» » » » Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие


Авторские права

Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие

Здесь можно купить и скачать "Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие" в формате fb2, epub, txt, doc, pdf. Жанр: Математика, издательство ЛитагентПроспект (без drm)eba616ae-53d9-11e6-9ba0-0cc47a1952f2. Так же Вы можете читать ознакомительный отрывок из книги на сайте LibFox.Ru (ЛибФокс) или прочесть описание и ознакомиться с отзывами.
Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие
Рейтинг:
Название:
Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие
Издательство:
неизвестно
Год:
неизвестен
ISBN:
нет данных
Вы автор?
Книга распространяется на условиях партнёрской программы.
Все авторские права соблюдены. Напишите нам, если Вы не согласны.

Как получить книгу?
Оплатили, но не знаете что делать дальше? Инструкция.

Описание книги "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"

Описание и краткое содержание "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие" читать бесплатно онлайн.



В пособии изложены основные разделы современной дискретной математики. Рассматриваются вопросы, связанные с теорией множеств, теорией отношений, теорией графов и логикой. Материал построен на основе курса лекций, читаемого автором в технических вузах. В каждой главе рассмотрено большое число задач с подробными решениями и примерами, что позволяет эффективно и быстро осваивать изучаемую тему. Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика», а также для студентов технических и экономических факультетов, изучающих курс «Дискретная математика» и компьютерные технологии. Представляет интерес для тех, кто связан с использованием методов дискретной математики.






1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:

если AB = BC, то А = В.

Если С непустое множество, С = А и множество В = Ø, тогда АØ = ØС и АВ.

1.21. Пусть А, В и С непустые попарно пересекающиеся подмножества U. Доказать ложность следующих утверждений:

(a) если А ⊆ (ВС), то неверно, что АВВС и АСВС;

(b) если АВВС и АСВС, то тогда А ⊆ (ВС);

(c) если А ⊆ (ВС), то АВАС.

(a) Если А ⊆ (ВС), то по определению пересечения АВ, АС, но из этого следует, что АВ = А и АС = А, т. е. АВ = АС = А, и, значит, верно, что АВВС и АСВС. Поэтому исходное утверждение ложно.

(b) Для доказательства рассмотрим следующие множества. Пусть А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 5}. Найдем

АВ = {3}, ВС = (3, 4, 5}, АС ={3}. Здесь оба пересечения и АВ и АС включаются в ВС, но множество А не включается в ВС. Поэтому исходное утверждение ложно.

(c) Если А содержится в ВС, то по определению операции пересечения оно сдержится и в В, и в С. Но если А содержится в В, то пересечением АВ будет множество А. Поскольку А содержится в С, то пересечением АС также будет множество А. Значит, оба множества и АВ и АС состоят из одних и тех же элементов и поэтому они равны, т. е. АВ = АС.

1.22. Доказать, что операция разности множеств не ассоциативна, т. е.

(А\В)\СА\(В\С).

Преобразуем левую часть неравенства:

(А\В)\С = (АВС)\С = (АВС) ∩ СС = АВС ∩ СС.

Преобразуем правую часть:

А\(В\С) = А\(ВСС) = А ∩ (ВСС)С = А ∩ (ВС ∪ С) = = (АВС) ∪ (АС) = (АВС) ∩ (ССС) ∪ (АС) ∩ (ВВС) =

= (АВС ∩ С) ∪ (АВС ∩ СС) ∪ (АВС) ∪ (АВС ∩ С)

= (АВС ∩ С) ∪ (АВС ∩ СС) ∪ (АВС).

Множество левой части не совпадает с множеством правой части, и это доказывает, что операция разности множеств не ассоциативна.

1.23. Доказать, используя элементный метод, что если А, В и С подмножества универсального множества U и если АВ, то ВС ⊆ АС.

Пусть А, В и С подмножество универсального множества U. Рассмотрим любой элемент хВС. По определению дополнения ВС ∩ В = Ø, поэтому если х является элементом ВС, то он не может быть элементом В, т. е. хВ. Элемент х также не может принадлежать и множеству А, поскольку АВ, т. е. хА, но тогда хАС. Таким образом, показано, что для любого элемента х из множества ВС этот элемент принадлежит и множеству АС, т. е. ВС ⊆ АС.

1.24. Доказать, используя элементный метод, что если АВ, то

(a) АСВС,

(b) АСВС.

(a) Пусть хАС. Тогда хА и хС и поскольку АВ, то хВ. Из того, что х принадлежит и В и С, следует, что он принадлежит их пересечению хВС. Это означает, что для любого х, входящего в множество АС, элемент х входит и в множество ВС, т. е. АСВС.

(b) Поскольку АВ, то ВС ⊆ АС (задача 1.23). Тогда для любого множества СС его пересечение с ВС будет включаться в его пересечением с АС (потому что нет ни одного элемента ВС, входящего в пересечение ВС ∩ СС и не являющегося элементам АС, но ВС ∩ СС могут быть элементы из АС, не являющиеся элементами ВС), т. е. ВС ∩ СС ⊆ АС ∩ СС. Затем, снова применяя результат задачи 1.23, получим, что (АС ∩ СС)С ⊆ (ВС ∩ СС)С. По закону де Моргана получим АСВС, что и доказывает искомый результат.

1.25. Дано множество А = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. Какие из приведенных ниже семейств множеств являются разбиениями:

(a) {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {6, 9}, {7, 8}},

(b) {{1, 3, 5}, { 7, 6}, {2, 4, 8, 9}},

(c) {{1, 2}, {3, 5, 6, 7}, {4, 8, 9}, {1, 2}},

(d) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {7, 8}, {9}}.

(a) Не разбиение, потому что элемент 2 входит в {1, 2, 3} и {2, 4, 5}.

(b) Разбиение, потому что каждый элемент А принадлежит точно одному блоку.

(c) Разбиение, потому что можно игнорировать факт, что {1, 2} встречается дважды.

(d) Не разбиение, потому что нет элемента 6.

1.26. Пусть А и В непересекающиеся множества. Обозначим через Sa разбиение множества А, а через Sb – разбиение множества В. Доказать, что SaSb является разбиением множества АВ.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.


На Facebook В Твиттере В Instagram В Одноклассниках Мы Вконтакте
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!

Похожие книги на "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"

Книги похожие на "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие" читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.


Понравилась книга? Оставьте Ваш комментарий, поделитесь впечатлениями или расскажите друзьям

Все книги автора Александр Казанский

Александр Казанский - все книги автора в одном месте на сайте онлайн библиотеки LibFox.

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Отзывы о "Александр Казанский - Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"

Отзывы читателей о книге "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие", комментарии и мнения людей о произведении.

А что Вы думаете о книге? Оставьте Ваш отзыв.