Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

Предел—это та категория, которая (правда, в довольно вялом виде) применяется уже и в элементарной математике. Главное ее место, однако, в математическом анализе; и тут на ней, можно сказать, построена целая наука.

Пусть в круг вписан квадрат. Если мы удвоим количество его сторон, то площадь его, конечно, увеличится и периметр его тоже увеличится. Это удвоенное количество сторон может быть удвоено еще раз, еще раз и еще раз. Оно может быть удвоено до бесконечности. Периметр, последовательно меняющий свою форму в зависимости от количества удвоений, будет стремиться, очевидно, к окружности и в пределе совпадет с нею. Окружность, говорят, есть предел вписанных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон, равно как и предел описанных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон.

Здесь окружность есть нечто определенное и конечное; каждый многоугольник, вписанный или описанный, с любым количеством сторон, есть тоже величина определенная и конечная; но многоугольник тут дан не сам по себе, но в своем становлении (в смысле увеличения количества сторон); потому и количество сторон все время растет, по длине они делаются все меньше, и, значит, в целом же они приближаются все больше и больше к окружности; окружность для них—предел. Тут вполне отчетливо выступают две основные категории—непрерывности и прерывности и их синтетическое взаимопревращение, сплошной и бесконечный переход непрерывности в прерывность и прерывности в непрерывность.

Итак, вот диалектическая схема указываемых нами понятий: непрерывность, прерывность, предел, при этом непрерывность сама возникает как синтез постоянной и переменной величин.

5. Бесконечно–малое и бесконечно–большое. Только теперь мы можем формулировать то основное понятие, на котором строится весь математический анализ, — понятие бесконечно–малого (и, значит, бесконечно–большого). Оно возникает как напряженное, конденсированное выражение всех только что рассмотренных нами категорий.

Непрерывность (с постоянной и переменной величинами), прерывность и предел — все это, вместе взятое, может рассматриваться как нечто целое. Именно — это то, что противостоит числу, взятому в его чисто арифметическом виде, т. е. числу, взятому как непосредственное бытие. Когда мы берем числа натурального ряда и производим над ними арифметические действия, то здесь не возникает никаких сопоставлений каждого отдельного числа с тем или иным его внутренним или внешним функционированием. Произведя, напр., деление одного числа на другое, мы не ставим никаких вопросов о том, являются ли эти числа, делимое, делитель и частное, величинами постоянными, переменными, прерывными, непрерывными или предельными. Никаких таких вопросов тут совершенно не возникает. Это понятно. Все эти вопросы связаны с числом в том или ином опосредствованном виде. Когда мы говорим «5», «10», «», «3» и т. д., мы производим арифметические операции над числами в том их виде, как они и даны. Когда же мы говорим, напр., «переменная величина», то тут имеется в виду не только непосредственная значимость числа самого по себе, но еще и его определенное логическое отношение к тому фону, на котором оно дано. Тут—опосредствованная значимость числа.

Но если это так, то число арифметическое, как непосредственно значащее, число в смысле непрерывности, прерывности и предела, как опосредствованно значащее, находятся друг в отношении друга в состоянии диалектической антитезы. Если по общей диалектической схеме непосредственность признать за бытие, то опосредст–вованность необходимо будет признать за небытие, и между обеими категориями возникает диалектическое противоречие. Оно ждет разрешения и синтеза.

Что нужно для синтеза? Нужно, чтобы непосредственно значащее арифметическое число восприяло на себя категории непрерывности, прерывности и предела, т. е. чтобы оно лишилось своей стационарной значимости и проб [уд ]ило в себе эту двуплановость, требуемую данными категориями. С другой стороны, также необходимо, чтобы эти три категории воплотились на реально значащем числе, или величине, и перестали быть только отвлеченными признаками неизвестно каких величин. Этот диалектический синтез и совершается в понятии бесконечно–малого.

Самое простое математическое определение бесконечно–малого есть следующее. Бесконечно–малое есть переменная величина, имеющая своим пределом нуль. С виду простое, это определение, однако, содержит в себе немало разных подчиненных моментов, и они враздробь указаны нами в предшествующем, подготовительном изложении.

Во–первых, бесконечно–малое есть величина переменная. Одно уже это тянет за собою всю систему категорий, которую мы наметили выше. И уже один этот момент накладывает неизгладимую печать на всю изучаемую нами категорию. Бесконечно–малое—это сплошь стихия становления, изменения; тут ничто не стоит на месте, все движется и беспокойно требует расширения, углубления, распространения.

Во–вторых, бесконечно–малое есть такая переменная величина, которая имеет определенный предел. Отнюдь не всякая переменная величина имеет предел, стремится к пределу. Возьмем самую обыкновенную синусоиду. Эта равномерно вьющаяся вокруг прямой кривая никуда не стремится, ни к какому пределу не стремится, сколько бы ее ни продолжали. Она проходит одни и те же значения бесконечное число раз; эти значения неизменно повторяются, и кривая от этого ровно ни к чему не приближается и не стремится ни к какому пределу. Бесконечно–малое [же] как раз имеет такой предел, неизменно стремится к нему; предел управляет бесконечно–малым и притягивает его к себе из таинственного полумрака бесконечности. Это создает для понятия бесконечно–малого вполне оригинальный стиль, который еще усиливается от других элементов этого понятия. Подчеркнем, что изменение, поскольку речь зашла о пределе, дано тут не само по себе, но в становлении, в алогическом становлении. Оно само стремится в какую–то даль, и стремится сплошно, неразличимо, безраздельно. Предел, следовательно, достигается тут при помощи бесконечного процесса приближения. Другими словами, этот предел никогда и нигде не достигается, а дано только вечное стремление, вечное движение, неустанный уход в бесконечные дали.

В–третьих, бесконечно–малое есть такая переменная величина, которая имеет своим пределом нуль. Нуль в качестве предела рисует всю нашу картину вечного стремления совсем в другом, в небывалом виде. Что это значит? Что значит это вечное стремление—и к чему же? К нулю, в ничто, в небытие! Это значит, что дух, живущий по законам бесконечно–малого, не только стремится куда–то вдаль и не только это стремление вечно, но, кроме того, тут ставится задача исчерпания бытия, охвата бытия до последней его точки, использование его до тех пор, пока не останется в нем нуль бытия, пока не перестанет существовать само бытие и не превратится оно в ничто. Инфинитезимальный дух хочет исчерпать все бытие, пережить всю стихию жизни, завоевать до последней точки все существующее, охватить его умом и сердцем, сделать соизмеримым с собою, адекватным себе, превратить его из сверхразумной бездны в ощутимую бездну, перевести ее всю–всю целиком на язык своего субъекта, своего сознания, потопить и растворить в глубинах собственной личности. Вот что значит это стремление бесконечно–малого к нулю как к своему пределу; и вот почему это не вообще переменная величина и не вообще процесс, хотя бы и бесконечный процесс, но процесс, имеющий своею целью нуль, исчерпание охватываемого им бытия до нуля.

В этом смысле бесконечно–большое мало чем отличается от бесконечно–малого. Если бесконечно–малое есть переменная величина, стремящаяся к нулю, то бесконечно–большое, очевидно, есть отношение единицы к этому бесконечно–малому. Если α=, то при условии lim ∞ = 0, lim β=∞, а при условии lim β =∞, litn α = 0. Чем больше уменьшается α, тем больше увеличивается β; и когда α стремится к нулю, β стремится к бесконечности. Наоборот, чем больше а, тем меньше β; и когда α стремится к бесконечности, β стремится к нулю. Тут вполне ясна связь, существующая между бесконечно–малым и бесконечно–большим. Когда мы имеем какой–нибудь цельный предмет, то, уходя в его глубину с целью исчерпать его до нуля, пользуясь идеей бесконечного процесса, мы сразу получаем и бесконечно–малое, и бесконечно–большое: бесконечно–малое мы получаем, если имеем в виду отдельные моменты процесса, и бесконечно–большое, — если имеем в виду весь пройденный путь. Если сравнить все целое с отдельной стремящейся точкой, мы получаем уже не просто целое, но целое, разработанное именно с точки зрения этой отдельной стремящейся точки, с точки зрения этого бесконечно–малого, т. е. получаем бесконечно–большое. И наоборот, сравнивши бесконечно–большое, возникшее из всех бесконечно–малых, с целым, мы замечаем, что оно могло возникнуть действительно только из передвижения бесконечно–малого, т. е. получаем идею бесконечно–малого. Так связаны между собой эти оба понятия, являясь, в сущности, одной и той же идеей, рассматриваемой только с разных точек зрения.