Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II
Скачивание начинается... Если скачивание не началось автоматически, пожалуйста нажмите на эту ссылку.
Жалоба
Напишите нам, и мы в срочном порядке примем меры.
Описание книги "9. Квантовая механика II"
Описание и краткое содержание "9. Квантовая механика II" читать бесплатно онлайн.
В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е0. Это, как обычно, дает член Е0С(х). Затем имеется член — КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n+1, расположенного в х+b, отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если Ахна расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения Ахпосредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоянии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.
Но дальше мы знаем, что если функция С(х)достаточно плавная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням b, считая b очень малым. К примеру, если b=0, то правая часть будет равна просто (Е0-2К)С(х), так что в нулевом приближении энергия равняется Е0-2К. Затем пойдут степени b, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), f(x) и экспоненты и соберете затем члены с b2, вы получите
(штрихи обозначают дифференцирование по х).
Это ужасное нагромождение разных букв выглядит очень сложно. Но математически оно в точности совпадает с
Вторая скобка, действуя на С(х), даст С'(х)минус if(x)C(x). Первая скобка, действуя на эти два члена, даст член с С", члены с первыми производными f(x) и с первой производной С(х). А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. 11, §3) изображают частицу с эффективной массой mэфф, даваемой формулой
Kb2=h/mэфф
Если вы затем положите Е0=+2К и снова вернетесь к f(x)=(q/h)Ax, то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверждение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса (h/i)Сзаменяется на (h/i)С-qA, как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3).
§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
Перехожу теперь ко второму пункту. Важную сторону уравнения Шредингера отдельной частицы составляет идея о том, что вероятность обнаружить частицу в каком-то месте определяется квадратом абсолютной величины волновой функции. Для квантовой механики характерно также то, что вероятность сохраняется локально (т. е. в каждом отдельном месте). Когда вероятность обнаружить электрон в таком-то месте убывает, а вероятность обнаружить его в каком-то другом месте возрастает (так что полная вероятность не меняется), то что-то в промежутке между этими местами должно было произойти. Иными словами, электрон обладает непрерывностью в том смысле, что если вероятность спадает в одном месте и возрастает в другом, то между этими местами должно что-то протекать. Так, если вы между ними поставите стенку, то это скажется на вероятностях и они станут не такими, как были. Следовательно, одно только сохранение вероятности не есть полная формулировка закона сохранения, все равно как одно только сохранение энергии не обладает такой глубиной и не представляет такой важности, как локальное сохранение энергии [см. гл. 27, § 1 (вып. 6)]. Если энергия исчезает, то этому должен соответствовать отток энергии от этого места. Вот и у вероятности хотелось бы обнаружить такой же «ток». Хотелось бы, чтобы было так: если где-нибудь переменится плотность вероятности (вероятность обнаружить что-то там такое в единице объема), то чтобы можно было считать, что вероятность откуда-то сюда притекла (или утекла отсюда куда-то еще). Такой ток был бы вектором, который можно было бы толковать следующим образом: его x-компонента была бы чистой вероятностью (в секунду и на единицу объема) того, что частица пройдет в направлении х через плоскость, параллельную плоскости yz. Проход в направлении +x считается положительным потоком, а проход в обратную сторону — отрицательным потоком.
Существует ли такой ток? Вы знаете, что плотность вероятности P(r, t) выражается через волновую функцию
И вот, я спрашиваю: существует ли такой ток J, что
Если я продифференцирую (19.7) по времени, то получу два слагаемых
Теперь для дy/дt возьмите уравнение Шредингера — уравнение (19.3); кроме того, комплексно его сопрягите, т. е. перемените знак при каждом i, чтобы получить дyj/дt. У вас выйдет
Члены с потенциальной энергией и многие другие члены взаимно уничтожатся. А то, что останется, оказывается, действительно можно записать в виде полной дивергенции. Все уравнение целиком эквивалентно уравнению
Не так уж сложно, как кажется на первый взгляд. Это симметричная комбинация из y*, умноженного на некоторую операцию над y, плюс y, умноженное на комплексно сопряженную операцию над y*. Это просто некоторая величина плюс комплексно сопряженная ей величина, так что все вместе (как и положено быть) вещественно. Операция запоминается так: это попросту оператор импульса минус qA.. Ток из (19.8) я могу записать в виде
Тогда это и есть тот ток J, который удовлетворяет уравнению (19.8).
Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями. Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так далеко, что имеется нулевая вероятность обнаружить на ней электрон. Полная вероятность обнаружить электрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от Р. Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции J равняется поверхностному интегралу от J. Если y на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и J есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться. Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу. Мы вправе говорить, что она выбирается наружу только через поверхность— это и есть локальная сохраняемость.
§ 3. Два рода импульсов
Уравнение для тока довольно интересно, хотя порой причиняет немало забот. Ток можно было бы считать чем-то вроде произведения плотности частиц на скорость. Плотность выглядела бы как yy*, так что здесь все в порядке. Каждый член в (19.12) напоминает типичное выражение для среднего значения оператора
Поэтому, быть может, следовало бы рассматривать его как скорость потока? Но тогда получается, что скорость с импульсом можно связать двояким образом, ведь с равным правом можно было бы считать, что скоростью должно быть отношение импульса к массе. Эти две возможности разнятся на вектор-потенциал.
Оказывается, те же две возможности имелись еще в классической физике, и в ней тоже было найдено, что импульс можно определить двумя путями. Один можно назвать «кинематическим импульсом», но для абсолютной ясности я в этой лекции буду его называть «mv-импульсом». Это импульс, получаемый от перемножения массы на скорость. Другой, более математичный, более отвлеченный импульс, именуемый иногда «динамическим импульсом», а я его буду называть «р-импульс». Итак, у нас есть две возможности:
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!
Похожие книги на "9. Квантовая механика II"
Книги похожие на "9. Квантовая механика II" читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Отзывы о "Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II"
Отзывы читателей о книге "9. Квантовая механика II", комментарии и мнения людей о произведении.