Федор Константинов - Объективная диалектика

• Название: Объективная диалектика
• Автор: Федор Константинов
• Издательство: Мысль
• Жанр: Философия
• Год: 1981

Многотомное издание по материалистической диалектике в нашей стране предпринимается впервые. В первом томе дается характеристика предмета и принципов материалистической диалектики, излагается диалектическое понимание материи, анализируется природа материального объекта и его атрибутов, исследуются категории количества, качества, меры, движения, времени, закона, случайности, причины и другие, а также законы диалектики.

---

Если обратиться к современной математике, то необходимо заметить, что в ней, строго говоря, используется не понятие количества как такового, а понятия множества, числа, величины. Математические понятия, отражавшие непосредственно количественные моменты объекта (прежде всего понятие числа), подверглись существенным обобщениям и перестали непосредственно отражать количественные аспекты объектов. Но это обстоятельство нельзя истолковывать в том смысле, что количество вообще перестало быть объектом математики или же что математика в своих понятиях отражает что-то такое, что не имеет отношения к количеству. Понятия, отражающие количество, в математике подверглись обобщениям; в них вошли новые признаки, организованные в определенные структуры со старыми. Все это, по-видимому, нужно понимать как то, что математика перестала быть наукой только о количестве, что она стала наукой о количественных структурах, что математика строит модели качественного количества. На это обстоятельство обращали внимание многие математики и философы. Хотя современная математика и перестала быть наукой только о количестве, однако ряд ее понятий отражает моменты количества, количественные отношения. Поэтому для анализа онтологического содержания категории количества необходимо использовать результаты, достигнутые математикой в изучении количества.

Опыт истории философии и математики дает достаточное основание для выделения величины и числа как важнейших моментов количества. В истории философии достаточно указать на Аристотеля, Декарта, Канта, Гегеля, которые рассматривали величину и число как понятия, характеризующие содержание категории количества. Что же касается истории математики, то известно, что вплоть до XX в. господствовало мнение, что математика — наука о количестве, причем под количеством понимались величина и число. К аналогичному выводу приводит и анализ истории естествознания. Изучение количественной определенности объекта в науке осуществляется в операциях счета, измерения и вычисления. Во всех этих операциях имеют дело с величинами и числами в их взаимных соотношениях. Понятие количества в научном исследовании не имеет никакого иного реального смысла, кроме как величин и чисел, характеризующих аспекты изучаемого объекта.

Обобщение материала истории философии, истории математики, практики научного исследования лежит в основе концепции, определяющей онтологическое содержание категории количества как единства числа и величины[226]. В основе понятия числа лежит практическая деятельность: счет, операции над числами (сложение, вычитание и т. д.). Хотя счет в современной форме представляет собой мысленную деятельность, связанную с оперированием последовательностью символов — цифр, однако он возник как вещественная операция (последовательное нанесение засечек на посохе пастуха, откладывание шариков на абаке, использование палочковых «моделей» и т. п.). Аналогичным образом обучение ребенка счету обычно начинается с оперирования палочками или какими-нибудь другими предметами, затем определенным предметным конфигурациям соотносят слова, обозначающие эти конфигурации, потом эти слова оформляются в последовательности цифр. Лишь освоив «материальный» счет, ребенок начинает считать «абстрактно», забывая впоследствии о том, как он научился считать.

На основе операции счета сначала возникли так называемые порядковые числа (первый, второй и т. д.), а затем — количественные числа (один, два и т. д.). Благодаря пересчету объектов, рассматриваемых как единицы, возникает понятие натурального ряда чисел. Это понятие является одним из фундаментальных понятий, на основе которых развивалась математика. В результате использования операций вычитания, деления и т. д. на основе чисел натурального ряда возникают новые виды чисел.

Натуральное число было исходным видом чисел. Затем было построено кольцо целых чисел, далее поле рациональных чисел, затем поле вещественных чисел, наконец, поле комплексных чисел. Характерно, что по мере обобщения понятия числа изменяются некоторые отношения между числами. Так, при переходе от вещественных к комплексным числам теряет силу отношение неравенства в той форме, в которой оно имеет силу в применении к вещественным числам, при переходе к гиперкомплексным числам не выполняется коммутативность умножения. В расширенной области чисел не выполняются некоторые основные свойства исходной области чисел.

Когда среди философских вопросов математики рассматривается сущность числа, то, как правило, ограничиваются исследованием натурального числа. Для этого есть основания, поскольку, с одной стороны, все другие виды чисел опираются на понятие натурального числа, являются его обобщениями, а с другой стороны, возможна редукция других видов чисел к натуральному числу. Однако нужно быть достаточно осторожным при переносе фактов, относящихся к натуральным числам, на другие виды чисел, поскольку при обобщении числа утрачивают силу некоторые операции, имеющиеся в исходной области чисел.

Одним из наиболее развитых учений, представители которого приложили много усилий к решению проблемы сущности числа, является логицизм. Еще Кантор отстаивал идею о том, что понятие числа связано с понятием множества. При этом он считал, что множества не являются чисто мысленными построениями, а существуют как некоторые реальности. Выяснение связи понятия числа с понятием множества принадлежит Фреге и Расселу. Они определяли натуральное число путем отождествления его с некоторым свойством, присущим всем множествам (классам), между которыми можно установить одно-однозначное соответствие. Такое соответствие имеется, например, между множествами ног всех сороконожек. Это означает, что у них одинаковое число ног. Поскольку не между всеми классами можно установить одно-однозначное соответствие и поскольку существуют различные классы классов с одно-однозначным соответствием между их членами, постольку каждые различные классы классов имеют различные числа своих членов.

Гильберт и его последователи (так называемые формалисты) попытались в процессе обоснования понятия числа избежать тех трудностей, с которыми связана логика классов, считая, что это можно сделать при помощи аксиоматического определения числа. Они предложили следующую процедуру.

Принимается начальный знак «I» и процедура образования других знаков добавлением знака «I». Результатом ее применения будут знаки «II», «III» и т. д. Затем вводятся вспомогательные знаки-цифры (например, вместо «III» — «З»), знак «=», указывающий, что два знака имеют одинаковую структуру, знак «<», указывающий, что один знак предшествует другому (так «II»< <«III», т. е. если начать с «I», то сначала придем к «II», а затем к «III»), скобки. Далее вводится аксиоматика, задающая операции над знаками: аксиомы соединения, вычислительные аксиомы, аксиомы порядка, аксиомы непрерывности[227].

Доказательство непротиворечивости системы аксиом, по Гильберту, одновременно и доказательство существования чисел. Крайние формалисты считали число не более чем знаком, а содержание математики видели в манипулировании знаками, не имеющими смысла. Продолжающие в определенном смысле формализм интуиционисты и представители так называемого конструктивного направления в математике считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Иными словами, каждое отдельное число имеет значение лишь постольку, поскольку существует определенное отношение его к другим числам. (Назовем это направление в целом порядковой концепцией числа.)

В определении числа логицистами есть рациональные моменты. В концепции логицизма указывается на связь понятия числа с множествами объектов. В материальном мире действительно существуют системы, состоящие из множества элементов, причем в некоторых случаях множества элементов различных систем находятся в однозначном соответствии, а в других нет. Эта ситуация существует независимо от познающего субъекта. Следовательно, понятие числа имеет объективные основания.

Рациональное содержание имеется и в порядковой концепции числа. Здесь нужно учесть то положение, согласно которому конкретное число имеет значение только тогда, когда оно занимает определенное место в системе чисел. Энгельс отмечал: «Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система»[228]. Отношения между числами отражают объективные отношения между различными множествами объектов (или элементов систем), причем определенный тип отношений. Известен пример, хорошо иллюстрирующий эту ситуацию. При обычном определении сложения, например 2+2=4. Однако не каждые два объекта, соединяясь с двумя другими, дают четыре (в чем наглядно можно убедиться, поместив вместе двух кошек и двух мышей). 2+2=4 — это утверждение, сформулированное для некоторого типа отношений объектов. Предполагается, что все элементы множеств неизменны и сохраняют свою определенность при проведении над ними операции сложения.