Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с 365 сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.

Шаг 1

Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.

Шаг 2

Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна 365/365 × 364/365. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день (365 возможностей из полного числа 365), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый (364 возможности из полного числа 365). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.

Шаг 3

Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна 365/365 × 364/365 × 363/365. В группе из четырех человек она оказывается равной 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,493).

Шаг 4

Если вероятность того, что ни у каких двух человек даты рождения не попадут на один и тот же день, меньше чем 0,5, то вероятность того, что по крайней мере у двух дни рождения совпадут, оказывается больше 0,5 (из шага 1). Так что в группе из 23 человек скорее окажется, что какие-то два человека родились в один и тот же день, чем наоборот.

Футбольные матчи предоставляют нам идеальную выборку, демонстрирующую, что реальные факты отвечают предсказаниям теории, потому что на поле всегда имеется 23 человека — две команды из и игроков и судья. Впрочем, рассмотрение с этой точки зрения финалов чемпионата мира показывает, что парадокс дней рождения работает чуть-чуть слишком хорошо. Вероятность, что у двух людей в группе из 23 человек окажется один и тот же день рождения, равна 0,507, что лишь едва больше 50 процентов. Однако же, судя по нашему списку, такое случилось в семи из десяти случаев (даже если исключить близнецов ван де Керкхоф), что дает 70 процентов[58].

Частично это следует отнести на счет закона больших чисел. Если бы я анализировал все матчи, сыгранные на чемпионатах мира, то можно было бы пребывать практически в полной уверенности, что результат окажется близким к 50,7 процента. Однако имеется и еще одна переменная. Равномерно ли распределены дни рождения футболистов на протяжении всего года? Возможно, нет. Исследования показывают, что для футболистов выше вероятность рождения в определенные времена года — вероятностное предпочтение оказывается у тех, кто родился сразу после даты, которая разделяет тех, кого записывают в школу на текущий год или на следующий. Дело в том, что родившиеся вскоре после этой даты будут самыми старшими в своем классе, а потому и самыми крупными, и будут показывать лучшие результаты в спорте. А если в распределение дат рождения вносится какая-то систематическая поправка, то можно ожидать более высокой вероятности совпадения дней рождения. Например, в наше время значительное число детей появляются на свет посредством кесарева сечения или искусственных родов. Это чаще случается по рабочим дням (поскольку сотрудники родильных отделений предпочитают отдыхать по выходным), и в результате оказывается, что дни рождения распределены по календарным датам не самым случайным образом. Если взять выборку из 23 людей, рожденных за один и тот же 12-месячный период, — скажем, детей в классе начальной школы, — то окажется, что вероятность одного и того же дня рождения у двух из них существенно превосходит 50,7 процента.

Если у вас под рукой нет группы из 23 человек, чтобы проверить это, займитесь своими ближайшими родственниками. При наличии четырех человек имеется 70-процентная вероятность, что у двух из них дни рождения придутся на один и тот же месяц. Всего лишь семь человек требуется, чтобы вероятным оказался факт рождения двоих из них в одну и ту же неделю, а в группе из 14 человек имеется пятидесятипроцентная вероятность, что два дня рождения отстоят друг от друга не более чем на один день. По мере роста группы вероятность растет на удивление быстро. В группе из 35 человек шансы на наличие совпадающего дня рождения составляют 85 процентов, а в группе из 60 — уже более 99 процентов.

А вот другой вопрос по поводу дней рождения, ответ на который настолько же противоречит интуиции, как и парадокс дней рождения: сколько людей должно быть в группе, чтобы с более чем 50-процентной вероятностью чей-нибудь день рождения совпадал с вашим? Это совсем не то же самое, что парадокс дней рождения, потому что вы задаете конкретную дату. При рассмотрении парадокса дней рождения нас не волнует, у кого именно и с кем совпадут дни рождения; надо найти всего лишь совпадающий день рождения. А наш новый вопрос можно переформулировать так: при заданной фиксированной дате сколько раз надо бросать нашу кость с 365 сторонами, чтобы выпала указанная дата? Ответ: 253 раза! Другими словами, придется собрать группу из 253 человек всего лишь для того, чтобы с вероятностью больше 50 процентов у кого-то из них день рождения совпал с вашим. Это число кажется абсурдно большим — заметим, что оно обитает заметно дальше середины отрезка между единицей и числом 365. И тем не менее именно случайность обеспечивает появление этих совпадений — такой размер группы необходим потому, что дни рождения людей не распределены регулярным образом. Среди этих 253 человек окажется много тех, у кого дни рождения совпадают (не совпадая при этом с вашим!), и все это тоже надо учесть.

Урок, извлекаемый из парадокса дней рождения, состоит в том, что совпадения происходят намного чаще, чем нам кажется. В немецкой лотерее «Lotto» у каждой комбинации чисел имеется один из 14 миллионов шанс на выигрыш. И однако же, в 1995 и в 1986 годах выиграла одна и та же комбинация: 15-25-27-30-42-48. Насколько невероятно такое совпадение? Не слишком, если разобраться. Между двумя появлениями одной и той же выигрышной комбинации лотерея разыгрывалась 3016 раз. Вычисление, позволяющее найти, сколько раз в розыгрыше должна появляться одна и та же комбинация, эквивалентно вычислению шанса на то, что найдутся совпадающие дни рождения в группе из 3016 человек, если всего имеется 14 миллионов возможных дней рождения. Искомая вероятность получается равной 0,28. Другими словами, имеется более чем 25-процентная вероятность того, что две выигрышные комбинации за этот период окажутся одинаковыми, так что произошедшее «совпадение» — не слишком нереалистичное событие.

Вот еще один случай. В 1985–1986 годах некая дама из Нью-Джерси дважды за четыре месяца стала победительницей лотереи, проводимой в ее родном штате. Повсюду говорили, что шансы такого исхода — один из 17 триллионов. Однако хотя вероятность купить выигрышный билет в каждой из двух лотерей и оба раза сорвать джекпот действительно равна единице на 17 триллионов, это не означает, что вероятность того, что кто-то где-то победит в двух лотереях, столь же мала. На самом деле такое вполне вероятно. Стивен Сэмюелс и Джордж Маккейб из Университета Пэрдью вычислили, что за период в семь лет вероятность двойного выигрыша в лотерею в Соединенных Штатах превосходит 50 процентов. Даже за период в четыре месяца имеется более одного шанса из 30 на появление двойного выигрыша в пределах страны. Перси Диаконис и Фредерик Мостеллер назвали это законом очень больших чисел: «При достаточно большой выборке может произойти любая сколь угодно несуразная вещь».

* * *

С математической точки зрения лотереи — без сомнения наихудший вариант из всех ставок во всех азартных играх, дозволяемых законом. Даже самый наискупой игровой автомат предлагает вам процент возврата около 85 процентов. А в лотерее «Мега-Миллионс» процент возврата равен примерно 50. Лотереи — занятие, не представляющее никакого риска для организаторов, поскольку призовые деньги — это просто перераспределенные деньги, уже полученные ими. Или, как в случае лотереи «Мега-Миллионс», это распределение половины полученного.

В редких случаях, однако, лотереи могут оказаться наилучшим способом получить хороший выигрыш. Такое происходит, когда из-за «переходящего» джекпота заявленный выигрыш становится больше, чем цена покупки всех возможных комбинаций чисел. В таких случаях вы можете быть уверены, что получите выигрышную комбинацию. Риск состоит только в том, что могут найтись люди, у которых уже есть выигрышная комбинация, — и тогда вам придется разделить главный выигрыш с ними. Впрочем, подход «купи-все-комбинации» подразумевает способность сделать именно это, что может оказаться делом нелегким как с теоретической, так и с логистической точки зрения.