Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

• Название: Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра
• Автор: Борис Розенфельд
• Жанр: Биографии и Мемуары

Книга, название которой подсказано книгой Вейля - это воспоминания и мысли геометра и математика Бориса Абрамовича Розенфельда, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими людьми.

Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

---

Устойчивость и двойственность в механике

Если механическая система характеризуется n обобщенными координатами qI (I = 1, 2,...n) и обобщенными импульсами pI, то движение системы определяется каноническими уравнениями В.Р.Гамильтона

dqI /dt = ЭН/Эр;, dpI/dt = - ЭИ/dqI, (1) где H - функция Гамильтона равная сумме Т+U кинетической и потенциальной энергии системы.

В общем случае кинетическая энергия системы Т является квадратичной формой Т=- импульсов, а потенциальная энергия системы U является произвольной функцией координат qI. Особенно важен частный случай, когда U также является квадратичной формой координат U=2cIJqIqJ. В этом случае, если р и q - векторы n-мерного пространства с координатами рI и qI, а А и С - линейные операторы того же пространства с матрицами (Аи) и (CIJ), уравнения (1) принимают вид dq/dt = -Ap, dp/dt = - Cq. (2)

Уравнения (2) эквивалентны векторному уравнению

d2q/dt2 + W2q =0, где W2 = AC. (3) Решение уравнения (3) можно записать в вид

q = (cos Wt)q0 + W-1(sIn Wt)(dq/dt)0, (4) где синус и косинус операторного переменного определяются такими же рядами, как и синус и косинус вещественного переменного. Формула (4) показывает, что механическая система, удовлетворяющая указанному условию, эквивалентна n гармоническим осцилляторам.

В случае одного гармонического осциллятора, состоящего из упругой пружины и инертной массы, n = 1 и роль векторов q и р и линейных операторов А, С и W играют вещественные числа, и движение системы является периодическим. В общем случае движение системы является почти периодическим. Таким образом случаю полной двойственности функций Т и U соответствует устойчивое движение системы.

В реальных условиях часть энергии механической системы рассеивается в пространстве и через некоторое время ее движение прекратится, но если в такт колебаниям системы восполнять рассеивающуюся энергию, движение может быть сколь угодно долгим. В общем случае гармонической механической системы ее "коллектор" определяется линейным оператором C, а "рефлектор" - линейным оператором А. Двойственность между "коллектором" и "рефлектором", на которой основано гармоническое движение в механике, тесно связана с двойственностью между обобщенными координатами qI и обобщенными импульсами р! и между кинетической энергиейТ и потенциальной энергией U Левые части уравнений Гамильтона (1) являются скоростями и силами. Поэтому указанная двойственность связана также с двойственностью между скоростями и силами и между кинематическими и динамическими винтами, к которым приводятся системы скоростей и сил.

В специальной теории относительности Эйнштейна пространство и время являются частями единого пространства-времени, и при переходе от одной инерциальной систены координат к другой пространственные и временные координаты выражаются друг через друга. В специальной теории относительности время рассматривается как 4-я координата, а энергия - как 4-я координата вектора импульса. Поэтому двойственность пространственных координат и координат импульсов и обобщенных координат и импульсов qi и рi следует дополнить двойственностью между временем и энергией. При этом, по-видимому, кинетической энергии соответствует настоящее время, а потенциальной энергии - прошедшее и будущее время. Прошедшее и будущее время сливаются, если перейти от обычного времени к циклическому.

Устойчиность и двойственность в электродинамике

Устойчивое движение электромагнитной системы определяется теми же уравнениями (2) и (3), что и устойчивое движение механической системы, где координаты qi вектора q равны количествам электричества в элементах системы, координаты pi вектора р равны электромагнитным импульсам в элементах системы, оператор А характеризует индуктивность системы, а оператор С - электрическую емкость системы.

При n = 1 мы получаем электромагнитный осциллятор - замкнутый электромагнитный контур, в котором роль "коллектора" играет конденсатор, а роль "рефлектора" - катушка самоиндукции. Пара противоположностей, определяющих устойчивость этой системы, - конденсатор и катушка самоидукции, - асимметрична, но конденсатор содержит симметричную пару противоположностей - пару обкладок, заряженных положительным и отрицательным электричеством.

Так как часть энергии электромагнитного осциллятора идет на согревание проводов цепи и рассеивается в пространстве, электрический ток в цепи осциллятора через некоторое время прекратится. Для продолжения колебаний осциллятора необходима подпитка его энергией в такт колебаниям. "Коллектор" и "рефлектор" гармонической электромагнитной системы общего вида имеют аналогичный характер и определяются, соответственно, линейными операторами C и А.

Устойчивость и двойственность а атомной физике

Выше я упоминал, что в простейшем атоме - атоме водорода роль "коллектора" играет позитроний, состоящий из электрона и позитрона, а роль "рефлектора" - нейтрон, соединенный с позитроном и образующий вместе с ним протон.Так как движение электрона можно рассматривать как электрический ток, атом водорода можно рассматривать как электромагнитный замкнутый контур, в котором позитроний играет роль конденсатора, а нейтрон - роль катушки самоиндукции. При этом электрон и позитрон могут попадаать внутрь нейтрона, и если одна из частиц, образующих позитроний, находится вне нейтрона, то другая из этих частиц находится внутри нейтрона.

В 1960-х годах М.Гелл-Манн установил, что внутри нейтрона находятся три "кварка", один из которых имеет отрицательный электрический заряд равный 2/3 заряда электрона, а каждый из двух остальных кварков имеет положительный электрический заряд равный 1/3 заряда позитрона. Так как нейтрон играет роль катушки самоиндукции электромагнитного осциллятора, кварки играют роль сердечников катушек самоиндукции.

Движение электрона и позитрона в атоме водорода происходит следующим образом. Электрон притягивается к нейтрону, в центре которого находится позитрон, падает на нейтрон, входит внутрь его и движется по винтовой линии на поверхности первого кварка к центру нейтрона, а позитрон движется по винтовым линиям на поверхностям двух других кварков, выходит из нейтрона и доходит до положения симметричного первоначальному положению электрона относительно центра нейтрона. Далее позитрон падает на нейтрон, входит внутрь его и движется к его центру по винтовым линиям на поверхностях двух кварков, а электрон движется по винтовой линии на поверхности первого кварка, выходит из нейтрона и движется к своему первоначальному положению, после чего движения электрона и позитрона продолжается таким же образом снова. Дробные электрические заряды кварков объясняются тем, что эти значения являются средними арифметическими для многих циклов.

В атомной физике положения частиц и значения физических величин определяются иначе, чем в классической физике: с каждой частицей в атомной физике связана комплексная волновая функция Y(x,y,z,t) пространственных координат и времени, которую можно рассматривать как вектор комплексного гильбертова пространства, а с каждой физической величиной - самосопряженный линейный оператор А этого пространства, причем вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства - времени и вероятность того, что значение физической величины находится в некоторой области этих значений равны интегралам от квадрата модуля вектора |Y| или от эрмитовой формы равной скалярному произведению векторов Y и AY по указанным областям. С количеством электричества электрона или позитрона связано произведение волновой функции этой частицы на величину q заряда этой частицы, а сила тока, определяемого движением этой частицы, выражается вещественной частью частной производной соответственной волновой функции qy по времени.

Волновая функция, определяющая электрон атома водорода в случае, когда энергия позитрония, входящего в состав этого атома, равна Е, удовлетворяет уравнению Шредингера

(h/2n)I9^/9t = E^, (5) где h - константа Планка, имеющая размерность действия, т.е. произведения энергии на время. Линейный оператор, стоящий в левой части этого уравнения, определяет энергию системы, а Е - собственное значение этого оператора. Если представить функцию Y в виде Y1+iY2 где Y1 и Y2- вещественные функции, то комплексное уравнение (5) можно переписать в виде системы двух вещественных уравнений (h/2n)a^1/at = e^2, (h/2p)a^2/at = -E^1 (6)

того же вида, что система (2). Уравнения (6) равносильны уравнению

(h/2n)2a2^1/3t2 + E2^1 = 0, (7) решение которого имеет вид = (cos (2nEt/h)) (^1)0 + (sin (2nEt/h)) O^/dt)0. (8)

Функция (8) является периодической с периодом T=h/E, т.е. частота n = 1/T переменного тока в атоме водорода связана с энергией Е соотношением E = hn. последнее соотношение совпадает с формулой Планка, связывающей энергию Е кванта света с частотой n этого света.

Линейные операторы, отличающиеся от оператора, стоящего в левой части уравнения (5) заменой временной координаты t на пространственные координаты х, у, и, определяют соответственные координаты вектора импульса. Позитроний и нейтрон образуют асимметричную пару противоположностей, а позитрон и электрон в позитронии - симметричную пару. Греческое слово atomos - "неделимый" является аналогом латинского слова individuum. Человеческий индивидуум в религиозных представлениях, как и атом водорода, состоит из двух ассимметричных противоположностей - тела и души, а в человеческой душе имеются симметричные противоположности, называемые добром и злом.