Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Теоретико-множественное направление, как, впрочем, и все другие направления в основаниях математики, также не избежало критики. Многие считали недопустимым использование аксиомы выбора. Другие критики усматривали признак слабости теоретико-множественного направления в том, что его представители обходили молчанием вопрос о логических основах своей теории. Сама логика и ее отношение к математике явились предметом подробного обсуждения уже в первом десятилетии XX в. Представители же теоретико-множественного направления довольно небрежно обращались с логическими принципами. Их уверенность в непротиворечивости аксиоматической теории множеств считалась проявлением наивности (критики не без яда напоминали, что и Кантор был наивен до тех пор, пока не столкнулся с трудностями, гл. IX). Некоторые критики находили, что аксиомы теории множеств весьма произвольны и носят искусственный характер. Аксиомы Цермело — Френкеля предназначены для того, чтобы избежать парадоксов, но некоторые из этих аксиом неестественны или не основаны на интуитивных представлениях. Коль скоро представители теоретико-множественного направления принимают логические принципы как нечто очевидное, то почему бы не начать с арифметики, спрашивали критики.

Несмотря на все критические замечания, аксиоматика Цермело — Френкеля до сих пор используется некоторыми математиками как надежное основание для построения всей математики. Теория множеств Цермело — Френкеля — самая общая и фундаментальная теория, на которой и ныне строятся математический анализ и геометрия. Число приверженцев других направлений в основаниях математики возрастало по мере того, как их лидеры развивали и пропагандировали свои взгляды. Аналогичная история произошла и с теоретико-множественным подходом. Некоторые логицисты, например, Уиллард Ван Орман Куайн, выступили в поддержку теории множеств. В этой связи нельзя не упомянуть (нарушая хронологическую последовательность изложения) о группе известных и весьма уважаемых математиков, объединившихся под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки. В 1936 г. эта группа поставила перед собой задачу доказать во всех деталях то, в чем были глубоко убеждены многие математики: если принять аксиоматику теории множеств Цермело — Френкеля (в переработке Бернайса и Гёделя) и некоторые принципы логики, то на них можно построить всю математику. Но для бурбакистов логика подчинена аксиомам собственно математики. Логика не определяет ни того, что такое математика, ни того, чем занимаются математики.

Свои взгляды на логику бурбакисты выразили в статье, опубликованной в Journal of Symbolic Logic (1949): «Иначе говоря, логика, если говорить о математиках, представляет собой не больше и не меньше, как грамматику языка, которым мы пользуемся, языка, который должен был существовать еще до того, как могла быть построена грамматика». Последующее развитие математики может потребовать новых модификаций логики. Так случилось с введением бесконечных множеств и, как мы увидим при обсуждении нестандартного анализа (гл. XIII), будет происходить в дальнейшем. Школа Бурбаки отвергла Фреге, Рассела, Брауэра и Гильберта. Ее представители используют аксиому выбора и закон исключенного третьего, хотя выводят его с помощью приема, предложенного Гильбертом. Группу Бурбаки не заботит проблема непротиворечивости. По поводу нее бурбакисты утверждают: «Мы просто отмечаем, что все эти трудности могут быть преодолены способом, позволяющим избежать всех возражений и не оставляющим сомнений в правильности рассуждений». Противоречия возникали в прошлом, и каждый раз их удавалось успешно разрешить. То же будет происходить и впредь. «Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно» ([2], с. 30). Бурбаки выпустил около тридцати томов «Элементов математики», построенных на основе теоретико-множественного подхода.{133}

Итак, к тридцатым годам XX в. сложились четыре различных, так или иначе конфликтующих подхода к математике, и сторонники различных направлений, не будет преувеличением сказать, вели между собой ожесточенную борьбу. Никто не мог более утверждать, что такая-то и такая-то теорема доказана правильно: в 30-е годы непременно следовало пояснить, каким стандартам правильности удовлетворяет данное доказательство. Проблема непротиворечивости математики — основная проблема, стимулировавшая появление и развитие не одного нового подхода, — не ставилась совсем (исключение, быть может, составляют интунционисты, считавшие, что человеческая интуиция служит надежной гарантией непротиворечивости).

Та самая наука, которая в начале XIX в., несмотря на все зигзаги логического развития, была провозглашена совершеннейшей из наук, та самая наука, в которой теоремы доказывались с помощью неопровержимых, безупречных рассуждений, та самая наука, утверждения которой были не только неопровержимыми, но и считались истинами об окружающем нас мире и, по мнению некоторых, остались бы истинами в любом из возможных миров, не только отказалась от всяческих притязаний на истину, но и запятнала себя конфликтами между различными школами в основаниях и взаимоисключающими утверждениями о правильных принципах логики. Гордость человеческого разума была глубоко уязвлена.

Положение, сложившееся в 30-е годы, красочно описал математик Эрик Темпл Белл:

Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения… Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.

Что могла ожидать математика от будущего? Как мы увидим, будущее принесло множество новых, не менее серьезных проблем.

XII Бедствия

Жарко, жарко, пламя ярко!

Хороша в котле заварка!{134}

Вильям Шекспир, Макбет

Оглядываясь назад, можно сказать, что состояние оснований математики в 30-е годы XX в. было вполне удовлетворительным. Парадоксы были разрешены, хотя каждая из школ в основаниях математики решала их по-своему. Правда, не существовало единого мнения относительно того, какую математику надлежит считать правильной, но каждый математик мог выбрать подход, наиболее отвечающий его вкусам, и действовать в соответствии с принципами, которых придерживались сторонники данного направления.

Однако две проблемы продолжали беспокоить математиков. Первой, и главной, была проблема доказательства непротиворечивости математики — та проблема, которую в 1900 г. поставил в своем докладе на II Международном математическом конгрессе в Париже Гильберт. Хотя известные парадоксы были разрешены, опасность возникновения в будущем новых парадоксов по-прежнему существовала. Вторая проблема, не дававшая покоя математикам, была связана с так называемой полнотой аксиоматических систем. Говоря кратко, полнота системы аксиом, описывающих какую-либо область математики, означает в известном смысле адекватность этой аксиоматики тому разделу науки, который с ее помощью задается, т.е. означает возможность доказать на основе принятой системы аксиом истинность или ложность любого осмысленного утверждения, содержащего понятия рассматриваемой области математики.

На самом элементарном уровне проблема полноты сводится к вопросу о том, можно ли на основании аксиом Евклида доказать (или опровергнуть), например, разумную гипотезу о том, что в евклидовой геометрии высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. На более высоком уровне (в области кардинальных трансфинитных чисел) проблему полноты иллюстрирует гипотеза континуума (гл. IX). Полнота аксиоматической системы требует, чтобы с помощью аксиом теории множеств гипотезу континуума можно было или доказать, или опровергнуть. Полнота аксиоматики арифметики (теории чисел) требует, чтобы с помощью аксиом теории чисел (т.е. аксиом, задающих множество натуральных чисел) можно было либо доказать, либо опровергнуть гипотезу Гольдбаха, согласно которой каждое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Пока мы не знаем, верна эта гипотеза или не верна, но если аксиоматика арифметики полна, то она либо верна, либо не верна — третьего исхода нет. Проблема полноты затрагивает также множество других утверждений, которые на протяжении десятилетий и даже веков математикам не удавалось ни доказать, ни опровергнуть.