивительные вещи: не пересекая края, ты можешь непрерывным движением перейти из точки, которая находится с одной стороны и тебе видна, в точку противоположной «в этом месте» стороны, от тебя закрытой. Ты совершенно правильно выразился сейчас, сказав «в том же месте с другой стороны». Если вырезать маленький кружок из Бушмейстера, то этот кружок будет такой же двусторонний, как и кружок, вырезанный из самой обыкновенной ленты. Но если его окрасить в разные цвета с разных сторон (например, с одной — в синий, а с другой — в красный), потом вставить обратно в ленту и закрасить соседние части ленты в цвет, одинаковый с цветом примыкающей стороны кружка, то может сначала показаться, что закрашены в разные цвета разные стороны поверхности. Но это можно сделать именно только «в данном месте». Если раскрашивать ленту дальше, то синий и красный цвета столкнутся. Где это случится? Сразу «на обеих сторонах»? Или «на одной из них»? Значит, у Бушмейстера, если взять его в целом, действительно нет возможности разграничить одну и другую стороны. Вот поэтому-то мы и называем его односторонним!

Радикс посмотрел на Илюшу, улыбнулся и промолвил:

— Можно проделать еще один интересный опыт с Бушмейстером, который, я надеюсь, покажется тебе более понятным. Пусть снова вдоль всего Бушмейстера, посредине, будет течь широкая речка.

Немедленно на Бушмейстере снова появилась речка.

— Выстроим на речке плотину, — сказал Радикс, — то есть превратим речку в пруд.

Речка сейчас же сделалась спокойной, как пруд, а на Бушмейстере появилась плотина, образовавшая широкую перемычку между тем берегом речки, у которого стоял Илюша, и противоположным.

— Теперь, — продолжал Радикс, — я беру двое обыкновенных на вид карманных часов. Одни я положу в виде островка в пруд слева от плотины, а другие — справа. Сейчас и те и другие часики стоят, а идти они начнут по команде нашей старой приятельницы — Точки.