Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Бэрлокер набросал для меня простенькую игру, описываемую ниже как Игра А — в ней имеются три барабана, на каждом из них 82 положения: вишни, bar’ы, красные семерки, джекпот и пустое место. Изучив таблицу, вы увидите, что имеется вероятность 9/82, или 10,976 процента, выпадения вишни на первом барабане, и в этом случае ставка в 1 доллар приносит выигрыш в 4 доллара. Вероятность выигрывающей комбинации, умноженная на выплату, называется ожидаемым вкладом. Ожидаемый вклад от комбинации вишни — любое — любое составляет 10,967 × 4 = 43,902 процента. Другими словами, на каждый доллар, опущенный в машину, 43,902 цента будет выплачено за комбинацию вишни — любое — любое. Проектируя игры, Бэрлокер должен обеспечить, чтобы сумма ожидаемых вкладов по всем выплатам равнялась установленному проценту возврата для автомата в целом.

Гибкость в проектировании игрового автомата означает, что за счет варьирования используемых символов, выигрышных комбинаций и установленных выплат можно получать очень различные игры. Игра А — это «дриблинг на вишне», сие означает, что машина платит часто, но помалу. Почти половина всех выплачиваемых денег приходится на суммы всего в 4 доллара. Наоборот, в Игре Б только треть выигрышей приходится на выплаты в 4 доллара, тогда как гораздо большая часть денег отведена на более крупные выигрыши. Игра А — это так называемая игра с низкой волатильностью, а Игра Б — с высокой волатильностью; в ней вы будете попадать на выигрышные комбинации не так часто, зато растут шансы на больший выигрыш. Чем больше волатильность, тем выше риск для владельца игрового автомата на коротких отрезках времени.

Некоторые игроки предпочитают игровые автоматы с низкой волатильностью, тогда как другие — с высокой. Основная задача проектировщика игр — обеспечить достаточные выплаты для того, чтобы поддерживать в играющем желание продолжать игру, ведь чем дольше данный игрок играет, тем больше он в среднем проигрывает. Игры с высокой волатильностью вызывают большой азарт — особенно в казино, где машины, на которых выпал джекпот, привлекают всеобщее внимание, разражаясь вызывающими мурашки трезвоном и вспышками света. Однако создание хорошей игры не ограничивается разработкой изощренных графических элементов, насыщенных звуков и завлекательных видеороликов. Хорошая игра предполагает еще и создание правильного баланса вероятностей. Я спросил Бэрлокера, можно ли, по-разному настраивая волатильность, придумать машину с низким процентом возврата, которая для игроков была бы более привлекательной, чем машины с высоким возвратом.

— Мы с коллегами провели больше года, пытаясь в этом разобраться и выписывая всякие формулы, и нам удалось придумать метод, позволяющий скрывать, каков же в машине настоящий процент возврата, — сказал он. — Из некоторых казино до нас теперь доходят сведения, что там запускают машины с более низким процентом возврата, но игроки не вполне это осознают. То была непростая задача.

Я поинтересовался, как тут обстоит дело с этикой.

— Это — необходимость, — ответил он. — Нам нужно, чтобы игроки не теряли азарта, но при этом требуется, чтобы и те, кто покупает у нас автоматы, не оставались в убытке.

* * *

Составленные Бэрлокером таблицы выигрышей полезны не только для понимания внутреннего устройства одноруких бандитов, но и в качестве наглядного пособия на тему о том, как работает индустрия страхования. Работа страховой компании во многом очень похожа на работу игровых автоматов. Обе системы построены на основе теории вероятностей, когда потери, приходящиеся почти на каждого, используются для выплат лишь немногим. При этом обе эти системы могут приносить фантастический доход тем, в чьих руках находится контроль величины процента возврата.

Покупка страхового полиса ничем не отличается от азартной игры. Вы делаете ставку, например, на то, что ваш дом обворуют. Если вас действительно ограбили, вы получаете выплату — возмещение того, что было украдено. Если же ограбления не случилось — к счастью, вы, конечно, не получаете ничего. Актуарии, специалисты по страховой математике, ведут себя в точности как Энтони Бэрлокер из IGT. Им известно, каковы в целом должны быть выплаты клиентам, знают они и вероятности каждого события, предполагающего выигрыш (грабеж, пожар, серьезная болезнь и т. д.), так что они вычисляют, какие выплаты должны приходиться на одно такое событие, да так, чтобы сумма ожидаемых вкладов равнялась полной сумме выплат. Хотя составление страховочных таблиц представляет собой дело куда более сложное, чем проектирование игровых автоматов, принцип там тот же. Страховые компании выплачивают меньше, чем они получают в виде взносов, то есть процент возврата у них меньше ста. Покупка страхового полиса — это ставка с отрицательным ожиданием, и потому предприятие это весьма невыгодное.

Так почему же люди страхуются, несмотря на то что это невыгодно? Отличие страхования от игры в казино состоит в том, что в казино вы (будем надеяться) играете на деньги, проигрыш которых можете себе позволить. Но в страховании вы делаете ставку, чтобы защититься от потери, которую вы позволить себе не можете. Да, страхуясь, вы неизбежно будете терять небольшие суммы денег (взносы), зато вы предохраните себя от потерь катастрофического масштаба (например, всех ценностей в вашем доме). Страховщики обеспечивают нам душевный покой за очень неплохую цену.

Отсюда следует, однако, что страхование чего-то, что вам не очень дорого, — занятие бессмысленное. В качестве примера рассмотрим страхование мобильного телефона. Мобильные телефоны относительно дешевы (скажем, по цене 100 долларов), но их страхование дорогое (скажем, 7 долларов в месяц). В этом случае выгоднее не приобретать страховку, а просто при потере старого мобильника покупать новый. Таким способом вы оставляете себе прибыль, которая иначе пошла бы страховой компании.

* * *

Одна из причин наблюдающегося в последнее время роста рынка игровых автоматов состоит во введении «прогрессивных» машин. Прогрессивные игровые автоматы предлагают большие джекпоты, чем обычные, потому что они объединены в сеть, где каждая машина вносит свой вклад в общий джекпот, величина которого постоянно растет. В «Перечнице» меня поразили ряды связанных друг с другом автоматов, предлагающих призы в десятки тысяч долларов.

Прогрессивные машины обладают высокой волатильностью, то есть на коротких периодах времени казино могут проигрывать заметные деньги. «Если мы выпускаем игру с прогрессивным джекпотом, то примерно один из каждых двадцати владельцев казино принимается писать нам письма, утверждая, что наша игра — неправильная. Дело в том, что там выпадают два или три джекпота за первую неделю, и эти автоматы залетают на 10 000 долларов в минус, — сказал Бэрлокер, усматривая горькую иронию в том, что люди, старающиеся заработать на вероятностях, не вполне разбираются в теории вероятностей на базисном уровне. — Тогда мы проводим анализ и видим, что вероятность подобного события составляет, скажем, 1 к 200. Им достался расклад, который должен выпадать лишь в полпроцента случаев, — но должен же он кому-то достаться. И мы говорим им: не беспокойтесь, все нормально».

Самые популярные из производимых в IGT прогрессивных игровых машин — «Мегабакс», сотни связанных друг с другом игровых автоматов по всей Неваде. Когда компания только предложила «Мегабакс» лет десять тому назад, минимальный джекпот составлял 1 миллион долларов. Исходно казино не желали брать на себя обязательства по выплате столь крупной суммы, поэтому IGT застраховала всю сеть целиком за некоторый процент с каждого автомата и взяла на себя обязательство по выплате джекпотов. Несмотря на то что компания уже выплатила сотни миллионов долларов призовых денег, «Мегабаксы» остаются прибыльным делом. Закон больших чисел на редкость надежен: чем больший кусок вы схватите, тем лучше все получится.

Сейчас джекпот на «Мегабаксах» начинается с 10 миллионов долларов. Если никто его не выигрывает к тому времени, как размер джекпота достигает 20 миллионов долларов, в казино выстраиваются очереди у «Мегабаксов», а IGT заваливают заявками на установку дополнительных автоматов. «Люди полагают, что раз джекпот так долго не выпадал, то он должен вот-вот выпасть и уж тут-то им точно должно повезти», — объясняет Бэрлокер.

Но это рассуждение ошибочно. Каждая отдельная игра — случайное событие. Имеется одна и та же вероятность выиграть, когда джекпот составляет 10 долларов, 20 долларов или даже 100 миллионов долларов, хотя инстинкт, казалось бы, говорит, что если в течение столь долгого периода никто не выигрывал, то вероятность того, что автоматы в казино раскошелятся, повышается. Вера в то, что джекпот «назрел», известна как «заблуждение игрока».