Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

Пусть у нас имеется функция

у = х2 + 1

и пусть начальное значение x: будет 3. Тогда начальное значение у=32+1 = 10. Возьмем теперь какое–нибудь новое значение x, напр. 4, тогда y =42+1 = 17. В первом случае приращение будет

Δ.γ = 4 — 3 = 1,

во втором случае приращение будет

∆у— 17— 10 = 7.

Следовательно, = =7.

Будем теперь постепенно уменьшать Δx, придавая ему значения 0,9; 0,8; 0,7 и т. д. Соответственно будет меняться χ и также у, а стало быть, и . Мы действительно видим, что принимает все меньшие и меньшие значения: 7; 6,9; 6,8; 6,7 и т. д. Спрашивается: до каких же пор будет это отношение уменьшаться? ∆х стремится к нулю. К чему же стремится ?

Чтобы ответить на этот вопрос, представим вышеприведенное выражение — при помощи данной формулы у=χ2 +1. Именно, взявши приращенную функцию, получаем:

у+∆у=(х+∆х)2+1 = χ2 + 2χΔχ+(Δχ)2 +1,

откуда

∆у = х2 + 2х∆х + (∆х)2+1—(х2 +1) =

=χ2+2χΔχ+(Δχ)2+1 — χ2 — 1 = 2х ∆х+(∆х)2.

Следовательно,

Итак, чтобы судить о том, к чему стремится, достаточно полученное выражение 2х+∆х взять в пределе, т. е. в условии стремления ∆х к нулю. Очевидно, если Ах стремится к нулю, то стремится к 2х, так как ∆х, как стремящееся к нулю, стремится просто отпасть. Значит, если начальное значение аргумента χ у нас было 3, то предел отношения будет равен, очевидно, 2–3 = 6.

И действительно, просматривая в нашей табличке значения , мы видим, что оно постепенно уменьшается, но не становится меньше 6. Если бы мы взяли, напр., ∆х = 0,001, то, как показывает вычисление, оказалось бы равным 6,001. Легко проверить это, подставляя все меньшие и меньшие ∆х и получая отсюда все меньшие и меньшие , но не становящиеся меньше 6. 6—это предел, Δχ к которому стремится если брать функцию у=х2+1 при начальном значении х=3.

На этом простейшем примере отчетливо видно, какую форму приобретает взаимоотношение χ и у, когда оно начинает действовать не само по себе, но в своем инобытии, в своем становлении, когда они сплошно и неизменно растут или вообще меняются.

Предел этого отношения , когда ∆х стремится к нулю, и есть производная, т. е. функция, «произведенная» от у, которую называют первообразной функцией. Следовательно, производная данной функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда это приращение аргумента стремится к нулю как к своему пределу.

Не будем забиваться в абстрактные дебри, как это любят делать математики, давая это понятие в дифференциальном и интегральном исчислении. Также недостаточны для понимания производной и те геометрические и механические привнесения и толкования, которыми математики уснащают свои руководства, думая на них конкретизировать это отвлеченное понятие. Надо, однако, еще до этих применений и толкований научиться понимать эту замечательную категорию, понимать всю ее жизненную и, следовательно, философскую конкретность.

Что такое производная? Для понимания этой основной категории математического анализа надо с максимальной отчетливостью представить себе разницу между бытием и инобытием или, точнее, между бытием и становлением. Если эта разница усвоена нами с достаточной отчетливостью, тогда необходимо достигнуть четкости еще в представлении того, как совершается стремление к пределу. Если эти две вещи усвоены, то логический состав производной будет ясен сам собой.

Что такое становление? Его удобно можно обрисовать путем противопоставления голому бытию (или голой идее[228]), по сравнению с чем оно действительно есть резкая противоположность. Бытие есть прежде всего нечто оформленное и устойчивое; становление бесформенно стремится вперед. Бытие — царство раздельности, координированности; становление же есть алогический процесс, в котором все отдельные моменты сливаются в одну неразличимую непрерывность. Арифметика оперирует с числами вне всякой их процессуальности. Для нее они — вечные, незыблемые идеи, предстоящие в виде некоей картины, и считающий только выбирает из этой картины то одни числа, то другие. Алгебра и элементарная геометрия, не оперируя с арифметическими числами, все же, вполне на манер арифметики, оперируют со своими величинами опять–таки чисто статически. И только в анализе дана чистая стихия становления, чистое алогическое становление, в котором тонет всякая раздельность, затухает всякое оформление и совершается уход в бесконечную даль, к неохватным горизонтам.

Идеи, числа, вещи, взятые как неподвижные, статические, вечные структуры, предстоят как определенным образом связанные между собой, предстоят в некоем конкретном взаимоотношении. Будучи же погружены в стихию становления, они в корне меняют свое взаимоотношение; оно становится неузнаваемым, хотя мы и должны уметь выводить это их алогически–становя–щееся взаимоотношение из их логически–неподвижного взаимоотношения. Вещи, идеи, числа—все, что мыслится и существует, — одним образом взаимосоотносится, когда берется в чистом и непосредственном виде, и совершенно другим способом взаимосоотносится, когда уходит в алогическое становление и растворяется в нем. Итак, это первое и самое главное в производной: производная есть взаимоотношение величин, перешедших в алогическое становление.

Второе, очень важное обстоятельство заключается в том, что производная содержит в своем логическом составе момент предела. Что такое предел, об этом уже говорилось выше. Однако ни на минуту нельзя упускать из виду всего своеобразия этой богатой категории — предела и надо уметь учитывать его в общем логическом составе производной. Схематически эту ситуацию можно представить так.

Аргумент х, погрузившись в становление, меняется, движется — в бесконечность.

Зависящая от него функция у, погрузившись в становление, тоже все время меняется, движется—до бесконечности.

Теперь, отношение между этими двумя, бесконечно становящимися величинами есть тоже величина переменная; оно тоже все время меняется, движется и—тоже до бесконечности. Это очень важно все время учитывать и иметь в виду. Производная все время меняется, движется, становится. Производная тоже пребывает в становлении, она в каждый новый момент взаимоотношения становящегося аргумента и функции—все новая и новая, все иная и иная. Но только это становление производной не какое–то вообще, а вполне определенное, так как ведь и аргумент, и функция есть тоже вполне конкретная определенность и таковыми они и вступают в стихию становления. Но какая же может быть определенность в становящейся величине? Определенность становления аргумента χ продиктована самим аргументом л:; она выражается через х+Ах. Определенность становления функции у опять–таки продиктована определенностью самой функции; эту нарушенную функцию мы найдем в выражении у + Ау. Но от чего зависит определенность становления производной? Она ведь потому–то и называется производной, что она не самостоятельна, а всецело зависит от поведения в инобытии аргумента χ и функции у. Вот предел, к которому стремится , и есть то, что дает производной определенность и указывает на ее определенную закономерность. Отдельные с этой точки зрения еще не есть сама производная, а как бы только подготавливают ее, стремятся к ней. В настоящем смысле производная возникает только тогда, когда все эти отдельные получают особую структуру, как некий ряд, как некая последовательность. Это и совершается тогда, когда ряд этот получает предел. И производная, находя в каждом отдельном свое приближенное выражение, оказывается в точном смысле производной именно тогда, когда она есть предел этого отношения .

С этой точки зрения производную необходимо понимать как закон инобытия идеальной взаимозависимости. Когда дана функция сама по себе, y=ƒ(х), и не ставится никакого вопроса о становлении л: и у, то все действия происходят тут в области чисто идеальной, неподвижно идеальной. Когда χ и у перешли в становление, они вышли за свои собственные границы и перешли из своего бытия в свое инобытие. Какой же закон существования этой идеальной взаимозависимости, когда она перешла в свое инобытие? Ответ: этот закон существования идеальной взаимозависимости в инобытии к себе самой есть производная. По ней мы видим, как ведут себя идеальные вещи в инобытийно–реальном становлении и какова структура и внутренняя связь, царящая в этом инобытийном поведении.

Здесь перед нами еще раз появляется воочию тайна западноевропейского мироощущения, покинувшего идеальную действительность абсолютов и погрузившегося в непроглядную тьму становления и вечных исканий. Когда действительность мыслилась и переживалась в своей абсолютно–объективной, личностно–самостоя–тельной субстанциальности, тогда не было особенных причин уходить в становление, а были все причины пребывать в собранном и целомудренно–уравновешенном состоянии. Когда же все объективное бытие было зачеркнуто и человеческий субъект стал усиливаться в самом себе и притом из самого себя исходить все быстрее, тогда, по невозможности физически обнять бесконечную вселенную, волей–неволей пришлось устремиться в вечное искательство и расслоить спокойное обладание истиной на бесконечное и беспокойное ее достижение. Тогда и возникла непреодолимая потребность, своего рода метафизическая страсть созерцать, наблюдать, изучать и фиксировать не устойчивые структуры природы и духа, но их становящуюся стихию, не числа и вещи в их законченном стройном бытии, но числа и вещи в их бесконечно стремящемся инобытии. И так как нельзя же было настолько погрузиться в становление, чтобы потерять всякую мысль и расстаться с самой способностью расчленять, обобщать и теоретизировать, то и были созданы такие методы мысли, которые бы максимально соответствовали алогически–становящемуся бытию, и такая математика, которая, сохраняя свою точность и четкость форм, говорила бы не о стройном и законченном архитектурном целом, но о вечно рвущемся, вечно бесконечном стремлении. Производная и есть эта точная, четкая, максимально–логическая форма и метод мысли для познания всегда неточного, всегда спутанного и нечетного, максимально алогического становления и изменения. В этом вся ее тайна. И в этом ее совершенно своеобразный культурно–исторический строй; и, можно сказать, в этом — метафизическая страсть, владевшая и владеющая всеми, кто мыслит и действует инфините–зимально, кто мыслит и действует как вечно стремящийся и никогда ненасытный Фауст.