Владимир Живетин - Введение в теорию риска (динамических систем)

• Название: Введение в теорию риска (динамических систем)
• Автор: Владимир Живетин
• Жанр: Математика
• Год: 2009
• ISBN: 978-5-98664-052-5, 978-5-903140-63-3

В работе рассматриваются основы структурно-функционального синтеза и анализа динамических систем, позволяющие сформулировать вводные положения теории риска, включая оценку опасных и безопасных состояний динамических систем.

В работе вводятся первичные и вторичные показатель риска как для классических информационно-энергетических систем, так и для суперклассических – интеллектуально-энергетических систем.

Первичные показатели риска характеризуются множеством безопасных состояний, рассчитанных согласно, например, теории устойчивости; вторичные показатели риска представляют собой вероятности выхода динамической системы в область критических состояний с учетом свойств систем контроля и управления.

Полученные результаты позволяют осуществить математическое моделирование прогнозирования и управления рисками различных динамических систем, включая интеллектуально-энергетические.

---

Подсистема 1 порождает структуру системы в целом, способную идентифицировать процессы достижения цели (целеполагание), т. е. реализует синтез.

Подсистема 2 выполняет параметрический анализ, отражающие точностные характеристики.

Подсистема 3 реализует смешанные алгоритмы, синтез и анализ.

Подсистема 4 проводит оценивание законов, функций и плотностей вероятностей.

Процесс оценивания в подсистеме 4 непосредственно связан с величиной показателей достоверности знаний, основанных на:

– синтезе и идентификации;

– теории анализа внутренних компонент;

– формировании прикладных методов;

– оценке результатов.

Отметим, что идентификация структуры динамических систем возможна с использованием структуры выходных процессов динамической системы, так, например, с помощью моментных характеристик.

В подсистеме 1 (рис. 1.26) формируется показатель качества алгоритма, устанавливающего связь между функциональными свойствами подсистем структуры и выходным процессом системы. При этом показатель качества есть некоторая характеристика, определяющая соответствие алгоритма его назначению, оценивающая пригодность алгоритма для решения поставленной задачи и достижения искомой цели. Так, для оценки вероятностной характеристики в данный момент времени достаточно FN-диаграммы, а для прогнозирования той же характеристики необходима как минимум корреляционная функция процесса. При этом показатель качества, как правило, отражает одну из сторон функционирования и область применения алгоритма.

В основу построения математической модели, порождающей стохастические процессы, положим вероятностное пространство, сформированное согласно аксиоматическому методу – системе аксиом Колмогорова. Воспользуемся вероятностной моделью испытаний на базе системы аксиом со структурой [44].

При этом вероятностное пространство характеризуется набором математических объектов (Ω, , P), где Ω – пространство исходов или пространство элементарных событий, множества А из  – события, а P(A) – вероятность события А.

Базовой основой аксиоматической теории вероятностей служат теория множеств и теория меры. Структура построенных нами вероятностных пространств должна исчерпывать структуру процессов и полей, порожденных динамической системой, для исследования которых создано пространство. Наиболее трудный этап – установление связи между структурой процессов и структурой моделей самой динамической системы, сформировавшими эти процессы.

При построении стохастических математических моделей для математического описания физических объектов используются два принципа [44]:

– аксиоматический А.Н. Колмогорова A*1, априори вводимых моделей;

– статистический фон Мизеса A*2, апостериори вводимых моделей.

Подход A*1 имеет в основе макромир, идет от него к микромиру методом дедукции; подход A*2 имеет в основе микромир, идет от него к макромиру (методом индукции).

Эти подходы могут соединиться через структуру макромира, содержащую подсистемы микромира. Объединить эти два подхода может единая структура математической модели динамических систем. При этом A*1 идет сверху вниз, а A*2 – снизу вверх при изучении одной и той же динамической системы. Часто их пути расходятся: изучая одну и ту же динамическую систему, они приходят к различным конечным структурам моделей динамических систем.

Согласно сказанному, рассмотрим вероятностную модель, вероятностное пространство эксперимента с конечным пространством исходов. В результате изучения подхода, созданного Колмогоровым, получена система и осуществлен структурно-функциональный синтез вероятностной модели Колмогорова, представленный на рис. 1.27.

Рис. 1.27

На рис. 1.27 обозначено: ω – исходы динамической системы; Ω(ω) – множество исходов; М0 – модель изучаемой динамической модели (фактическая модель); M*0 – модель М на множестве исходов; M*1 – модель М на алгебре подмножеств; M1 – модель, созданная в результате синтеза и анализа множества Ω(ω), в результате чего мы ввели меру Р или в общем случае (Ω, А, Р), т. е. создали искомую модель М1.

С целью анализа статистического подхода, созданного фон Мизесом, на рис. 1.28 схематично представлена взаимосвязь и различие на структурно-функциональном уровне рассматриваемых принципов построения математических моделей. Здесь случайные внешние факторы обозначены как W, W1, W2.

Рис. 1.28

Исходная ситуация в подходе Колмогорова обусловлена наличием структуры Σ, а функциональные свойства Фст получены по материалам статистических испытаний. Исходная ситуация в подходе фон Мизеса обусловлена отсутствием структуры Σ, а функциональные свойства Φ получены по материалам статистических испытаний (Σст, Фст).

В качестве меры отличия моделей M0, M1, M2 принимается отличие свойств созданных ими множеств, так, например, дисперсии погрешностей, обусловленных величинами Δ1 = |x0 – x1| и Δ2 = |x0 – x2|, где x0, x1, x2 – случайные величины, порожденные соответственно моделями M0, M1, M2.

1.6. Вероятностные показатели рисков и безопасности

1.6.1. Области допустимых состояний

В общем случае в процессе функционирования динамических систем измерению и ограничению подлежат многомерные процессы. В дальнейшем ограничимся рассмотрением одномерного и двумерного процессов. В этом разделе мы рассмотрим несколько моделей процессов контроля индикаторов х(t) состояния как динамической системы, имеющих односторонние и двусторонние ограничения. При одностороннем ограничении возможны следующие ситуации.

1. Простейшая ситуация.

Ограничиваемый процесс х(t) – одномерный, ограничения односторонние, в нашем примере – по минимуму (рис. 1.29), значение х1доп вычислено в системе контроля точно, без ошибок, ошибки измерения δх = хф – хизм равны нулю, т. е. хизм = хф; динамикой процесса х(t) и ошибками управлений можно пренебречь. При этих условиях критическое значение х, т. е. хкр, совпадает с х1доп. Такую ситуацию и модель (систему) будем считать идеальной.

Рис. 1.29

2. Системе контроля присущи ошибки вычисления хдоп.

Система контроля вычисляет хдоп с ошибкой δхдоп. При этом множество Ω1доп уменьшают на некоторую величину Δ1, которую называют запасом (рис. 1.30).

С помощью Δ1 компенсируются потери, обусловленные погрешностями δхдоп как факторами риска. При этом х2доп > х1доп.

Рис. 1.30

3. Измеренное значение хизм индикатора х и его фактическое значение хф отличаются на величину δх – погрешность измерения, которая отлична от нуля. При этом с целью компенсации потерь, обусловленных δх, вводят новое множество Ωoдоп, которое называется областью допустимых значений х, полученных при измерении или оценке, и соответствующий запас Δ2 = х3доп – хкр (рис. 1.31).

4. В некоторых случаях динамика процесса = dx / dt такова, что ею нельзя пренебрегать в силу свойств системы управления (ее инерционных характеристик). Тогда вводят запас Δ3 = х4доп – хкр (рис. 1.32) для компенсации потерь, обусловленных в том числе динамикой процессов.

Рис 1.31

Случай двусторонних ограничений, накладываемых на х(t), представлен на рис. 1.33.

Рис. 1.32

Граничные элементы множества (Ω)э обозначим (хн)доп и (хв)доп, где (хн)доп < (хв)доп, т. е. Ωэ – это область допустимых состояний, когда отсутствуют динамика системы и погрешности контроля, т. е. область допустимых состояний, например, из условий устойчивости. При этом имеем