Л. Науменко - Монизм как принцип диалектической логики

• Название: Монизм как принцип диалектической логики
• Автор: Л. Науменко
• Жанр: Философия
• Год: 1968

---

Все это говорит о том, что реальное физическое пространство может быть описано различными системами геометрий с различными степенями приближения, что каждая из этих систем представляет собой лишь известную абстракцию от реального пространства, что не существует априорной геометрии, выражающей лишь изначальные законы сознания.

Неевклидова геометрия в корне подрывает кантианские воззрения на природу математики. Но в то же время она воздвигает перед материалистической теорией познания определенные трудности. В общем эти трудности упираются в выяснение природы математической абстракции. Ведь тот или иной вид геометрии мы получим в зависимости от того, под каким углом зрения рассматривается объект, от каких допущений мы при этом отталкиваемся.

Здесь налицо уже известная нам проблема «точки зрения» науки на ее объект. Это обстоятельство прекрасно осознается всеми математиками. «... Попробуем, – пишет А. Пуанкаре, – спросить себя: истинна ли Евклидова геометрия? Вопрос не имеет смысла. Это все равно, что спрашивать, верна ли метрическая система мер, а прежние не верны, или верны ли Декартовы координаты, а другие ложны. Одна геометрия не вернее другой, а только более или менее удобна. А Евклидова геометрия была и остается самой удобной»[141].

Здесь перед нами определенное решение проблемы: точка зрения науки задается соображениями удобства.

Вообще говоря, если речь идет лишь о частном вопросе, о применении той или иной системы координат или той или иной системы геометрии, то ответ Пуанкаре, возможно, способен удовлетворить исследователя. Но вопрос стоит здесь в более общей форме: о природе математики и математической абстракции вообще, о проблеме реальности в математике, а в этом случае концепция Пуанкаре совершенно непригодна.

Вопрос о природе математического познания необходимо должен рассматриваться в двух планах: в плане внутренней логики науки и в плане отношения науки в целом к реальности. История неевклидовой геометрии продемонстрировала полную несостоятельность сведéния математики к физике, несостоятельность натуралистических концепций этой науки. По мнению философов-идеалистов, крах натуралистических иллюзий свидетельствует вообще о крахе материалистических позиций в математике вообще, об элиминации второго плана. А это совсем не так.

Математика – не физика. Но и физика – еще не вся реальность. Математическое познание движется в рамках определенной научной абстракции, определенного «среза» реальности, зафиксированного в аппарате этой науки, в системе средств выражения предметных отношений, моделирующей эти последние. При этом сама математика не задается вопросом о природе этой абстракции. А до тех пор, пока она не задается этими вопросами, все ее проблемы остаются собственно математическими. Выявление этого собственно математического аспекта составило важную заслугу неевклидовой геометрии. Однако не к нему сводится все дело.

Обратимся прежде всего к собственно математическому аспекту, оставляя пока в стороне проблему реальности.

В этом аспекте развитие математики подчиняется принципу монизма, требующему развивать науку в ее собственной, присущей ей внутренней связи. В чем же состоит эта «собственная связь»?

Как известно, Н.И. Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой» геометрией, т.е. геометрией «математически возможного» пространства. Однако это пространство он не мог себе представить даже в воображении. То, что математически представлялось ему естественным и необходимым, физически не было ясно ни ему самому, ни, тем более, его современникам.

Но если Лобачевский уже понимал различие, существующее между геометрией как математикой и геометрией как физикой, то этого нельзя сказать о его современниках, даже о таких, как Н.В. Остроградский, которые расценивали «воображаемую» геометрию как продукт больного воображения, как нечто абсурдное и химерическое.

Геометрия Лобачевского для них оказалась недействительной именно потому, что она была недействительна физически, а не математически, потому что описываемое в ней пространство нельзя было наглядно представить как существующее. В действительности же в задачу геометрии как математики и не входит описание существующего физического пространства, если ее рассматривать с имманентной точки зрения. Пространственную модель геометрии как математической системы в одних случаях можно построить, в других это оказывается прямо невозможным.

(Что касается геометрии Лобачевского, то модель плоскости, на которой осуществляются ее теоремы, была построена в 1865 г. итальянским математиком Бельтрами. Это так называемая псевдосферическая поверхность, на которой геометрия Лобачевского осуществляется лишь частично. Более совершенную модель построил позднее Ф. Клейн (геометрия в круге при сохранении неевклидовой метрики). Наконец, для всей геометрии Лобачевского была построена универсальная аналитическая модель – как применение теории Ф. Клейна и С. Ли о группах непрерывных преобразований. Для других, скажем, для бесконечномерных геометрий, построить пространственную модель оказывается вообще невозможным.)

Изыскание физического, эмпирического смысла геометрических понятий в задачу геометрии как математики не входит. Ее задачей является лишь выведение определенности «сложного выражения из определенности его элементарных выражений; ее интересует лишь взаимное отношение выводимости этих выражений, а не эти образы сами по себе. Поэтому, строя свою систему аксиоматики геометрии, Гильберт исходит из убеждения, что абсолютный смысл таких геометрических понятий, как точка, прямая и плоскость, не имеет никакого реального значения; и если бы кто-либо никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, он «построил бы геометрию не хуже нас».

Сколько ни был бы нам интуитивно известен такой геометрический образ, как прямая, геометрически он действителен для нас только как выражение, которое удовлетворяет определенной аксиоматике, – аксиоматике прямой. Сколько нам ни были бы интуитивно очевидны свойства круга, для геометрии даже простейшая теорема о круге – что все его диаметры равны, так как они вдвое больше радиусов, которые равны по определению, – не обосновывается тем, что «круг повсюду одинаково круглый», т.е. постоянством его непосредственного имплицитного свойства, а постоянством его радиуса.

Математическое исследование состоит в анализе отношений математических величин. Истинность математических теорем, в которых рассматриваются взаимные отношения таких геометрических «объектов», как точки, прямые и плоскости, не зависит от того абсолютного значения, которое мы приписываем этим объектам. Так, в проективной геометрии принят так называемый «принцип двойственности», состоящий в том, что при замене слова «точка» словом «прямая» все ее теоремы сохраняют свою силу. Аналогично можно рассматривать в качестве точек шары или тройки чисел (последнее – при аналитическом истолковании геометрии). Все геометрические теоремы, выведенные для геометрических объектов в их обычном смысле, сохраняют свое значение. Отношения, остающиеся тождественными при различных интерпретациях системы, называются изоморфными. В математике поэтому говорят, что она изучает свои «объекты» «с точностью до изоморфизма».

Какого же рода отношения рассматриваются в геометрии, и что представляют собой относительные свойства ее объектов? Теоретическая система гомогенна. Это значит, что значение всякого ее элемента определяется его отношением ко всем другим элементам системы и к системе в целом; высказывание об элементе является высказыванием и о системе. Сама система есть лишь интегральное выражение факта взаимной определяемости ее элементов.

Сказать нечто об одной из сторон или углов треугольника – значит вместе с тем определить его другую сторону или угол. Сказать нечто о радиусе – значит тем самым определить и окружность. Окружность, конечно, не то же самое, что радиус. Это прекрасно знает, скажем, инженер, когда он строит маховое колесо двигателя. Но для геометра окружность есть именно такой образ, свойства которого определяются как производные от радиуса, как преобразование определенности радиуса. Ее самостоятельная определенность не принимается во внимание.

В аксиоматике теории вырабатывается система средств выражения для данной области объектов. Все, что рассматривается в этой области, должно быть выражено в ее системе средств, так сказать, сконструировано из этого «материала». Все, что не может быть сконструировано подобным образом, лежит вне пределов данной науки и потому оказывается для нее недействительным. Оно существует лишь по отношению к данной системе средств.

На этот счет можно привести следующий пример.