Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Мартингал обладает несомненной привлекательностью. В игре, где шансы выиграть или проиграть составляют почти 50:50 (как, например, при ставках на красное в рулетку, где вероятность успеха — 47 процентов), вероятность, что вы выиграете достаточную часть раундов, не так уж мала, так что у вас неплохой шанс остаться в плюсе. Но система мартингала не защищена от сбоев. Вначале вы выигрываете только малыми порциями. А мы знаем, что в последовательности из 30 бросаний монеты полоса в пять орлов или пять решеток скорее случится, чем нет. Если вы начали со ставки в 40 долларов и проиграли пять игр подряд, то после этого вам придется поставить уже 1280 долларов. В казино «Перечница» вам просто не дадут такого сделать: максимальная ставка там равна 1000 долларов. Одна из причин, почему казино вводят максимальный размер ставки, состоит в желании противодействовать системам, подобным мартингалу. Экспоненциальный рост ставок при мартингале в случае проигрыша нескольких игр подряд часто ускоряет банкротство, а не служит гарантией против него. Самый знаменитый пропагандист этой системы жил в XVIII столетии — то был венецианский плейбой Джакомо Казанова, и он убедился в этом на горьком опыте. «Я продолжал играть на мартингал, — сказал он однажды, — но мне сопутствовало такое невезение, что я вскоре остался без единого цехина».

Если тем не менее, встав у рулеточного стола в «Перечнице», вы будете играть на мартингал, то вам должно страшно не повезти, если, начав со ставки в 10 долларов на красное, в конце концов вы не выиграете 10 долларов. Система откажет, только если вы проиграете шесть раз подряд, а шансы на это — один из 47. Однако как только вы окажетесь в плюсе, весьма благоразумно будет получить свой выигрыш и покинуть заведение[62]. Если вы будете продолжать игру, шансы на несчастливую полосу в конце концов пробьют себе дорогу.

Рассмотрим иную систему ставок. Представьте себе, что вы играете в рулетку в казино, вам дали 20 000 долларов и сказали, что надо ставить на красное. Какова наилучшая стратегия удвоить имеющиеся деньги? Надо ли проявить отвагу и поставить все за один раз, или же следует быть осторожным и делать наименьшие возможные ставки, то есть по 1 доллару? Хотя с первого взгляда это кажется безрассудным, ваши шансы на успех заметно выше, если вы поставите всю сумму в один присест. Выражаясь математически, смелая игра здесь оптимальна. И после небольшого размышления становится понятно, почему это так: закон больших чисел говорит, что в долгой перспективе вы проиграете. Ваш самый лучший шанс — сократить игру насколько возможно.

В 2004 году этому принципу последовал 32-летний англичанин Эшли Ревел. Он продал все, что у него было, включая одежду, и в одном из казино Лас-Вегаса поставил вырученную сумму — 135 300 долларов — на красное. В случае проигрыша он по крайней мере стал бы телезвездой, поскольку весь процесс снимался для телевизионного реалити-шоу. Но шарик застыл на красной семерке — и Ревел отправился домой с 270 600 долларов в кармане!

* * *

Что же касается игры в блек-джек, то тут перед Эдом Торпом стояла другая проблема. Его система, основанная на счете карт, позволяла в определенные моменты игры с уверенностью сказать, имеет ли игрок преимущество перед дилером. Торп задался вопросом: какова наилучшая стратегия ставок, чтобы шансы склонились в вашу пользу?

Представим себе, что имеется ставка, когда шанс выиграть составляет 55 процентов, а шанс проиграть — 45 процентов. Для простоты будем считать, что процент возврата равен 100 и мы играем 500 раз. Наше преимущество — шансы на выигрыш — 10 процентов. При продолжительной игре наш выигрыш будет в среднем составлять 10 долларов на каждые поставленные 100 долларов. Чтобы максимизировать полный доход, нам, очевидно, необходимо максимизировать полную сумму всех ставок. Как именно это сделать, ясно не сразу, поскольку максимизация капитала требует минимизации риска потерять его целиком. Рассмотрим, как работают следующие четыре стратегии ставок.

Стратегия 1. Ва-банк.

В точности как Эшли Ревел, поставьте все, чем вы располагаете, на первую же ставку. Если выиграете, удвоите свои деньги. Если проиграете, будете банкротом. В случае выигрыша в следующей игре снова ставьте все целиком. Единственный шанс избежать потери всего — это выиграть все 500 игр. Вероятность, что такое случится, — с учетом того, что вероятность выигрыша в каждой игре по отдельности равна 0,55, — составляет около одного шанса из 10130 (что есть 1 со 130 нулями). Другими словами, можно быть вполне уверенным, что к 500-й игре вы будете банкротом. Очевидно, что это не очень удачная долгосрочная стратегия.

Стратегия 2: Фиксированная ставка.

Ставьте каждый раз фиксированную сумму. Если вы выиграете, то ваше благосостояние возрастет на это фиксированное число. Если проиграете, то оно на столько же уменьшится. Поскольку вы выигрываете больше раз, чем проигрываете, ваш капитал будет в целом возрастать — но будет возрастать только ступеньками заданной величины. Как показывает график, объем ваших денег будет расти не очень быстро.

Стратегия 3: Мартингал.

Эта стратегия обеспечивает более быстрый рост, чем стратегия фиксированной ставки, потому что потери компенсируются удвоением вслед за потерей, однако с этим же сопряжен и заметно больший риск. Всего лишь несколько проигрышей могут сделать вас банкротом. Опять же, это не слишком удачная долгосрочная стратегия.

Стратегия 4: Пропорциональные ставки.

В этом случае размер ставки равен некоторой части от имеющихся у вас денежных средств (банка). Эта часть определяется вашим шансом на выигрыш. Имеется несколько вариантов пропорциональных ставок. Система, по которой ваши капиталы растут быстрее всего, называется стратегией Келли. Она предписывает ставить долю вашего банка, определяемую отношением (преимущество игрока) / (шансы в игре). В нашем случае преимущество равно 10 процентам, а шансы в игре — равные (или 1:1), так что искомое отношение равно 10 процентам. Итак, ставьте каждый раз 10 процентов от имеющихся у вас денег. Если вы выиграете, ваш капитал увеличится на 10 процентов, так что следующая ставка тоже будет на 10 процентов больше. Если вы проиграете, то капитал уменьшится на 10 процентов, и следующая ставка будет на 10 процентов меньше. Это очень безопасная стратегия: если вы попали в полосу проигрышей, абсолютное значение ставки уменьшается, а потому ваши потери ограничены. Эта стратегия сулит большой выигрыш, потому что — как в случае со сложными процентами — при попадании в полосу выигрышей ваше богатство растет экспоненциально. Вы оказываетесь в лучшем из миров, где царят низкий риск и высокая отдача. Достаточно взглянуть на график, чтобы увидеть, как работает эта стратегия: сначала медленно, но в конце концов, после примерно 400 сделанных ставок, вы оставляете всех партнеров по игре далеко позади.

Компьютерное моделирование 500 сыгранных ставок, в каждой из которых вероятность выигрыша равна 55 процентам. Исходно имеется 1 доллар. В стратегиях «фиксированная ставка», «мартингал» и «Келли» первая ставка равна 10 центам. В стратегии «ва-банк» на кон каждый раз ставится все, что имеется

Ту статью 1956 года, где была приведена ставшая позже знаменитой формула игры, что так впечатлила Эда Торпа, написал техасский математик Джон Келли-младший. Когда Эд Торп применил ее на практике во время игры в блек-джек, результаты оказались просто поразительными. «Как выразился один генерал, вы приходите к цели „самым первейшим в виде самом лучшейшем“». Даже с небольшими шансами на выигрыш, но при осмотрительном управлении деньгами можно добиться колоссальной прибыльности. Я спросил Торпа, с помощью какой стратегии можно больше выиграть в блек-джек — метода счета карт или использования формулы Келли.

— Мне кажется, что после десятилетнего исследования этого вопроса, — ответил он, — достигнутый консенсус состоит в том, что доля стратегии Келли — приносит две трети или три четверти того, что вы хотите получить, а стратегия счета карт — что-то от четверти до трети. Так что стратегия Келли эффективней.

С помощью метода Келли Торп выиграл более 80 миллиардов долларов на финансовых рынках.

* * *

В 1962 году Эд Торп выпустил книгу «Обыграй дилера», в которой описал свою систему счета карт. Во втором издании, вышедшем в 1966 году, он внес в нее уточнения, предложив считать также карты достоинством в 10 очков (валет, дама, король и десятка). Хотя они влияют на шансы на проигрыш в меньшей степени, чем пятерки, таких карт в колоде больше, поэтому легче оценить шансы на выигрыш. В мире было продано более миллиона экземпляров книги «Обыграй дилера». Она воодушевляла — и продолжает воодушевлять — легионы любителей азартных игр.