Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

• Название: Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра
• Автор: Борис Розенфельд
• Жанр: Биографии и Мемуары

Книга, название которой подсказано книгой Вейля - это воспоминания и мысли геометра и математика Бориса Абрамовича Розенфельда, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими людьми.

Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

---

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса An изоморфна группе симметрий n-мерного правильного симплекса, Группа Вейля компактной простой группы Ли класса An изоморфна группе симметрий n- мерного правильного симплекса, Группы Вейля компактных простых группы Ли классов Bn и Cn изоморфны группе симметрий n-мерного куба. Группа Вейля компактной простой группы Ли класса Dn изоморфна группе симметрий n-мерного "полукуба", т.е. фигуры, получаемой из n-мерного куба удалением одной из каждых двух вершин, соединяемых ребрами куба.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса G2 изоморфна группе симметрий правильного 6-угольника. Группа Вейля компактной простой группы Ли класса F4 изоморфна группе симметрий 4-мерного "бикуба", т.е. фигуры, вершины которой получаются из вершин 4-мерного куба добавлением 16 отражений центра симметрии куба от его граней.

Группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е6 изоморфна группе симметрий кубической поверхностив 3-мерном проективном пространстве с 27 прямолинейными образующими, уравнение которой можно привести к виду ace = bdf, где a, b, c, d, e, f - линейные полиномы, а группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е7 изоморфна группе симметрий линии 4-го порядка на проективной плоскости, с 28 двойными касательными.

В работе опубликованной в Белграде в 2005 г. я доказал, что последняя группа Вейля изоморфна группе симметрий поверхностив 4-го порядка в 3-мерном проективном пространстве, уравнение которой можно привести к виду aceg = bdfh, где a, b, c, d, e, f, g, h - линейные полиномы, а группа Вейля компактной простой группы Ли класса Е8 изоморфна группе симметрий 2-мерной поверхности в 4-мерном проективном пространстве, уравнение которой можно привести к виду adg = beh = cfi, где a, b, c, d, e, f, g, h, i -линейные полиномы. Эта 2-мерная поверхность обладает 27 прямолинейными образуощими и 108 трисекантами, т.е. прямыми линиями пересекающими эту поверхность в тройках точек. Так как число 27 + 108 = 135 прямых, связанных с этой 2-мерной поверхностью, совпадает с числом прямых линий в 4-мерной плоскости 9-мерного эллиптического пространства, определенном выше, а группы симметрий этих двух конфигураций прямых линий изоморфны между собой, эти конфигурации также совпадают между собой.

Геометрия квазипростых и r-квазипростых групп Ли

Выше я упоминал о связи междо некомпактными простыми группами Ли и симметрическими пространствами с компактной простой группой движений. Эта связь, установленная Картаном в 1929 г., состоит в следующем: если s - инволютивный элемент компактной группы G движений, определяющий симметрическое пространство, то переход от элемента g группы G к элементу sgs является инволютивным автоморфизмом группы G. Этот автоморфизм порождает инволютивный автоморфизм в алгебре Ли А группы G. Этот автоморфизм алгебры Ли А определяет ее представление в виде прямой суммы двух подпространств A=B+C, где пространства B и C таковы, что при этом автоморфизме все векторы подпространства В инвариантны, а все векторы подпространства C умножаются на -1.

Если мы умножим все векторы подпространства C на мнимую единицу j, мы получим алгебру Ли А' некомпактной группы G', имеющей ту же комплексную форму, что и группа G. Алгорит перехода от группы G к группе G' я называю "Картановым алгоритмом". И.М.Гельфанд называет группы G и G' "двойственными по Картану".

Если мы умножим все векторы подпространства С не на мнимую единицу j, а на дуальную единицу e алгебры C0 дуальных чисел, мы получим алгебру Ли A0 новой группы Go, которую И.М.Гельфанд называет "тройственной по Картану" по отношению к группам G и G'.

Когда я читал в Утрехте лекцию об этих группах, Фрейденталь предложил называть эти группы "квазипростыми группами Ли." Поэтому я называю переход от группы G к группе G0 "квазикартановым алгоритмом".

Квазикартанов алгоритм может быть применен не только к компактным, но и к любым простым группам Ли. Его можно применять и несколько раз, и я называю группу Ли, полученную из простой группы Ли r-кратным применением квазикартанова алгоритма, "r-квазипростой группой Ли".

Понятие простоты, квазипростоты и r-квазипростоты имеют место и для алгебр. Ассоциативная алгебра называется простой, если она не содержит двусторонних идеалов. Как доказал Э.Картан, простыми ассоциативными алгебрами над полем R являются алгебры M(n), CM(n) и HM(n) вещественных, комплексных и кватернионных матриц n -го порядка. В частности, простыми алгебрами являются и сами алгебры C и H. Применяя Картанов алгоритм к алгебрам C и H мы получаем алгебры C' двойных чисел и H' псевдокватернионов. Применяя к этим алгебрам квазикартанов алгоритм, мы получим квазипростые алгебры C0 дуальных чисел и H0 полукватернионов.

Проста и альтернативная алгебра О октонионов. Применяя к ней Картанов алгоритм, мы получим простую альтернативную алгебру O' псевдооктонионов, а применяя к алгебре О квазикартанов алгоритм, мы получим квазипростую альтернативную алгебру O0 полуоктонионов.

Мое внимание к квазипростым алгебрам привлек И.М.Яглом еще в то время, когда я готовил докторскую диссертацию. Позднее он заинтересовал меня вырожденными неевклидовыми геометриями, группами движений которых являются квазипростые и r-квазипростые группы Ли.

Наиболее известными квазипростыми группами Ли являются группы движений евклидова и псевдоевклидовых пространств. Группа движений n- мерного вещественного евклидова пространства является тройственной по Картану по отношению к группам движений n-мерных вещественных эллиптического и гиперболического пространств. Группа движений n- мерного вещественного псевдоевклидова пространства индекса k является тройственной по Картану по отношению к группам движений n-мерных вещественных псевдоэллиптических пространств индексов k и k+1.

Если дополнить n-мерные евклидово и псевдоевклидовы пространства их бесконечно удаленными гиперплоскостями до проективного пространства, гиперсферы евклидова и псевдоевклидовых пространств высекают из этих гиперплоскостей мнимую и вещественную квадрики. Эти квадрики можно рассматривать как абсолюты (n-1)-мерных эллиптического и псевдоэллиптических пространств. Бесконечно удаленные гиперплоскости евклидова и псевдоевклидовых пространств вместе с квадриками, высекаемыми из них гиперсферами этих пространств, называются абсолютами евклидова и псевдоевклидовых пространств.

По принципу двойственности проективного пространства евклидову пространству и псевдоевклидовым пространствам вместе с их абсолютами соответствуют коевклидово пространство и копсевдоевклидовы пространства, т.е. пространства с проективными метриками, абсолютами которых являются мнимый и вещественные гиперконусы второго порядка с точечными вершинами. Расстояния между точками этих пространств, расположенными на прямых, не проходящих через вершину гиперконуса, измеряются как на эллиптических и гиперболических прямых. Расстояния между точками прямых, проходящих через вершину гиперконуса, измерятся как на евклидовых прямых. За расстояния между точками коевклидова и копсевдоевклидовых пространств можно принять в первом случае углы между пересекающимися гиперплоскостями евклидова и псевдоевклидовых пространств, а во втором случае - расстояния между параллельными гиперплоскостями этих пространств.

Евклидово и коевклидово пространства являются частными случаями квазиэллиптического пространства дефекта m. Это пространство также является пространством с проективной метрикой, абсолют которого состоит из мнимого гиперконуса с плоской вершиной размерности n-m-1 и мнимой квадрики в этой плоскости. Расстояния между точками, расположенными на прямых, не пересекающих вершинную плоскость гиперконуса, и на прямых, лежащих в этой вершинной плоскости, измеряются как на эллиптических прямых. Расстояния между точками прямых, пересекающих вершинную плоскость, измеряются как на евклидовых прямых. При m =0 это пространство евклидово, при m =n-1 это пространство коевклидово.

Заменяя в определении квазиэллиптического пространства мнимый гиперконус и мнимую квадрику, или одну из этих поверхностей, вещественными, мы получим квазипсевдоэллиптические пространства, частными случаями которых являтся псевдоевклидовы и копсевдоевклидовы пространства.

Группы движений квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических пространств являются квазипростыми группами тройственными по Картану по отношению к группам движений эллиптического и псевдоэллиптического пространств или по отношению к группам движений двух псевдоэллиптических пространств разных индексов.

Вершинные (n-m-1)-мерные плоскости гиперконусов абсолютов n-мерных квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических пространств являются (n-m-1)-мерными эллиптическими пространствами или содержат (n-m-1)-мерное псевдоэллиптическое пространство.

Заменяя эти пространства (n-m-1)-мерными квазиэллиптическими или квазипсевдоэллиптическими пространствами, мы получим n-мерные биквазиэллиптические и биквазипсевдоэллиптические пространства. Группы движений этих пространств являются биквазипростыми группами Ли.