Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— Вполне.

— Прелестно и очаровательно! Теперь пусть фигура не разрушается, пусть линии, соединяющие центры ядер, не расплываются и не укорачиваются, а ядра уменьшатся почти до размеров точки, только чтобы можно было заметить глазом.

Тетраэдр.

Немедленно все совершилось как по-писанному. И вскоре перед Илюшей на полу стояла некая геометрическая фигура, очень похожая на те проволочные модели, с которых рисуют начинающие живописцы. Ядра стали толстыми «точками» в углах фигуры, а центры ядер соединились тонкими линиями.

— Это, — сказал Радикс, — не что иное, как тетраэдр, один из правильных многогранников, каждая грань которого есть равносторонний треугольник. Их всего четыре, столько же у него и вершин (вспомни, что в той фигуре, с которой мы начали, было тоже четыре ядра), а ребер у тетраэдра шесть. Пять правильных многогранников были известны еще грекам, в частности о них писал Платон, почему их нередко называют Платоновыми телами. Вот они каковы: тетраэдр, ограниченный четырьмя правильными треугольниками; октаэдр, ограниченный восемью правильными треугольниками; икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными треугольниками; куб — известное тебе

— 120 —

тело, ограниченное шестью квадратами, и додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Так вот, перед тобой здесь тетраэдр. Рассматривая его, можно легко понять, как лежат ядра в куче. Надо иметь в виду, что нужно уложить ядра так, чтобы они располагались наиболее плотно. Чтобы нам в этом разобраться, начнем с более простой задачи. Как уложить на плоскости возможно больше кругов, которые должны частично соприкасаться, но нигде не перекрываться? Рассуждение приводит нас к выводу, что наиболее плотное (решетчатое) расположение кругов на плоскости получается, если центры трех кругов, из которых только два лежат в одном ряду, образуют равносторонний треугольник, сторона которого, очевидно, равна диаметру круга. Когда мы теперь переходим к расположению не кругов на плоскости, а шаров в пространстве, то очевидно, что пока речь идет о расположении шаров в одни слой, остается верным правило равностороннего треугольника, которое мы формулировали для кругов на плоскости. Но когда дело касается наиплотнейшего расположения шаров в пространстве, тут задача несколько усложняется. Как ты уже отметил (и совершенно правильно), мы не имеем возможности укладывать шары в следующем слое в каждую лунку — для этого шары слишком велики, — следовательно, нам надо выбирать те или иные лунки. Ты сам это заметил, когда говорил о шестиугольнике. Помнишь?

— Конечно, помню.

Октаэдр.

Куб.

Икосаэдр.

— 121 —

Додекаэдр.

— Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.

Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.

— Так, — сказал Илюша, — теперь я как будто понимаю. Точки в углах тетраэдров — это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем — три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра — это те треугольнички, которые мы называли «черными». А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас «белым». Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.

— Но это еще не все, — добавил Радикс. — Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в

Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.

— 122 —

Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники — основания трех нижних тетраэдров; кружки — вершины этих тетраэдров (А, В, С); звездочка — положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.

пространстве. Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется между двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по…

— Второму способу! — закончил Илюша. — Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: «со всех четырех сторон», а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху — одно, в следующем слое — столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем — столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше — десять. Как же считать?

Четыре тетраэдра (вид сбоку).

— Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.

— В первом и втором слоях вместе: один да три — четыре.

— Квадрат двух, — подсказал Радикс. — А во втором и третьем?

— Три и шесть — девять,

— 123 —

Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики).

опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат.

— Три и шесть — девять, опять квадрат. А шесть и десять — шестнадцать, опять квадрат. Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?

— Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.

— Как интересно! — воскликнул Илюша. — И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть — это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?

Один слой — одно. Два слоя — четыре. Три слоя — десять. Четыре слоя — двадцать. Пять слоев — тридцать пять.

Строение селитры по М.В. Ломоносову (1763 г.)

— А это пирамидальные числа.

— Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.

— Конечно, — сказал Радикс. — Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных

— 124 —

атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором — те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике — треугольные числа, а в четвертом — пирамидальные.

Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.

— Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?

— Верно, — отвечал Илюша. — Например, десять равно шести плюс четыре!

— А теперь, — продолжал его друг, — ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу. Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!

Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.

— Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, — сказал Радикс, — потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.