Олег Арсенов - Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

• Название: Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре
• Автор: Олег Арсенов
• Издательство: Эксмо
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 2013
• ISBN: 978-5-699-44145-7

Имя питерского математика Григория Перельмана не сходит с новостных полос. Еще бы — открытие сделал, а положенный миллион все не берет. За обсуждением денег и странностей математика как-то совсем не замеченным остался вопрос: «Так что же открыл такого великого Перельман, что это вызвало такую шумиху и столь высоко было оценено мировой общественностью?» А открытие его действительно значимо: доказана гипотеза Пуанкаре (сейчас это теорема Пуанкаре-Перельмана), справиться с которой лучшие умы не могли более 100 лет. Из этой теоремы вытекает масса удивительных выводов в космологии, квантовой механике, философии и даже религии.  

---

Есть еще одно соображение, которое, казалось бы убедительно говорит о том, что в нашем мире нет ни четвертого, ни более высоких пространственных измерений. Английский астрофизик Артур Эддингтон доказал, что в этом случае вообще не было бы атомного вещества, так как в мирах с числом измерений, большим трех, электрические заряды взаимодействуют слишком сильно. Электроны там не могут удержаться на орбитах, и атомы «взрываются внутрь» или коллапсируют. Может быть, такие своеобразные миры где-то и существуют вне нашей реальности, но в нашей Вселенной атомы устойчивы и потому, сделал вывод Эддингтон, никаких дополнительных пространственных измерений в ней просто нет. И тем не менее это все же не означает, что в нашем мире нет четвертого измерения. Оно может открываться лишь глубоко в микромире, куда мы пока еще не можем заглянуть с помощью наших приборов.

Трудность с лишними пространственными измерениями была главной причиной подозрительного отношения физиков к идее Калуцы. Первую серьезную попытку справиться с ней предпринял шведский теоретик Оскар Клейн. По его

-134-

мнению, четвертое пространственное измерение, постулированное Калуцей, существует реально и не ощущается нами лишь потому, что мир в этом направлении имеет микроскопически малый радиус, то есть представляет собой крошечную замкнутую окружность. Если бы мы могли двигаться в этом направлении, мы бы сразу же вернулись в исходную точку.

Существует много моделей пространственных конструкций с четырьмя и большим числом измерений, в которые наш мир входит лишь как часть. Можно даже придумать миры, где существует сразу несколько направлений времени, и вообразить еще более экзотические структуры. Но все они имеют общее свойство: между событиями в различных пространственно-временных точках нашего трехмерного мира будет существовать связь через недоступные нашему восприятию четвертое, пятое и следующие измерения. В таком многомерном мире можно попасть в прошлое или будущее и вернуться обратно, мгновенно переместиться из одного места в другое. Обладай наш мир такими свойствами, вокруг нас постоянно происходили бы чудеса. Одни предметы исчезали бы без следа, другие неожиданно появлялись бы из ничего. Можно было бы общаться с умершими предками и с еще не родившимися потомками. Хотя мысль о высших пространственных измерениях является неподтвержденной экспериментом гипотезой, в глазах физиков она выглядит весьма убедительной.

Физика во многом сложилась как экспериментальная наука, и лишь прошлый век дал импульс развитию ее теоретической части. Со временем физические эксперименты становятся все более сложными и дорогостоящими, поэтому физикам чаще приходится зондировать природу с помощью формул. Для этого выдвигаются гипотезы, которые обобщают уже известные физические законы, а их следствия анализируются чисто теоретически с помощью сложных математических построений.

Внешне это выглядит чем-то вроде «физико-математической фантастики». Казалось бы, математические грезы физиков-теоретиков напоминают произведения Айзека Азимова и Артура Кларка и далеки от реальности. Однако отнюдь не все сумасшедшие идеи теоретиков обязательно реализуются в существующем мире. Но понять, почему природа предпочла пойти другим путем, тоже очень важно — это может дать ключ к открытию новых фундаментальных законов.

-135-

Хотя мы часто говорим о смелости научной мысли и беспредельном полете фантазии, наши идеи, даже самые фантастические, по существу, не слишком уж далеко выходят за пределы привычного нам мира. Это проявляется и в теоретической физике, несмотря на всю необычность ее современных представлений. Например, многомерные миры в каких-то отношениях мыслятся как нечто весьма похожее на нашу четырехмерную Вселенную, только с большим числом координат.

В своей недавней статье американский физик Стивен Вайнберг иронически заметил, что такие представления сродни уверенности в том, что при любом контакте с космическим разумом мы встретим если не зеленых человечков, то что-нибудь похожее на жука, осьминога или какое-либо другое земное существо.

Между тем в глубине иных измерений у живых существ вообще должны быть некие принципиальные отличия, например тринокулярное зрение. Так, расчеты американских физиков показали, что если высокоразвитые существа живут в очень сильно искривленном пространстве, то им было бы удобно рассматривать окружающий их мир не двумя, а тремя глазами.

Рис. 47. Свернутое пространство гомотопии Перельмана

«Итак, мы пришли к довольно удивительным выводам. Хотя мы наблюдаем только три протяженных пространственных измерения, рассуждения Калуцы и Клейна показыва-

-136-

ют, что это не исключает существования дополнительных, свернутых измерений, по крайней мере, если они достаточно малы. Вселенная вполне может иметь больше измерений, чем доступно нашему глазу. Насколько малы должны быть эти измерения? Современная техника может обнаружить объекты, размер которых составляет одну миллиардную от одной миллиардной доли метра. Если дополнительное измерение свернуто до размера, который меньше этого значения, обнаружить его невозможно. В 1926 году Клейн объединил первоначальное предположение Калуцы с некоторыми идеями бурно развивавшейся квантовой механики. Его расчеты показали, что дополнительное циклическое измерение по размерам сопоставимо с планковской длиной, что выходит далеко за рамки современных возможностей экспериментального изучения. С этого времени физики стали называть гипотезу о существовании дополнительных крошечных пространственных измерений теорией Калуцы — Клейна».

Брайан Грин. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории

Сильнее всего пространство-время искривлено внутри черных дыр, вблизи сингулярности. Это искривление воздействует не только на материальные тела, но даже на свет: вокруг черной дыры существует некая зона, попав внутрь которой, ничто, даже световой луч, не может вылететь наружу. Поверхность, ограничивающая эту зону, называется горизонтом событий. Предположим, что некие фантастические существа рассматривают окружающий их мир с помощью обыкновенного зрения, то есть улавливая световые лучи. Смогут ли они эффективно использовать бинокулярное зрение в таком сильно искривленном пространстве-времени?

По теории Калуцы — Клейна, наш Мир по трем направлениям является расширяющейся Вселенной, а по четвертому — окружностью с невообразимо малым радиусом, связанным с массами элементарных частиц. Чтобы они получались такими, как на опыте, радиус должен быть десятичной дробью с тридцатью тремя нулями, то есть быть меньше протона в сто миллиард миллиардов раз.

-137-

С одной стороны, для объединения известных четырех взаимодействий нужно не менее шести новых направлений в пространстве. С другой стороны, исследования, основанные на теории симметрии Галуа, показали, что наблюдаются только две возможности: 10- и 11-мерное пространство-время. Тем не менее до однозначности здесь еще далеко. Структура многомерных пространств чрезвычайно сложна, и дополнительные шесть или семь степеней свободы можно «свернуть» в сверхмалом объеме множеством способов. И каждый способ — новая теория со своими геометрическими и физическими особенностями.

Оказывается, нет. Расчеты показывают, что из-за сильного искривления пространства-времени на световые лучи будут тоже действовать приливные силы. Они будут искажать фронт световых волн так, что он из локально-сферического станет локально-эллиптическим. Это значит, что, увидев такой свет, существо с двумя глазами сможет приблизительно определить расстояние до источника света, но, если оно наклонит голову, эта оценка изменится (то есть существо, крутя головой, будет видеть, что источник света то приближается, то удаляется).

Этот недостаток зрения можно будет устранить, если существо обладает не бинокулярным, а тринокулярным зрением: имеет три глаза, расположенные не на одной прямой. Научившись с детства обрабатывать зрительную информацию от трех глаз, такое существо сможет одним взглядом замерить сразу все кажущиеся дистанции и оценить точное расстояние до источника света. Можно даже сказать, что тринокулярное зрение должно быть столь же эволюционно выгодным для жизни внутри черной дыры, как и бинокулярное зрение — в плоском пространстве-времени.

Если черная дыра обладает огромной массой, то и ее горизонт событий имеет огромный радиус. Поэтому тело, попавшее под горизонт событий, может падать на сингулярность еще очень и очень долго. Так долго, что за это время эти гипотетические существа успеют появиться на свет, размножиться и даже эволюционировать.