Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

К счастью, символика логики была разработана в конце XIX — начале XX вв. (гл. VIII), поэтому у Гильберта с самого начала было под рукой все необходимое. В частности, он располагал такими символами, как — ~ (не), ∙ (и), \/ (или),  (следует),  (существует). Все они были первичными, или неопределяемыми, понятиями. Что же касается самой математики, то для нее символические обозначения были разработаны давно.

По замыслу Гильберта из выбранных им аксиом логики должны были следовать все законы логики Аристотеля. Применимость этих аксиом вряд ли вызывала у кого-нибудь сомнения, например, если X, Y и Z — высказывания, то одна из аксиом Гильберта гласит: «Если X, то X \/ Y» (иными словами, «Если истинно X, то истинно также X или Y»). Другая аксиома сводится к неформальному утверждению о том, что если из X следует Y, то из «Z или X» следует «Z или Y». Особое место в логике Гильберта занимает схема заключения. На неформальном уровне она утверждает, что если формула А верна и если из формулы А следует формула В, то формула В верна. В аристотелевой логике этот закон называется modus ponens (модус поненс). Гильберт не хотел также отказываться от закона исключенного третьего и с помощью специального приема записал в символическом виде и этот закон. Тот же прием позволил формализовать и аксиому выбора, которая, несомненно, принадлежит к числу математических аксиом. Подобный прием позволял избегать явного употребления слова «все» — Гильберт надеялся, что это поможет ему обойти все парадоксы.

В любой области математики, имеющей дело с числами, существуют (в соответствии с программой Гильберта) аксиомы арифметики. Например, существует аксиома «из a = b следует a' = b'», утверждающая, что если два целых числа a и b равны, то числа, непосредственно следующие за ними (интуитивно — ближайшие большие a, соответственно b, целые числа), также равны. В аксиомы арифметики входит и аксиома математической индукции (ср. [72]). Как правило, аксиомы имеют отношение к нашему опыту, связанному с наблюдением явлений природы, или к миру уже существующих математических знаний.

Формальная система, представляющая теорию множеств, должна содержать (записанные в виде комбинаций символов) аксиомы, которые указывают, какие множества допустимо образовывать. Например, подобные аксиомы могут допускать составление множества, являющегося объединением двух множеств, и множества всех подмножеств данного множества.

Записав все математические и логические аксиомы в виде символических формул, Гильберт подготовил все необходимое для ответа на главный вопрос: что следует понимать под объективным доказательством? По Гильберту, строгое доказательство складывается из трех этапов: 1) предъявление некоторой формулы; 2) утверждение, что из предъявленной формулы следует другая формула, и 3) предъявление второй формулы. Последовательность из этих трех этапов, в которой вторая предъявляемая формула является следствием из принятых ранее аксиом или ранее выведенных заключений, и является доказательством теоремы. Допустимой операцией считается также подстановка одного символа или группы символов вместо другого символа или группы символов. По Гильберту, вывод формулы сводится к применению логических аксиом для манипуляции с символами ранее выведенных формул или аксиом.

Формула истинна в том и только том случае, если ее можно получить как последнее звено последовательности формул, каждый член которой либо представляет собой аксиому формальной системы, либо выведен с помощью одного из правил вывода. При желании можно проверить, является ли данная формула заключительным звеном соответствующей цепочки дедуктивных выводов, поскольку доказательство по существу представляет собой механическое преобразование символов. Мы видим, что, с точки зрения формалиста, доказательство и строгость — понятия вполне определенные и объективные.

Собственно математику формалист рассматривает как набор формальных систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими собственными понятиями, своими аксиомами, своими правилами дедуктивного вывода и своими теоремами. Развитие каждой из этих формальных систем и составляет задачу математики.

Такова была предложенная Гильбертом программа построения собственно математики. Но свободны ли от противоречий выводимые из аксиом заключения? Поскольку предыдущие доказательства непротиворечивости основных областей математики проводились в предположении, что арифметика непротиворечива (более того, как показал сам Гильберт, непротиворечивость евклидовой геометрии сводится к непротиворечивости арифметики), вопрос о непротиворечивости последней приобрел решающее значение. По словам Гильберта, «в геометрии и физической теории доказательство непротиворечивости достигается путем сведения к непротиворечивости арифметики. Подобный метод явно непригоден для доказательства непротиворечивости самой арифметики». Гильберта волновал вопрос абсолютной, а не относительной непротиворечивости. На этой проблеме он сосредоточил свои усилия, утверждая, что нельзя подвергать себя риску столкнуться в будущем с неприятными сюрпризами, подобными тем, которые возникли в математике начала XX в.

Непротиворечивость «не видна снаружи». Невозможно предвидеть все следствия из аксиом. Но Гильберт, как и почти все математики, занимавшиеся проблемами оснований математики, использовал понятие материальной импликации (гл. VIII), в которой из ложного высказывания следует что угодно. Если в системе существует противоречие, то по закону противоречия одно из каких-то двух высказываний должно быть ложным, а если существует ложное высказывание, то из него следует, что 1 = 0. Следовательно, для доказательства непротиворечивости необходимо лишь убедиться в том, что мы нигде не придем к утверждению 1 = 0. Тогда, заметил Гильберт в работе 1925 г., «то, что мы пережили дважды — сначала с парадоксами дифференциального исчисления, а затем с парадоксами теории множеств — не произойдет в третий раз и не повторится никогда».

В серии работ, выполненных в период 1920-1930 гг., Гильберт и его ученики Вильгельм Аккерман (1896-1962), Пауль Бернайс (1888-1978) и Джон фон Нейман (1903-1957), постепенно создали метод, получивший название гильбертовской Beweistheorie [теории доказательства] или метаматематики, — метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы (ср. [73], [74]). Суть основной идеи метаматематики можно пояснить с помощью следующей аналогии. Допустим, вы захотели бы изучить выразительные возможности японского языка и решили бы проводить этот анализ на японском языке — тогда ваши результаты оказались бы в значительной мере ограничены возможностями самого японского языка. Но если считать, что английский язык выразителен, то при изучении возможностей японского языка целесообразно было бы воспользоваться английским.

В метаматематике Гильберт предложил использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких возражений. Истинность ее законов должна быть настолько очевидной, что всякий мог бы принять их без тени сомнения. По существу эти идеи Гильберта были весьма близки принципам интуиционизма. Все спорные моменты — доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуально бесконечные множества, непредикативные определения — старательно изгонялись. Доказательства существования должны были быть конструктивными. Поскольку формальная система может продолжаться неограниченно, метаматематика не могла обойти вниманием понятия и проблемы, по крайней мере относящиеся к потенциально бесконечным системам. Но ссылки на бесконечное число структурных свойств формулы или использование бесконечного числа производимых над формулами операций объявлялись недопустимыми. Рассматривать формулы, в которые входят символы, означающие актуально бесконечные множества, не запрещалось, но сами множества могли входить лишь как символы в формулах. Математическая индукция по натуральным (положительным целым) числам считалась допустимой, поскольку она доказывает утверждение для любого конечного n; однако не следовало понимать этот метод так, будто он позволяет доказывать утверждение сразу для всего бесконечного множества натуральных чисел.

Понятия и методы метаматематического доказательства Гильберт назвал финитными. Строгого определения этого термина дано не было. В работе 1925 г. смысл финитности Гильберт пояснил на следующем примере. Высказывание «Если p — простое число, то существует простое число, которое больше p» не финитно, так как представляет собой утверждение о всех целых числах, которые больше p. Высказывание же «Если p — простое число, то существует простое число, которое больше p и меньше p! + 1 (p — факториал плюс единица)» финитно, так как при любом простом p нам необходимо лишь убедиться, существует ли простое число среди конечного{130} множества чисел, заключенных между p и p! + 1.