Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

• Название: Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра
• Автор: Борис Розенфельд
• Жанр: Биографии и Мемуары

Книга, название которой подсказано книгой Вейля - это воспоминания и мысли геометра и математика Бориса Абрамовича Розенфельда, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими людьми.

Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

---

Продолжая исследования Фрейденталя, Ж.Титс доказал, что некомпактная вещественная простая группа Ли с характером -20 является группой движений октонионной эрмитовой гиперболической плоскости. Впоследствии я доказал, что расщепленная простая группа Ли этого класса является группой движений псевдооктонионной эрмитовой эллиптической плоскости и построил аналогичные геометрические интерпретации для всех некомпактных вещественных групп Ли классов Е6, Е7 и Е8. Геометрические интерпретации всех вещественных особых простых групп Ли рангов 4, 6, 7 и 8 имеют следующий вид.

Компактная простая группа Ли класса F4 локально изоморфна группе движений октонионной эрмитовой эллиптической плоскости.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса F4 с характером -20 локально изоморфна группе движений октонионной эрмитовой гиперболической плоскости.

Расщепленная простая группа Ли класса F4 локально изоморфна группе движений псевдооктонионной эрмитовой эллиптической плоскости.

Компактная простая группа Ли класса Е6 локально изоморфна группе двиэжений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером -14 локально изоморфна группе движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером -26 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C' и О и группе проективных преобразований октонионной проективной плоскости.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е6 с характером 2 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е6 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C' и О' и группе проективных преобразований псевдооктонионной проективной плоскости.

Компактная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е7, с характером -5 локально изоморфна группам движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О и эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H' и О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е7 с характером -25 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H' и О'.

Компактная простая группа Ли класса Е8 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О.

Некомпактная вещественная простая группа Ли класса Е8 с характером -24 локально изоморфна группам движений эрмитовой гиперболической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О и эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр О и О'.

Расщепленная простая группа Ли класса Е8 локально изоморфна группе движений эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О'.

Проективные и неевклидовы пространства над неассоциативными алгебрами не могут иметь размерность больше 2, так как в этом случае теорема Дезарга равносильная ассоциативности алгебры, над которой построено пространство, является следствием аксиом сочетания проективной геометрии.

Вскоре после того как я прочел цикл лекций о геометриях групп Ли в Утрехте Фрейденталь написал мне, что, обсуждая мои лекции с Титсом они пришли к выводу, что мои геометрические интерпретации особых простых групп Ли невозможны, так как размерностей линейных представлений простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8, определяемых моими интерпретациями, нет в списке линейных представлений этих групп, утановленном Картаном в 1913 г.

Я ответил Фрейденталю, что представления этих групп, определяемые моими интерпретациями, не являются линейными.

Выше я писал, что точки октонионной проективной плоскости можно

определять тремя октонионными координатами, принадлежащими к одному ассоциативному подтелу тела О, и поэтому точки октонионной проективной плоскости можно определять тремя октонионными координатами, находящимися в одном ассоциативном подтеле тела О и заданными с точностью до правого множителя, являющегося элементом того же подтела. Поэтому при проективных преобразованиях октонионной плоскости три координаты xi точек этой плоскости подвергаются некоторому автоморфизму тела О, который переводит их в три октониона f(X|), также принадлежащие к одному ассоциативному подтелу тела О, эти три октониона подвергаются линейному преобразованию с помощью октонионной матрицы 3-го порядка, полученной "проектированием" матрицы группы, представляющей группу проективных преобразований октонионной плоскости, на то подтело, к которому принадлежат октонионы f(Xi).

Движения октонионной эрмитовой эллиптической определяются таким же образом, но матрица третьего преобразующая октонионы f(xi), получается "проектированием" октонионной матрицы 3-го порядка.

Координаты точек 2-мерных эрмитовых эллиптических и гиперболических плоскостей, группы движений которых являются особыми простыми группами Ли рангов 4, 6, 7 и 8, а также сами движения этих групп, определяются аналогично.

Образы симметрии компактных особых простых групп Ли имеют следующий вид.

В 6-мерном G-эллиптическом пространстве имется только один вид образов симметрии - точки.

В октонионной эрмитовой эллиптической плскости имеются два вида образов симметрии - точки и нормальные кватернионные 2-цепи, определяемые аналогично комплексным нормальным n-цепям кватернионного пространства.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О имеются четыре вида образов симметрии - точки, октонионные нормальные 2-цепи, комплексно -кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от поля C к полю R и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

плоскости порядка, унитарной

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О имеются также четыре вида образов симметрии - точки, комплексно-октонионные нормальные 2-цепи, кватернионно- кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от тела H к полю C и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи

определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.

В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О имеются три вида образов симметрии - точки, кватернионно-октонионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходом от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются таким же переход в обоих сомножителях тензорного произведения.

Принципы двойственности и тройственности

Принцип двойственности n-мерной вещественной проективной геометрии связан с двусторонней симметрией диаграммы Дынкина простой группы класса An. Соглацно этому принципу гиперплоскости и m-мерные плоскости n-мерного пространства изображаются точки и (п-т-1)-мерные плоскости некоторого другого проективного прпстранства той же размерности.

Эта внутренняя симметрия в группе была ясна Э.Картану задолго до появления диаграммы Дынкина. Еще в 1925 г. Картан опубликовал статью "Принцип двойственности и теория простых и полупростых групп", в которой он обобщил принцип двойственности для простых групп Ли класса А на простые группы класса Dn и на простую группу Ли класса Е6. Диаграммы Дынкина этих групп также обладают двусторонней симметрией. В случае групп класса Dn двойственными образами являются плоские образующие максимальной размерности абсолюта, принадлежащие к двум разным семействам.

Простая группа класса Е6, локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости, на этой плоскости точки двойственны прямым линиям.

В случае простой группы класса D4 диаграмма Дынкина обладает трехсторонней симметрией. Для этой группы Картан в той же статье 1925 г. сформулировал принцип тройственности. Для 7-мерных вещественных эллиптического пространства и псевдоэллиптического пространства индекса 4, группы движений которых являются компактной и расщепленной группами этого класса, тройственными образами являются 3-мерные плоские образующие абсолюта двух семейств и точки абсолюта, Эти образы мнимы в эллиптическом пространстве и вещественнын в псевдоэллиптическом пространстве. В обоих случаях вещественными тройственными образами являются прямые и паратактические конгруенции двух семейств. Из последнего факта вытекает изоморфизм группы движений 7-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 и группы симплектических преобразований 3-мерного кватернионного симплектического пространства, а также интерпретация Л.В.Румянцевой одного из этих пространств в другом.