Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие

Все авторские права соблюдены. Напишите нам, если Вы не согласны.
Описание книги "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"
Описание и краткое содержание "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие" читать бесплатно онлайн.
В пособии изложены основные разделы современной дискретной математики. Рассматриваются вопросы, связанные с теорией множеств, теорией отношений, теорией графов и логикой. Материал построен на основе курса лекций, читаемого автором в технических вузах. В каждой главе рассмотрено большое число задач с подробными решениями и примерами, что позволяет эффективно и быстро осваивать изучаемую тему. Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика», а также для студентов технических и экономических факультетов, изучающих курс «Дискретная математика» и компьютерные технологии. Представляет интерес для тех, кто связан с использованием методов дискретной математики.
1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:
если A ∪ B = B ∪ C, то А = В.
Если С непустое множество, С = А и множество В = Ø, тогда А ∪ Ø = Ø ∪ С и А ≠ В.
1.21. Пусть А, В и С непустые попарно пересекающиеся подмножества U. Доказать ложность следующих утверждений:
(a) если А ⊆ (В ∩ С), то неверно, что А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С;
(b) если А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С, то тогда А ⊆ (В ∩ С);
(c) если А ⊆ (В ∩ С), то А ∩ В ≠ А ∩ С.
(a) Если А ⊆ (В ∩ С), то по определению пересечения А ⊆ В, А ⊆ С, но из этого следует, что А ∩ В = А и А ∩ С = А, т. е. А ∩ В = А ∩ С = А, и, значит, верно, что А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С. Поэтому исходное утверждение ложно.
(b) Для доказательства рассмотрим следующие множества. Пусть А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 5}. Найдем
А ∩ В = {3}, В ∩ С = (3, 4, 5}, А ∩ С ={3}. Здесь оба пересечения и А ∩ В и А ∩ С включаются в В ∩ С, но множество А не включается в В ∩ С. Поэтому исходное утверждение ложно.
(c) Если А содержится в В ∩ С, то по определению операции пересечения оно сдержится и в В, и в С. Но если А содержится в В, то пересечением А ∩ В будет множество А. Поскольку А содержится в С, то пересечением А ∩ С также будет множество А. Значит, оба множества и А ∩ В и А ∩ С состоят из одних и тех же элементов и поэтому они равны, т. е. А ∩ В = А ∩ С.
1.22. Доказать, что операция разности множеств не ассоциативна, т. е.
(А\В)\С ≠ А\(В\С).
Преобразуем левую часть неравенства:
(А\В)\С = (А ∩ ВС)\С = (А ∩ ВС) ∩ СС = А ∩ ВС ∩ СС.
Преобразуем правую часть:
А\(В\С) = А\(В ∩ СС) = А ∩ (В ∩ СС)С = А ∩ (ВС ∪ С) = = (А ∩ ВС) ∪ (А ∩ С) = (А ∩ ВС) ∩ (С ∪ СС) ∪ (А ∩ С) ∩ (В ∪ ВС) =
= (А ∩ ВС ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ СС) ∪ (А ∩ В ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ С)
= (А ∩ ВС ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ СС) ∪ (А ∩ В ∩ С).
Множество левой части не совпадает с множеством правой части, и это доказывает, что операция разности множеств не ассоциативна.
1.23. Доказать, используя элементный метод, что если А, В и С подмножества универсального множества U и если А ⊆ В, то ВС ⊆ АС.
Пусть А, В и С подмножество универсального множества U. Рассмотрим любой элемент х ∈ ВС. По определению дополнения ВС ∩ В = Ø, поэтому если х является элементом ВС, то он не может быть элементом В, т. е. х ∉ В. Элемент х также не может принадлежать и множеству А, поскольку А ⊆ В, т. е. х ∉ А, но тогда х ∈ АС. Таким образом, показано, что для любого элемента х из множества ВС этот элемент принадлежит и множеству АС, т. е. ВС ⊆ АС.
1.24. Доказать, используя элементный метод, что если А ⊆ В, то
(a) А ∩ С ⊆ В ∩ С,
(b) А ∪ С ⊆ В ∪ С.
(a) Пусть х ∈ А ∩ С. Тогда х ∈ А и х ∈ С и поскольку А ⊆ В, то х ∈ В. Из того, что х принадлежит и В и С, следует, что он принадлежит их пересечению х ∈ В ∩ С. Это означает, что для любого х, входящего в множество А ∩ С, элемент х входит и в множество В ∩ С, т. е. А ∩ С ⊆ В ∩ С.
(b) Поскольку А ⊆ В, то ВС ⊆ АС (задача 1.23). Тогда для любого множества СС его пересечение с ВС будет включаться в его пересечением с АС (потому что нет ни одного элемента ВС, входящего в пересечение ВС ∩ СС и не являющегося элементам АС, но ВС ∩ СС могут быть элементы из АС, не являющиеся элементами ВС), т. е. ВС ∩ СС ⊆ АС ∩ СС. Затем, снова применяя результат задачи 1.23, получим, что (АС ∩ СС)С ⊆ (ВС ∩ СС)С. По закону де Моргана получим А ∪ С ⊆ В ∪ С, что и доказывает искомый результат.
1.25. Дано множество А = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. Какие из приведенных ниже семейств множеств являются разбиениями:
(a) {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {6, 9}, {7, 8}},
(b) {{1, 3, 5}, { 7, 6}, {2, 4, 8, 9}},
(c) {{1, 2}, {3, 5, 6, 7}, {4, 8, 9}, {1, 2}},
(d) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {7, 8}, {9}}.
(a) Не разбиение, потому что элемент 2 входит в {1, 2, 3} и {2, 4, 5}.
(b) Разбиение, потому что каждый элемент А принадлежит точно одному блоку.
(c) Разбиение, потому что можно игнорировать факт, что {1, 2} встречается дважды.
(d) Не разбиение, потому что нет элемента 6.
1.26. Пусть А и В непересекающиеся множества. Обозначим через Sa разбиение множества А, а через Sb – разбиение множества В. Доказать, что Sa ∪ Sb является разбиением множества А ∪ В.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!
Похожие книги на "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"
Книги похожие на "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие" читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Отзывы о "Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"
Отзывы читателей о книге "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие", комментарии и мнения людей о произведении.