Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Затем Пуанкаре обращается к определению нуля, предложенному одним из первых сторонников логицизма Луи Кутюра (1868-1914). Нуль, по Кутюра, — это «число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента» ([1], с. 377). Далее Кутюра «усовершенствует» свое определение, переводя его на язык символических обозначений. Пуанкаре дает обратный перевод: «Нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется. Но так как «никогда» означает «ни в одном случае», то я не вижу значительного успеха в этой замене» ([1], с. 377).

Пуанкаре критикует далее предложенное Кутюра определение числа 1: «Один, утверждает Кутюра, в сущности есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны… Боюсь, что если спросить у Кутюра, что такое «два», то он должен будет в ответ воспользоваться словом «один» ([1], с. 377-378).{119}

Предшественники интуиционизма Кронекер, Борель, Лебег, Пуанкаре и Бэр — созвездие блистательных имен! — высказывали критические замечания по поводу стандартных математических рассуждений и логического подхода, но их собственный вклад в развитие интуиционизма был фрагментарным и случайным. Их идеи вошли в окончательную версию, разработанную голландским математиком, основоположником философии интуиционизма Лейтценом Эгбертом Яном Брауэром (1881-1966). Изложение философии интуиционизма Брауэр начал в своей докторской диссертации «Об основаниях математики» (1907). Обобщенный вариант своих взглядов Брауэр изложил в серии статей, опубликованных, начиная с 1918 г., в различных журналах.

Интуиционистская позиция Брауэра в математике проистекает из его общефилософских взглядов. Математика, считает Брауэр, — это человеческая деятельность, которая начинается и протекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика не существует. Следовательно, заключает Брауэр, математика не зависит от реального мира. Разум непосредственно постигает основные, ясные и понятные, интуитивные представления. Они являются не чувственными или эмпирическими, а непосредственно данными, достоверными представлениями о некоторых математических понятиях. К таким понятиям относятся целые числа. Фундаментальное интуитивное представление — постижение различных событий в хронологической последовательности. «Математика возникает тогда, когда сущность двойки [числа «два»], возникающая вследствие хода времени, абстрагируется от всего частного. Остающаяся пустая форма общего содержания всех двоек становится исходным интуитивным представлением математики и, повторяемая неограниченно, создает новые математические сущности». Под неограниченным повторением Брауэр понимает образование последовательных натуральных чисел. Идею о том, что понятие целого числа является производным от интуитивного представления о времени, высказывали также И. Кант, Уильям Р. Гамильтон (в статье «Алгебра как наука о времени») и философ Артур Шопенгауэр.

Математическое мышление, по Брауэру, представляет собой процесс мысленного построения, создающего свой собственный мир, не зависящий от опыта и ограниченный лишь тем, что в основе его должна лежать фундаментальная математическая интуиция. Это фундаментальное интуитивное понятие следует представлять себе не как нечто сходное по природе с неопределяемыми понятиями, встречающимися в аксиоматических теориях. Наоборот, через него должны постигаться разумом все неопределяемые идеи, используемые в различных математических системах, если они действительно призваны служить математическому мышлению. Кроме того, математика по своей природе синтетична. Она занимается составлением истин, а не выводит их из логики.

Брауэр был убежден в том, что «в этом конструктивном процессе, ограниченном непременной обязанностью отмечать по мере возникновения новых идей и повышения культуры мышления, какие тезисы приемлемы для интуиции, самоочевидны для разума, а какие неприемлемы, — единственное возможное основание, которое стремится обрести математика». Интуиция (а не опыт или логика) определяет, согласно Брауэру, правильность и приемлемость идей. Следует помнить, подчеркивал он, что это отнюдь не отрицает той исторической роли, которую сыграл опыт.

Помимо натуральных чисел Брауэр считал интуитивно ясными сложение, умножение и математическую индукцию. Кроме того, получив натуральные числа 1, 2, 3, …, разум, используя возможность неограниченного повторения «пустой формы» — шаги от n к n + 1, — создает бесконечные множества. Однако такие множества лишь потенциально бесконечны в том смысле, что к любому заданному конечному множеству чисел всегда можно прибавить еще большее число. Брауэр отвергал актуально бесконечные множества Кантора, все элементы которых были представлены «в готовом виде», и тем самым отрицал теорию трансфинитных чисел, аксиому выбора Цермело и те разделы анализа, которые используют актуально бесконечные множества. В докладе, прочитанном в 1912 г., Брауэр признал ординальные числа вплоть до ω и счетные множества. Он также допускал существование иррациональных чисел, определяемых последовательностями рациональных чисел без какого бы то ни было закона образования последовательности — «последовательностями свободного выбора». Сколь ни расплывчато это определение, оно все же делало возможным появление несчетного множества вещественных чисел. В то же время геометрия включает понятие пространства и поэтому в отличие от понятия числа не полностью контролируется нашим разумом. Синтетическая геометрия относится к физическим наукам.

В связи с интуиционистским понятием бесконечного множества интуиционист Вейль{120} писал в статье 1946 г.:

Последовательность чисел, которые, возрастая, превосходят любой достигнутый ими предел… есть многообразие возможностей, открывающихся перед бесконечностью; она навсегда остается в стадии сотворения, но не переходит в замкнутый мир вещей, существующих в себе. Источник наших трудностей, в том числе и антиномий [парадоксов], более фундаментален по своей природе, чем указанный принципом порочного круга Рассела, и состоит в том, что мы одно слепо превратили в другое. Брауэр открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в абсолют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на опыте.

Брауэр подверг критическому анализу отношение математики к языку. Математика — полностью автономный, находящий основание в самом себе вид человеческой деятельности. Она не зависит от языка. Слова или словесные связки используются в математике только для передачи истин. Математические идеи уходят своими корнями в человеческий разум глубже, чем в язык. Мир интуитивных математических представлений противостоит миру восприятий. К последнему, а не к математике, принадлежит язык, служащий для повседневного общения. Язык с помощью букв и звуков пробуждает в человеческом разуме копии идей. Различие между идеями и их копиями такое же, как между восхождением на гору и его словесным описанием. Но математические идеи не зависят от словесного одеяния, в которое их облекает язык, и в действительности гораздо богаче. Мысли никогда невозможно выразить полностью даже на математическом языке, в том числе и на языке символов. Кроме того, язык вносит отклонения от предмета собственно математики.

Еще более решительную позицию, резко контрастирующую с логицизмом, интуиционизм занимает в отношении логики. Логика принадлежит языку. Она дает систему правил, позволяющих осуществлять дедуктивный вывод новых словесных связок, предназначаемых, по предположению, для того, чтобы передавать истины. Однако эти истины не относятся к числу постигаемых непосредственно и даже постигаемых вообще. Логика не является надежным инструментом для открытия истин и не может открыть истины, не получаемые каким-то другим путем. Логические принципы — это закономерности, наблюдаемые апостериорно в языке. Их можно назвать удобным инструментом для манипулирования языком или считать, что они образуют теорию представлений языка. Логика — это наделенное внутренней структурой словесное построение, и не более того. Самые значительные успехи в математике достигнуты не за счет усовершенствования логической формы, а в результате изменений основной теории. Логика строится на математике, а не математика на логике. Логика обладает гораздо меньшей определенностью, чем наши интуитивные представления, и поэтому математика не нуждается в поддержке со стороны логики. Если посмотреть исторически, то принципы логики сначала были абстрагированы из опыта, накопленного в обращении с конечными множествами, после чего их объявили обладающими априорной справедливостью и в дополнение ко всему распространили на бесконечные множества.