Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

Общее содержание этой науки, если отбросить все приложения, все детали и всю технику демонстрации, представляется в виде следующих трех проблем.

Прежде всего, первая большая проблема и первый большой отдел дифференциального исчисления — это само дифференцирование функций. Чтобы внести ясность в структуру этого отдела, необходимо четко формулировать, во–первых, процесс самого дифференцирования, во–вторых же, классификацию функций.

Что касается первого вопроса, то общая формула дифференцирования является не чем иным, как развитым приложением самого понятия производной. Так как дифференцировать функцию — значит найти ее производную, то ясно, что процесс дифференцирования может состоять только из последовательного приложения элементов, входящих в самое понятие производной. В развитой форме это дифференцирование представляют в виде четырех приемов: 1) к аргументу и функции присоединяется приращение —

y=ƒ(x)

y+∆y=ƒ(x+∆x)

2) определяется отсюда приращение функции —

∆y=ƒ(x+∆x)-y

∆y=ƒ(x+∆x)-ƒ(x)

3) берется отношение приращений ∆у и ∆x

4) происходит переход к пределу, считая, что ∆х стремится к 0. Отсюда —

Таков в общей форме процесс всякого дифференцирования. Правда, этот общий прием не всегда удобен, но об этих деталях говорить не будем.

Что же касается вопроса о классификации функций, которая только и может внести логический стройный порядок в этот отдел дифференциального исчисления, то и этого вопроса в данном месте касаться не стоит. Вопрос о классификации функций отнюдь не такой легкий, как это представляют себе математические руководства. Легкость достигается тем, что обычно перечисляют только простейшие и легчайшие функции и отбрасывают более сложные, а потом начинают вводить их без всякого предупреждения.

Так, неизвестно, в каком месте надо излагать гиперболические функции. Тригонометрические функции хотя и излагаются сейчас же после дифференцирования «алгебраических» функций, но неизвестно почему. Неизвестно также, что, собственно, такое «тригонометрические» функции. Обычное определение их как отношения определенных линий к радиусу круга—слишком внешнее определение; оно в сущности ничего не говорит. Уже одно выражение их при помощи числа е в известных формулах Эйлера указывает на полную их загадочность и таинственность; и не так–то просто найти их вполне существенное определение. Эллиптические функции справедливо отнесены в отдел теории функций комплексного переменного. Но положение самого этого отдела в системе анализа совершенно неопределенно. Казалось бы, естественно было бы излагать функции комплексного переменного вслед за рациональными и иррациональными функциями, поскольку само понятие комплексной величины есть неограниченное завершение понятия величины вообще. Тем не менее ни в дифференцировании, ни в интегрировании функций обычно этих функций не помещают, а помещают их почему–то в отдел «аналитических» функций, причем опять невозможно разобрать, что такое аналитические функции. С одной[230] стороны, аналитические функции комплексного переменного поставлены в ближайшую связь. С другой стороны, оказывается, что аналитические — это все вообще функции (так как аналитические—те, которые дифференцируемы). И т. д., и т. д., и т. д.

Вся эта неразбериха, не свидетельствующая о логической силе математиков, требует кропотливого анализа, который невозможно провести здесь, не удаляясь далеко в сторону, хотя только логически стройная классификация функций и могла бы внести порядок и последовательность в рассматриваемый отдел дифференциального (и соответственно—интегрального) исчисления. Сюда же относится, конечно, дифференцирование неявных функций, нахождение частных производных и производных высшего порядка. Это естественно вытекает из самого понятия дифференцирования.

Второй большой отдел дифференциального исчисления—это учение о рядах. Положение этого отдела в системе анализа— вполне специфическое. Ряды, конечно, нельзя помещать где попало. Логическое место их определяется тем основным обстоятельством, что ряд представляет собой инобытие производной. Если производная является образом пребывания функции в инобытии, то ряд является образом пребывания самой производной в инобытии.

Если производная—тезис, то ряд есть антитезис или, вернее, такой антитезис, который воплощает в себе в инобытийном[231] порядке тезис, производную. Чтобы это понять с полной четкостью, необходимо проанализировать диалектически хотя бы один какой–нибудь ряд. Для такого примера мы и возьмем простейший ряд—ряд Маклорена.

Этот ряд—

состоит из двух элементов, вдвинутых один в другой, — именно из ряда последовательно данных производных, начиная с самой функции при нулевом значении аргумента, —

ƒ(0),ƒ',ƒ",ƒ"', …

и из разложения в ряд ех—

Что такое ряд производных, у которых последовательно повышается порядок? Производная есть, как мы видели, закон инобытия той или иной идеальной взаимозависимости. Производная от этой производной, или производная второго порядка, есть переход этого самого закона в инобытие. Производная третьего порядка есть еще новый инобытийный закон этого второго закона. И т. д. Ясно, стало быть, что если производная есть инобытие функции, то ряд производных последовательно повышающегося порядка есть инобытие самого перехода функции в инобытие, инобытие самого становления, инобытийное становление становления функции в инобытии, отрицание отрицания функции в инобытии. Переходя в инобытие и порождая из себя производную, функция отрицает себя. Но, продолжая неизменно дробить этот свой переход в инобытие и тем порождать производные все более и более высокого порядка, функция отрицает свое отрицание, исчерпывает свое отрицание и тем стремится к новому утверждению — к утверждению себя в инобытии не только как становящейся, но и как ставшей.

Однако этого еще недостаточно для того, чтобы действительно совершилось отрицание функции. Дело в том, что производные последовательно повышающегося порядка, взятые сами .по себе, вполне висят в воздухе; они ни к чему не прикреплены; и неизвестно, какие из них брать и как их брать. Тут утверждается только то, что вообще существуют такие производные; но на что они тут употреблены, об этом сама их отвлеченная последовательность ничего не говорит. Надо, стало быть, привязать эти висящие в воздухе ино–бытийные образы к каким–нибудь фактам, чтобы они стали не только теоретической возможностью, но и реально–субстанциальным существованием функции в инобытии, т. е. чтобы действительно получилось разложение функции в ряд. Однако привязать эти отвлеченно данные производные в целях инобытийного осуществления можно только к таким фактам, которые сами даны в становлении. В математике, в теории пределов, рассматривается одно такое тело, которое представляет собой как раз становящуюся единицу. Это именно число с. Ведь это е, которое разлагается:

очевидно, представляет собой единицу, сложенную с отношением ее ко всем возможным другим числам, кроме единицы, причем эти числа уходят в бесконечность. Ясно, что число е есть не что иное, как единица, но такая единица, которая разработана и перекрыта становящимся слоем взаимоотношения ее со всем окружающим числовым инобытием. Но ведь мы должны прикрепить ряд наших производных не просто к единице, но к определенному аргументу разлагаемой функции. Функция, переходя в инобытие, перестраивает существующее в ней отношение к аргументу. И, создавая инобытие своего инобытия, она все равно должна как–то оставаться связанной с судьбой своего аргумента. Поэтому наши производные должны быть осуществлены не просто на становящейся единице, на разложении е в ряд, но на таком е, которое в себе воплощает упомянутый аргумент, которое имеет смысл этого аргумента. Потому производные объединяются с разложением в ряд ех. А это и значит, что мы получаем упомянутые два элемента, из которых диалектически состоит ряд Маклорена.

Если понятна диалектическая структура ряда Маклорена, то, конечно, должен быть понятен и ряд Тейлора (путем простой замены jc на х—я), и ряд Коши (путем замены χ на приращение h). Более подробная диалектика рядов и их классификация, конечно, должны составлять предмет специального исследования. Следует заметить, что понятие ряда существенно связано с теоремой о среднем значении: ряд и есть осуществление этой теоремы. Поэтому рассуждение о рядах должно быть предварено изложением теорем Ролля, Лагранжа и Коши, составляющих, таким образом, тоже центральное содержание этого отдела дифференциального исчисления.

Наконец, третья большая проблема дифференциального исчисления— это т. н. исследование функций. Данный отдел анализа обладает всеми чертами синтетической природы. Если простое дифференцирование функции дает ее производную, а ряды дают становление этой производной в инобытии, то исследование функций возвращается опять к самой функции и рассматривает ее в свете ее инобытийных превращений. В дифференцировании мы переходим от первообразной функции к ее производной, в рядах—от ее производной переходим к дальнейшим производным, поскольку они воплощают первообразную функцию в инобытии. Исследование функции возвращает наши мысли опять к конструированию функции, но не функции самой по себе, а функции постольку, поскольку на ней отражаются ее судьбы, когда она пребывала в инобытии.