Владимир Живетин - Введение в теорию риска (динамических систем)

• Название: Введение в теорию риска (динамических систем)
• Автор: Владимир Живетин
• Жанр: Математика
• Год: 2009
• ISBN: 978-5-98664-052-5, 978-5-903140-63-3

В работе рассматриваются основы структурно-функционального синтеза и анализа динамических систем, позволяющие сформулировать вводные положения теории риска, включая оценку опасных и безопасных состояний динамических систем.

В работе вводятся первичные и вторичные показатель риска как для классических информационно-энергетических систем, так и для суперклассических – интеллектуально-энергетических систем.

Первичные показатели риска характеризуются множеством безопасных состояний, рассчитанных согласно, например, теории устойчивости; вторичные показатели риска представляют собой вероятности выхода динамической системы в область критических состояний с учетом свойств систем контроля и управления.

Полученные результаты позволяют осуществить математическое моделирование прогнозирования и управления рисками различных динамических систем, включая интеллектуально-энергетические.

---

Рис. 1.32

Граничные элементы множества (Ω)э обозначим (хн)доп и (хв)доп, где (хн)доп < (хв)доп, т. е. Ωэ – это область допустимых состояний, когда отсутствуют динамика системы и погрешности контроля, т. е. область допустимых состояний, например, из условий устойчивости. При этом имеем

xндоп = xнкр + Δн; xвдоп = xвкр – Δв,

где xнкр, xвкр – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) критические значения индикатора; xндоп, xвдоп – соответственно нижнее (минимальное) и верхнее (максимальное) допустимые значения контролируемого и ограничиваемого индикатора; Δн, Δв – соответственно нижняя и верхняя величины гарантийного запаса для индикатора, вводимые на случай непреднамеренного выхода x за допустимые значения при неблагоприятном сочетании возмущающих факторов, в том числе из-за ошибок измерения. При этом критические значения, как правило, определяются для установившегося режима функционирования социально-экономической системы, когда компоненты вектора состояния x постоянны или изменяются пренебрежимо мало.

Рис. 1.33

Задача построения множества допустимых состояний для нестационарной социально-экономической системы более сложна и в настоящее время еще не получила окончательного решения. В отличие от установившегося движения здесь необходимо рассматривать также скорость изменения ограничиваемого параметра системы.

Введем множество (Ω)диндоп допустимых значений x в неустановившемся режиме:

(Ω)диндоп = {x : (xн)диндоп ≤ x ≤ (xв)диндоп},

где (xн)диндоп = φн(xндоп, ); (xв)диндоп = φв(xвдоп, ); φн, φв – неизвестные функции, подлежащие определению; .

Рассмотрим множество (Ω)кдоп, заданное с учетом погрешностей системы контроля. Информационно-измерительная система обладает погрешностями δ(t), в результате в простейшем случае на ее выходе имеем (x)изм = (x)ф + δ. Погрешности измерения δ = δ(t) обусловливают необходимость введения допустимых xкдоп, индицируемых на выходе системы контроля, значений контролируемого и ограничиваемого параметра x(t), т. е. дополнительного запаса.

Множество (Ω)кдоп допустимых в процессе контроля (оценки) значений x(t) определим следующим образом:

(Ω)кдоп = {x : (xн)кдоп < x < (xв)кдоп},

где (xн)кдоп, (xв)кдоп – соответственно нижнее и верхнее допустимые при контроле значения x(t) (рис. 1.33). В частном случае

(xв)кдоп = (xв)доп – Qв; (xн)кдоп = (xн)доп + Qн,

где Qв, Qн – соответственно верхний и нижний запасы, обусловленные погрешностями измерения и подлежащие определению в процессе анализа риска.

В общем случае величины (x)кдоп (Ω)кдоп являются функциями ряда параметров и имеют вид

(x)кдоп = f(x1, …, xn, (x1)доп, …, (xn)доп, (x1)кр, …, (xn)кр, ki, σ2, t),

где ki – параметр системы контроля, подлежащий определению при проектировании ; σ2 – дисперсия погрешностей функционирования информационно-измерительной системы; f – функции, описывающие закон изменения области Ωкдоп(xкдоп).

На рис. 1.34 приведены графические представления указанных выше множеств для двумерного вектора состояния в стационарном случае. На данном рисунке обозначено: Ωдоп = Ωэ; (Ω2)доп = (Ω2)э; (Ω1)доп = (Ω1)э.

Рис. 1.34

Будем говорить, что риск динамической системы равен нулю, если ее параметры х постоянно находятся в области допустимого состояния, и записывать х Ωдоп. Движение на границе области Ωдоп или вблизи ее иногда является требуемым режимом такой динамической системы, как социально-экономическая. Последствия возникновения нештатного режима, т. е. выхода из области Ωдоп, часто называют кризисом или катастрофой. При этом говорят, что динамическая система сменила базис своего состояния. Как правило, динамическая система по завершении переходного процесса переходит из одного установившегося состояния в другое. В связи с тем, что новое состояние в Ωкр не отвечает ее целевому назначению, его необходимо предотвратить. В общем случае область Ωдоп и ее граница Sдоп зависят от следующих управлений-возмущений, действующих, например, на социально-экономическую динамическую систему со стороны внешней среды:

– ресурсов (v1);

– государства с его законами и исполнительными органами (v2);

– общества, в том числе трудового коллектива, требующего от социально-экономической системы выполнения своих запросов (v3);

– космоса и окружающей среды, требующих вложения человеческих сил для обеспечения нормальной жизнедеятельности космоса (v4);

– культуры, создающей определенный интерес к другой жизни и другим взглядам на жизнь, желания изменить свою жизнь (v5);

– политики, без которой сегодняшнее общество не существует (v6);

– финансов, т. е. стимула для развития динамической системы (v7).

Каждое из этих управлений-возмущений непрерывно изменяется как во времени, так и в пространстве состояния динамической системы. Таким образом, Ωдоп = Ωдоп(v(v1, …, v7), Ωкр = Ωкр(v1, …, v7).

С учетом сказанного, при оценке рисков и безопасных значений индикаторов динамической системы необходимо принимать во внимание следующее.

1. На вход динамической системы поступают ресурсы, а на выходе имеем совокупность параметров х(t), подлежащих контролю, ограничению и управлению.

2. Динамическая система предназначена для достижения заранее определенной цели, которая может меняться в процессе функционирования, в том числе по воле человека.

3. Невыполнение поставленной задачи означает потери создателя динамической системы и его риск.

4. Каждая динамическая система имеет множество критических состояний, в которых она теряет свои свойства и не способна выполнять поставленные задачи.

5. Потери, обусловленные недостижением цели, связаны с выходом контролируемых параметров в критическую область.

6. Область допустимых состояний Ωдоп и соответствующие ей xдоп изменяются в процессе функционирования и определяются экспериментально или теоретически.