Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

Q19. Почему бы нам просто не учредить процедуру многократного добавления высказывания G(F) к любой системе F, какой мы в данным момент пользуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?

Когда нам дана какая-либо конкретная формальная система F, достаточно обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G(F) в качестве новой аксиомы и получить тем самым новую систему F1, которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений в последующем изложении систему F можно также обозначить через F0.) Теперь мы можем добавить к системе F1 высказывание G(F1), получив в результате новую систему F2, также, предположительно, обоснованную. Повторив данную процедуру, т.е. добавив к системе F2 высказывание G(F2), получим систему F3 и т.д. Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему Fω, аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для F все бесконечное множество высказываний {G(F0), G(F1), G(F2), G(F3), …}. Очевидно, что система Fω также будет обоснованной. Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе Fω добавляется высказывание G(Fω), в результате чего получается система Fω+1, к которой затем добавляется высказывание G(Fω+1), что дает систему Fω+2, и т.д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему Fω2 (=Fω+ω), включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней высказывания G(Fω2), получим систему Fω2+1 и т.д., а потом построим новую систему Fω3 (=Fω2+ω), включив в нее опять-таки бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы сможем получить формальную систему Fω4, после следующего повтора — систему Fω5 и т.д. Еще чуть-чуть потрудиться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже это множество новых аксиом {G(Fω), G(Fω2), G(Fω3), G(Fω4), …} в новую формальную систему Fω2(=Fωω). Повторив всю процедуру, мы получим новую систему Fω2+ω2, затем — систему Fω2+ω2+ω2 и т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как связать все это вместе (разумеется, и на этот раз не без некоторого напряжения умственных способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей системе Fω3, которая также должна быть обоснованной.

Читатели, которые знакомы с понятием канторовых трансфинитных ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел. Тем же, кто от подобных вещей далек, не стоит беспокоиться из-за незнания точного значения этих символов. Достаточно сказать, что описанную процедуру «гёделизации» можно продолжить и далее: мы получим формальные системы Fω4, Fω5, …, после чего придем к еще более обширной системе Fωω, затем процесс продолжается до еще больших ординалов, например, ωωω и т.д. — до тех пор, пока мы все еще способны на каждом последующем этапе понять, каким образом систематизировать все множество гёделизаций, которые мы получили на данный момент. В этом и заключается основная проблема: для упомянутых нами «усилий, трудов и напряжений» требуется соответствующее понимание того, как должно систематизировать предыдущие гёделизаций. Эта систематизация выполнима при условии, что достигаемый к каждому последующему моменту этап будет помечаться так называемым рекурсивным ординалом, что, в сущности, означает, что должен существовать определенный алгоритм, способный такую процедуру генерировать. Однако алгоритмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и которая позволила бы выполнить описанную систематизацию для всех рекурсивных ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует. Нам снова неизбежно потребуется понимание.

Вышеприведенная процедура была впервые предложена Аланом Тьюрингом в его докторской диссертации (а опубликована в [368]){36}; там же Тьюринг показал, что любое истинное Π1-высказывание можно, в некотором смысле, доказать с помощью многократной гёделизаций, подобной описанной нами. (См. также [117].) Впрочем, воспользоваться этим для получения механической процедуры установления истинности Π1-высказываний нам не удастся по той простой причине, что механически систематизировать гёделизацию невозможно. Более того, невозможность «автоматизации» процедуры гёделизаций как раз и выводится из результата Тьюринга. А в §2.5 мы уже показали, что общее установление истинности (либо ложности) Π1-высказываний невозможно произвести с помощью каких бы то ни было алгоритмических процедур. Так что в поисках систематической процедуры, не доступной тем вычислительным соображениям, которые мы рассматривали до настоящего момента, многократная гёделизация нам ничем помочь не сможет. Таким образом, для вывода G возражение Q19 угрозы не представляет.

Q20. Реальная ценность математического понимания состоит, безусловно, не в том, что благодаря ему мы способны выполнять невычислимые действия, а в том, что оно позволяет нам заменить невероятно сложные вычисления сравнительно простым пониманием. Иными словами, разве не правда, что, используя разум, мы, скорее, «срезаем углы» в смысле теории сложности, а вовсе не «выскакиваем» за пределы вычислимого?

Я вполне готов поверить в то, что на практике интуиция математика гораздо чаще используется для «обхода» вычислительной сложности, чем невычислимости. Как-никак математики по природе своей склонны к лени, а потому зачастую стараются изыскать всяческие способы избежать вычислений (пусть даже им придется в итоге выполнить значительно более сложную мыслительную работу, нежели потребовало бы собственно вычисление). Часто случается так, что попытки заставить компьютеры бездумно штамповать теоремы даже умеренно сложных формальных систем быстро загоняют эти самые компьютеры в ловушку фактически безнадежной вычислительной сложности, тогда как математик-человек, вооруженный пониманием смысла, лежащего в основе правил такой системы, без особого труда получит в рамках этой системы множество интересных результатов{37}.

Причина того, что в своих доказательствах я рассматривал не сложность, а невычислимость, заключается в том, что только с помощью последней мне удалось сформулировать необходимые для доказательства сильные утверждения. Не исключено, что в работе большинства математиков вопросы невычислимости играют весьма незначительную роль, если вообще играют. Однако суть не в этом. Я глубоко убежден, что понимание (в частности, математическое) представляет собой нечто, недоступное вычислению, а одной из немногих возможностей вообще подступиться ко всем этим вопросам является как раз доказательство Гёделя(—Тьюринга). Никто не отрицает, что наши математические интуиция и понимание нередко используются для получения результатов, достижимых, в принципе, и вычислительным путем, — но и здесь слепое, не отягощенное пониманием, вычисление может оказаться неэффективным настолько, что попросту не будет работать (см. §3.26). Однако рассмотрение всех таких случаев представляется мне неизмеримо более сложным подходом, нежели обращение к общей невычислимости.

Как бы то ни было, высказанные в возражении Q20 соображения, пусть и справедливые, все же ни в коей мере не противоречат выводу G.