Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

Дело, однако, в том, что мы-то знаем, что такое на самом деле представляют собой натуральные числа, и для нас не составит никакого труда отличить их от каких-то непонятных сверхнатуральных чисел. Натуральные числа суть самые обыденные вещи, обозначаемые, как правило, символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. С этой концепцией мы знакомимся еще в детском возрасте и легко отличим ее от надуманной концепции сверхнатурального числа (см. §1.21). Есть что-то таинственное в том, что мы, похоже, и впрямь обладаем каким-то инстинктивным пониманием действительного смысла понятия натурального числа. Все, что мы получаем в этом смысле в детском (или уже взрослом) возрасте, сводится к сравнительно небольшому количеству описаний понятий «нуля», «единицы», «двух», «трех» и т.д. («три апельсина», «один банан» и т.п.), однако при этом, несмотря на всю неадекватность такого описания, мы как-то умудряемся постичь всю концепцию в целом. В некотором платоническом смысле натуральные числа видятся своего рода категориями, обладающими абсолютным концептуальным существованием, от нас никак не зависящим. И все же, несмотря на «человеконезависимость» натуральных чисел, мы оказываемся способны установить интеллектуальную связь с действительной концепцией натуральных чисел, опираясь лишь на неоднозначные и, на первый взгляд, неадекватные описания. С другой стороны, не существует конечного набора аксиом, с помощью которого можно было бы провести четкую границу между множеством натуральных чисел и альтернативным ему множеством так называемых «сверхнатуральных» чисел.

Более того, такое специфическое свойство всей совокупности натуральных чисел, как их бесконечное количество, мы также можем каким-то образом воспринимать непосредственно, тогда как система, действие которой ограничено точными конечными правилами, не способна отличить данную конкретную бесконечность натуральных чисел от других возможных («сверхнатуральных») вариантов. Мы же легко понимаем бесконечность, характеризующую натуральные числа, пусть и обозначаем ее просто точками «…» —

«0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …»,

либо сокращением «и т.д.» —

«нуль, один, два, три и т.д.».

Нам не нужно объяснять на языке каких-то точных правил, что именно представляет собой натуральное число. В этом смысле можно считать, что нам повезло, так как такое объяснение дать невозможно. Как только нам приблизительно укажут верное направление, мы тут же обнаруживаем, что уже откуда-то знаем, что это за штука такая — натуральное число!

Возможно, некоторые читатели знакомы с аксиомами Пеано для арифметики натуральных чисел (об арифметике Пеано я уже упоминал в §2.7), и, возможно, теперь эти читатели находятся в некотором недоумении: почему же аксиомы Пеано не дают адекватного определения натуральных чисел. Согласно определению Пеано, мы начинаем ряд натуральных чисел с символа 0 и затем добавляем слева особый «оператор следования», обозначаемый S и осуществляющий простое прибавление единицы к числу, над которым совершается действие, т.е. 1 определяется как S0, 2 как S1 или SS0 и т.д. В качестве правил мы располагаем следующими утверждениями: если Sa = Sb, то a = b; и ни при каком x число 0 нельзя записать в виде Sx (последнее утверждение служит для характеристики числа 0). Кроме того, имеется «принцип индукции», согласно которому некое свойство чисел (скажем, P) должно быть истинным в отношении всех чисел n, если оно удовлетворяет двум условиям: (I) если истинно P(n), то для всех n истинно также и P(Sn); (II) P(0) истинно. Сложности начинаются, когда дело доходит до логических операций, символы которых ∀ и ∃ в стандартной интерпретации означают, соответственно, «для всех натуральных чисел…» и «существует такое натуральное число…, что». В нестандартной интерпретации смысл этих символов соответствующим образом изменяется, так что они квантифицируют уже не натуральные числа, а «числа» какого-то другого типа. Хотя математические спецификации Пеано, задающие оператор следования S, действительно описывают отношение упорядочения, отличающее натуральные числа от разных прочих «сверхнатуральных» чисел, эти определения невозможно записать в терминах формальных правил, которым удовлетворяют кванторы ∀ и ∃. Для того чтобы передать смысл математических определений Пеано, необходимо перейти к так называемой «логике второго порядка», в которой также вводятся кванторы типа ∀ и ∃, но только теперь они оперируют не над отдельными натуральными числами, а над множествами (бесконечными) натуральных чисел. В «логике первого порядка» арифметики Пеано кванторы оперируют над отдельными числами, и в результате получается формальная система в обычном смысле этого слова. Логика же второго порядка нам формальной системы не дает. В случае строгой формальной системы вопрос о правильности применения правил системы решается чисто механическими (т.е. алгоритмическими) способами — в сущности, именно это свойство формальных систем и послужило причиной их рассмотрения в настоящем контексте. В рамках логики второго порядка упомянутое свойство не работает.

Многие ошибочно полагают (в духе приведенных в возражении Q16 соображений), что из теоремы Гёделя следует существование множества различных арифметик, каждая из которых в равной степени обоснованна. Соответственно, та частная арифметика, которую мы, возможно, по чистой случайности избрали для своих нужд, определяется просто какой-то произвольно взятой формальной системой. В действительности же теорема Гёделя показывает, что ни одна из этих формальных систем (будучи непротиворечивой) не может быть полной; поэтому (как доказывается далее) к ней можно непрерывно добавлять какие угодно новые аксиомы и получать всевозможные альтернативные непротиворечивые системы, которыми при желании можно заменить ту, в рамках которой мы работаем в настоящий момент. Эту ситуацию нередко сравнивают с той, что сложилась некогда с евклидовой геометрией. На протяжении двадцати одного века люди верили, что евклидова геометрия является единственно возможной геометрией. Но когда в восемнадцатом веке сразу несколько великих математиков (таких как Гаусс, Лобачевский и Бойяи) показали, что существуют в равной степени возможные альтернативы общепринятой геометрии, геометрии пришлось отступить с абсолютных позиций на произвольные. Нередко можно услышать, будто Гёдель показал, что арифметика так же представляет собой предмет произвольного выбора, при этом один набор непротиворечивых аксиом оказывается ничуть не хуже любого другого.

Однако подобная интерпретация того, что доказал Гёдель, абсолютно неверна. Согласно Гёделю, само по себе понятие формальной системы аксиом не подходит для передачи даже самых элементарных математических понятий. Когда мы употребляем термин «арифметика» без дальнейших пояснений, мы подразумеваем обычную арифметику, которая работает с обычными натуральными числами 0, 1, 2, 3, 4, … (и, быть может, с их отрицаниями), а вовсе не со «сверхнатуральными» числами, что бы это понятие ни означало. Мы можем, если пожелаем, исследовать свойства формальных систем, и это, конечно же, станет ценным вкладом в процесс математического познания. Однако такое предприятие несколько отличается от исследования обычных свойств обычных натуральных чисел. В некотором отношении данная ситуация весьма напоминает ту, что сложилась в последнее время с геометрией. Изучение неевклидовых геометрий интересно с математической точки зрения, да и сами геометрии имеют ряд важных областей применения (например, в физике, см. НРК, глава 5, особенно рис. 5.1 и 5.2, а также §4.4), но, когда термин «геометрия» используется в обычном языке (в отличие от «жаргона» математиков или физиков-теоретиков), подразумевается, как правило, обычная евклидова геометрия. Однако имеется и разница: то, что логик может назвать «евклидовой геометрией», действительно можно определить (с некоторыми оговорками{34}) через определенную формальную систему, тогда как обычную «арифметику», как показал Гёдель, определить таким образом нельзя.

Гёдель доказал не то, что математика (в особенности арифметика) — это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика — это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать (см. §1.17). Мы открываем, что такое натуральные числа и без труда отличаем их от любых сверхнатуральных чисел. Гёдель показал, что ни одна система «искусственных» правил не способна сделать это за нас. Такая платоническая точка зрения была существенна для Гёделя, не менее существенной она будет и для нас в последующих рассуждениях (§8.7).