Л. Науменко - Монизм как принцип диалектической логики

• Название: Монизм как принцип диалектической логики
• Автор: Л. Науменко
• Жанр: Философия
• Год: 1968

---

В аксиоматике теории вырабатывается система средств выражения для данной области объектов. Все, что рассматривается в этой области, должно быть выражено в ее системе средств, так сказать, сконструировано из этого «материала». Все, что не может быть сконструировано подобным образом, лежит вне пределов данной науки и потому оказывается для нее недействительным. Оно существует лишь по отношению к данной системе средств.

На этот счет можно привести следующий пример.

В аналитической геометрии Декарта устраняются «трансцендентные» кривые, которые с точки зрения их построения в созерцании не представляют собой чего-либо особо сложного. Однако при тех средствах анализа, которыми располагал Декарт, их построение оказалось невозможным. Введение нового способа анализа пространственных форм и соотношений с помощью координатной системы ограничивает область геометрии. Разработка более гибких и универсальных средств позволяет рассмотреть в геометрии и первоначально устраненные «трансцендентные» кривые.

С этой точки зрения можно рассмотреть и всю историю геометрии. Как известно, число геометрических образов, рассматриваемых в «Началах» Евклида, невелико: прямая, плоскость, окружность, сфера, цилиндр, конус и т.п. Разработанные же в XVIII в. методы дифференциальной геометрии позволяют рассмотреть бесконечное множество различных линий, поверхностей и их совокупностей. Условием этого анализа является только дифференцируемость функций, входящих в уравнения этих образов.

При определении какого-либо свойства реальных объектов, скажем, пространственного свойства, мы имеем дело с некоторой системой понятий, в которых оно выражается. Эта система понятий определенна. Свойство становится определенным также и теоретически посредством некоторой операции определения. Эта операция состоит в выражении его через преобразование уже имеющейся системы средств выражения. Если в эмпирическом познании определенность данного свойства рассматривается как данная, как продукт физических процессов, совершающихся независимо от мышления, то в логическом познании определенность некоторого созерцаемого свойства есть не исходный пункт, а продукт известной операции выражения и определения. В математике поэтому принимаются во внимание только такие предложения, которые представляют собой продукт преобразования некоторой принятой системы выражения, продукт композиции ее элементов. Акт математического познания поэтому является с логической стороны актом творческим, актом продуцирования данного свойства, его построения: в некоторой данной системе средств, но не актом описания. Это продуцирование, однако, является продуцированием не самой «вещи», но только ее теоретического образа, ее «модели».

Всякий геометрический объект определяется относительно некоторой однородной среды, закономерности которой, повсюду одинаковые, обусловливают свойства конкретного объекта, рассматриваемого в ней. Так, мы убеждены, что все геометрические фигуры суть некоторым образом «одно и то же», что они внутренне тождественны. Только при этом условии и возможно строго математическое познание.

Историческое развитие геометрии состояло в том, что это убеждение все более и более овладевало умами геометров.

Для геометрии древних характерно самостоятельное рассмотрение геометрических фигур сообразно особенностям их индивидуальной наглядной определенности. Так, например, круг и эллипс с точки зрения непосредственного созерцания представляются сущностями различных порядков, поэтому определение свойств каждой из них осуществлялось индивидуально. Отдельная фигура рассматривалась как самодовлеющая единица. Разумеется, между кругом и эллипсом можно подметить некоторое внешнее сходство, однако оно не касается существа.

Методы аналитической геометрии Декарта и современной дифференциальной геометрии, теории групп или проективной геометрии позволяют установить единый метод непрерывного преобразования любой самой сложной фигуры в другую. То, что в геометрии древних решается путем сложных и разрозненных операций, аналитическая геометрия разрешает более простым и единообразным способом. Так, например, теория конических сечений была построена еще Аполлонием Пергским (265-217 гг. до н.э.), но его изложение имело чрезвычайно сложную форму. То, что у Аполлония распадается на восемьдесят отдельных операций, сопровождаемых построением отдельных элементарных фигур, аналитическая геометрия решает путем немногих простых операций. Все конические сечения выражаются в декартовых координатах уравнениями 2-й степени, и построение их теории было сведено к исследованию таких уравнений[142].

Аналитическая геометрия Декарта позволяет свести сложное дискретное многообразие индивидуальных синтетических фигур, кривых и т.п. к числовому единообразию их аналитического выражения в координатной системе, к некоторому непрерывному числовому ряду с едиными, однородными закономерностями. В этой системе индивид уже не представляется самодовлеющей единицей познания. Наоборот, всякая индивидуальная определенность есть продукт известного состояния некоторой универсальной среды, между индивидами поэтому нет такого различия, которое бросается в глаза при их синтетическом исследовании, т.е. в непосредственном созерцании. Различия между отдельными геометрическими образами здесь находятся не «наряду» с определенными тождественными чертами, но вытекают из их тождественной сущности в соответствии с законами геометрии.

При дедуктивном построении геометрии мышление исходит не из отдельных геометрических объектов, но из одной и непрерывной закономерности, которая и определяет индивидуумы в их особенностях, из некоторого единого метода построения всей совокупности объектов. Изолированные пространственные формы, «образы», которые в своей индивидуальности даже боготворились греками, рассматривавшими их как некоторые индивидуальные сущности, «эйдосы» (треугольник, сфера и т.п. или тройка, семерка у пифагорейцев), были развенчаны и сведены к ряду некоторых простейших и всеобщих соотношений.

Любая геометрическая фигура рассматривается в аналитической геометрии как организованное множество точек, каждая из которых согласно координатному методу определена ее расстоянием от осей координат. Это расстояние подчиняется некоторому числовому закону. Но расстояние есть нечто такое, в чем данная фигура уже не существует в форме своей исключительной, индивидуальной определенности.

Расстояние, взятое в его числовом выражении, есть ее «плебейская», рядовая сущность. Эта ее сущность и раскрывается аналитическим методом. Особенности фигуры, синтетически представляющиеся неразложимыми, при аналитическом методе сводятся к ординарным особенностям числового ряда. Это и позволяет единообразно рассмотреть все царство индивидуальностей. Введение в геометрию дифференциальных методов еще более расширило ее возможности в этом направлении.

Первым успехом дифференциальной геометрии было создание (XVIII в.) работами Эйлера, Лагранжа и Монжа теории кривых линий и основы теорий поверхностей. В этих работах дифференциальная геометрия еще не рассматривалась, однако как самостоятельная дисциплина она представляла собой приложение анализа к геометрии. Выход в свет в 1827 г. сочинения К.Ф. Гаусса «Рассуждение о кривых поверхностях» положил начало существованию дифференциальной геометрии как самостоятельной дисциплины.

То же следует сказать и о геометрии синтетической, проективной, аффинной, конформной и т.п.

В проективной геометрии, например, рассматриваются не отдельные фигуры, но их закономерная и непрерывная связь, позволяющая рассматривать свойства одной фигуры как проективное преобразование другой, т.е. логическую зависимость определения одной фигуры через тождественное преобразование определенности другой. (Условия этого тождественного преобразования формулируются в аксиоматике: при проективных преобразованиях остаются тождественными отношения инцидентности точки и прямой, касания прямой и какой-либо линии, ангармоническое отношение четырех точек или четырех прямых и т.п., но существенно искажаются соотношения метрические; при конформных преобразованиях остаются инвариантными углы между любыми линиями; в топологии рассматриваются свойства, остающиеся инвариантными при всех изменениях фигуры, за исключением тех, которые приводят к ее «разрыву» или «растяжению».)

В целях сохранения непрерывности связи и выводимости одних фигур из других Понселе вводит в проективную геометрию широко применяемый в современной математике метод «идеальных элементов», например «бесконечно удаленной точки», которая с точки зрения созерцания совершенно бессмысленна. Тем не менее, как элемент связи преобразования такое понятие является истинным.