Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

И снова азартные игры послужили прогрессу науки. Чтобы предсказывать исход игры, наши математики построили первый в мире компьютер, который можно надеть на себя. Машина помещалась в кармане, откуда шли провода в ботинок, где находилась кнопка, а еще один провод шел к миниатюрному наушнику. От обладателя всего этого требовалось нажать на кнопку четыре раза: когда выбранная точка на колесе проходила через определенную отметку, когда колесо делало один полный оборот, когда шарик проходил через ту же точку и когда шарик совершал полный оборот. Этой информации было достаточно, чтобы оценить скорости колеса и шарика.

Торп и Шеннон разбили колесо на восемь секторов по пять чисел в каждом (некоторые секторы, впрочем, перекрывались, поскольку всего имеется 38 ячеек). Карманного размера компьютер исполнял в наушнике гамму из восьми нот — октаву — и та нота, на которой он останавливался, определяла сектор, где должен был остановиться шарик. Компьютер не мог сказать, в какую точно ячейку попадет шарик, но этого и не требовалось. Все, чего хотели Торп и Шеннон, — это чтобы их предсказания были лучше, чем случайное угадывание. Прослушав ноты, обладатель компьютера ставил фишки на все пять чисел в соответствующем секторе. Метод оказался на удивление точным — по оценкам Торпа и Шарпа, можно было ожидать выигрыша в 4,4 доллара на каждую ставку в 10 долларов.

И вот Торп и Шеннон отправились в Лас-Вегас, на полевые испытания. Компьютер работал, пусть даже и не слишком надежно. Заговорщики старались привлекать как можно меньше внимания, но наушник все время выпадал, а провода постоянно обрывались. Тем не менее система работала, и изобретатели смогли превратить небольшую стопку фишек достоинством в десять центов в несколько кучек. Торп вполне удовлетворился практическим подтверждением теоретической возможности победить рулетку. Однако его атака на другую азартную игру принесла ему гораздо более громкий успех.

Блек-джек, или двадцать одно, — карточная игра, цель которой состоит в том, чтобы набрать «руку», то есть набор карт, так, чтобы суммарное значение очков было как можно ближе к верхнему пределу, равному 21. Дилер — сдающий — сдает карты всем участникам игры и самому себе тоже. Чтобы выиграть, вы должны набрать сумму старше, чем у дилера, но не выше 21.

Подобно всем классическим играм, присутствующим в казино, блек-джек предоставляет небольшое преимущество заведению. Если вы играете в блек-джек достаточно долго, то в конце концов проиграете все свои деньги. В 1956 году в малоизвестном журнале по статистике появилась забавная статья. Ее авторы утверждали, что изобрели стратегию, при которой преимущество заведения составляет лишь 0,62 процента. Проштудировав статью, Торп освоил эту стратегию и решил протестировать ее в реальном казино. Он взял отпуск и отправился в Вегас. Испытания показали, что он теряет деньги намного медленнее других игроков. Тогда Торп решил разобраться в блек-джеке поглубже. Это решение изменило его жизнь.

* * *

Эду Торпу сейчас 75 лет, но я подозреваю, что он не сильно изменился за полвека. Худощавый, с длинной шеей и выразительным лицом, аккуратная, как у школьника, прическа, недорогие, без претензий, очки, но уверенная прямая осанка. Тогда, вернувшись из Вегаса, Торп еще раз перечитал ту журнальную статью.

— Я сразу — буквально через пару минут — понял, как можно почти наверняка выиграть у казино, если следить за картами, которые уже вышли, — вспоминает он. — Блек-джек отличается, скажем, от рулетки тем, что вероятности исхода изменяются, как только сдана очередная карта. При игре в рулетку вероятность, что шарик попадет на 7, — 1:38, и она не меняется, пока колесо крутится. При игре в блек-джек вероятность, что первая сданная карта будет тузом, равна 1/13. Вероятность, что вторая карта будет тузом, однако, не равна 1/13 — она уже равна 1/51, потому что в колоде осталась 51 карта, из которых всего лишь три туза.

Торп полагал, что должна быть система, позволяющая повысить шансы игрока. Оставалось только ее найти.

В колоде из 52 карт имеется 52 × 51 × 50 × 49 × … × 3 × 2 × 1 способов упорядочения карт. Это число равно примерно 8 × 1067, что есть 8 с 67 нулями — число столь огромное, что крайне маловероятно, что за всю историю мироздания карты в двух случайно перетасованных колодах окажутся лежащими в одном и том же порядке — даже если все население Земли непрерывно играло бы в карты от момента Большого взрыва и до наших дней. Торп рассудил, что возможных перестановок карт слишком много для того, чтобы человеческий мозг был в состоянии пользоваться какой-либо системой запоминания перестановок. Вместо этого он решил выяснить, каким образом шансы меняются в зависимости от того, какие карты уже сданы. Используя один из первых компьютеров, он узнал, что, следя за пятерками в каждой масти — пятерками червей, пик, бубен и треф, — игрок может сделать вывод о том, благоприятен ли для него расклад колоды. В разработанной Торпом системе блек-джек становился игрой, в которой возможен выигрыш с ожидаемым возвратом до 5 процентов в зависимости от расклада в колоде. Торп изобрел метод «счета карт».

Изложение своей теории он направил для публикации в журнал Американского математического общества.

— Когда в журнале появилась аннотация статьи, все решили, что это просто розыгрыш, — вспоминает он. — Тогда в научном мире считалось, что ни одну из основных азартных игр нельзя одолеть с помощью математики. Это была непререкаемая истина, причем весомо подтвержденная исследованиями, проводившимися на протяжении пары сотен лет.

Доказательства, утверждающие возможность выигрыша в казино вопреки теории вероятностей, смахивают на доказательства квадратуры круга, которые, в свою очередь, гарантируют, что у человека не все в порядке с головой. По счастью, один из членов комиссии Американского математического общества, рассматривавшей статьи на предмет возможной публикации, был одноклассником Торпа, и аннотация его статьи была напечатана.

В январе 1961 года Торп представил свою работу на зимнем собрании Американского математического общества в Вашингтоне. Новость быстро распространилась по всей стране. Ученого завалили письмами и оборвали ему телефон. Все наперебой предлагали ему профинансировать кампанию по разорению казино, а затем поделить прибыль. Один нью-йоркский синдикат предложил Торпу 100 000 долларов. Он позвонил по телефону, указанному в письме, и спустя некоторое время перед его домом остановился «кадиллак». Оттуда вылез пожилой коротышка в сопровождении двух очаровательных блондинок в норковых шубах.

Этот человек оказался Манни Киммелом — известным нью-йоркским гангстером, а по совместительству любителем математики и заядлым игроком в азартные игры по-крупному. Киммел нахватался азов теории вероятностей и знал о парадоксе дней рождения — одним из его любимых развлечений было держать пари на совпадающие дни рождения в группе людей. Киммел представился и сообщил, что является владельцем 64 нью-йоркских парковок (что было истинной правдой). Он также представил девушек как своих племянниц (что, скорее всего, правдой не было). Я спросил Торпа, заподозрил ли он, что Киммел связан с мафией.

— В то время я очень мало что знал о мире игорного бизнеса, если не считать моих теоретических изысканий. И конечно же я никогда не занимался устройством преступного мира. Киммел держался как богатый бизнесмен, и тому имелось немало видимых подтверждений.

Киммел пригласил Торпа заехать к нему на следующей неделе в его роскошную квартиру на Манхэттене и сыграть в блек-джек. После нескольких раундов Киммел убедился, что метод счета карт работает. Вдвоем они полетели в Рено, дабы испытать систему в деле. Начав с 10 000 долларов, к концу путешествия они имели уже 21 000 долларов.

* * *

Когда вы играете в казино, два фактора существенно влияют на то, сколько денег вы выиграете или проиграете. Стратегия игры — это то, как выиграть игру. Стратегия ставок — это как управлять деньгами: сколько и когда ставить. Стоит ли, например, ставить все деньги на одну-единственную ставку? Или разумно разбить их на возможно меньшие порции? Разные стратегии могут приводить к поразительно разным результатам.

Самая известная стратегия ставок называется «мартингал», или удвоение; она была популярна среди французских игроков в XVIII столетии. Принцип состоит в том, чтобы удваивать ставку, если вы проигрываете. Пусть, скажем, вы поставили на подбрасывание монеты. Орел означает, что вы получаете 1 доллар, а решка — что проигрываете 1 доллар. Пусть при первом подбрасывании выпадает решка. Вы проиграли 1 доллар. В следующий раз ставьте 2 доллара. Победа во втором раунде принесет вам 2 доллара, что компенсирует вашу потерю в 1 доллар в первом раунде, и вы останетесь с доходом в 1 доллар. Предположим теперь, что вы проиграли первые пять подбрасываний: ваши потери тогда будут равны 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 доллару, так что шестая ставка должна составлять 32 доллара. Если вы выигрываете, вы компенсируете все свои потери и даже останетесь в выигрыше. Правда, несмотря на то, что вам пришлось рисковать столь большими деньгами, вы в плюсе всего на 1 доллар — размер вашей исходной ставки.