Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

Такой категорией является становление. В становлении мы находим прежде всего то, что становится. Стало быть, тут бытие налично. Но вместе с тем здесь же мы имеем тоже и некое как бы отталкивание от этого бытия. Становление есть ведь некий процесс, где бытие все время меняется и переходит в другое. В каждый мельчайший момент своего становления бытие—все иное, иное и иное. Оно тут никогда не одно и то же. В каждый мельчайший новый момент бытие оказывается небытием в отношении к прежнему бытию, к бытию в его прежней форме. И таким образом, в каждый мельчайший момент становления становление оказывается и бытием, и небытием. Потому в диалектике и говорят, что бытие и небытие синтезируются в становление.

2. Целое, дробное, бесконечность. Тут мы пока еще у преддверия анализа бесконечно–малых, но пока еще не вошли в него, не получили еще самого понятия бесконечно–малого. Попробуем конкретизировать достигнутую нами диалектическую ступень — с тем чтобы дойти постепенно и до этого понятия.

Первое, с чем мы тут встретимся, — это понятие и область числа. Когда мы выставляли указанную диалектическую триаду, мы не имели в виду чисел, а говорили в применении вообще ко всяким возможным предметам мысли. Теперь необходимо эту же самую триаду провести в чисто числовой области.

Разумеется, различных форм приложения этой триады к области чисел очень много. Так, напр., если мы возьмем положительное число, то антитезой к нему будет, очевидно, отрицательное число, а синтезом, в котором соединится то и другое, будет, очевидно, нуль. Но эта триада неинтересна в смысле получения понятия бесконечно–малого, и она ничего не разъясняет нам в математическом анализе. Потому подробно говорить о таких построениях надо только в общей философии числа, но не в логике математического анализа. Что же в числе есть такого, диалектическое понимание чего приводит нас вплотную к математическому анализу?

Математический анализ есть исчисление бесконечно–малых. Стало быть, здесь мы находимся в области учения о бесконечном. Спрашивается: что такое бесконечность?

Самое простое и самое «понятное» популярному сознанию — это то, что бесконечность есть нечто, не имеющее конца. Хотя это как будто и ближе всего передает смысл данного понятия, тем не менее считать это вполне ясным совершенно невозможно. Как понимать это отсутствие конца? Обычно это понимается так, что, сколько бы мы ни двигались к границе, мы никогда не можем ее достигнуть. Другими словами, в понятие бесконечности вносят идею процесса. И это вполне справедливо, хотя, быть может, и недостаточно. Самое простое и самое понятное—это понимать бесконечность как бесконечный процесс. Однако этим нисколько задача не решается. Вместо того чтобы определить понятие, выраженное при помощи существительного («бесконечность»), мы в данном случае приходим к необходимости определять понятие, выраженное через прилагательное («бесконечный процесс»). И если мы там не понимаем, что такое бесконечность, то не станет она понятнее и здесь. Какой же процесс мы должны считать бесконечным? Вот вопрос, который теперь предстоит нам решить.

Пусть мы от 1 перешли к 2, от 2 к 3, от 3 к 4 и т. д. Спрашивается: можем ли мы когда–нибудь на этом пути получить бесконечно–большое число? Пусть мы знаем, что такое 2; и пусть нам известно, что такое 10. Можем ли мы путем прибавления отдельных единиц получить из двойки десятку? Конечно, можем. На пути прибавления к двойке отдельных единиц и лежит то самое число, которое называется десяткой. Но можем ли мы на этом же самом пути получить бесконечность? Очевидно, нет. Зная только одни конечные числа, мы, какими бы арифметическими операциями ни пользовались, никогда и никак не можем получить бесконечную величину. Это значит, что бесконечность отличается от конечных величин отнюдь не количественно, а качественно. Это какое–то особое качество среди количественных операций; и к нему нельзя прийти путем обычных количественных операций, но только путем «скачка».

Итак, ни голая процессуальность не определяет бесконечности, хотя и как–то входит в нее, ни голая количественность не определяет бесконечности, хотя тоже как–то входит в нее. Приходится, следовательно, искать иных путей для нахождения понятия бесконечности.

Обратим внимание на следующее. Бесконечность не увеличивается и не уменьшается от количественного ее увеличения и уменьшения. Стало быть, в каждом отдельном пункте бесконечность есть уже вся бесконечность, какие бы операции мы над ней ни производили. Каждый момент бесконечности есть и вся целая бесконечность. Раз оо + А (любое число) =оо, то ясно, что в бесконечности каждая отдельная ее часть равняется всей бесконечности, взятой в целом. Этого, разумеется, никогда не бывает в конечной области. Тут всегда часть меньше целого и целое больше части. Этим область бесконечности коренным образом отличается от области конечных величин. Тут, однако, кроется и еще одна категория. Простое тождество целого и части еще ничего не говорит о бесконечности, если эти категории брать самостоятельно. Нужно точнее определить способ отождествления целого и части и ясно ощущать форму этого отождествления. Этот способ и эта форма не могут быть статическими. Бесконечность, видели мы, есть прежде всего процесс. Следовательно, отождествление целого и части должно быть дано в процессе, в становлении. Становление должно объединить целое и часть или, вообще говоря, целое и дробное, и тут–то и необходимо искать категорию бесконечности.

Как же протекает этот процесс отождествления целого и части в бесконечности?

Чтобы перейти от целого к дробному, надо перейти от бытия к небытию. Дробное—инобытие целого. Целое, воплотившись в инобытие, превращается в отдельные части и их сумму. В целом все элементы существенно связаны один с другим, почему они и являются элементами, или частями. Когда же целое воплощено в инобытии, все его элементы тоже воплощены в инобытии, но они уже дискретны друг в отношении друга, так как всякое инобытие есть всегда прежде всего внеположность и саморазличение, самоотрицание. Итак, целое выражается внешне–инобытийным образом в дробном, в отдельных частях, в сумме частей, в том, что в отличие от внутреннего центра целости можно назвать всем. Всё — воплощенное в инобытии целое.

Но если так, то спрашивается: может ли инобытийная стихия выявить внутреннюю целость вполне и адекватно? Конечно, может. Тогда в инобытии мы находим именно всё. Но она может выявлять его и не полностью, не адекватно. Становление есть как раз такая категория, которая мешает в данном случае адекватному выявлению целости. В целом все дано сразу, а становление все дает постепенно, не сразу. Следовательно, если дать свободу стихии становления, то целое, хотя и будет все время дробиться на части (в инобытии) и будет в них постоянно присутствовать, оно никогда не получит полного выявления и всегда будет только стремиться к полноте выявления. Целое дробится на части, и эти части призваны выразить его целиком; но так как части эти тождественны с целым, то количество элементов целого присутствует в части, она тоже делится на те же части, а часть этой части опять, в силу своего тождества с целым, содержит в себе то же количество частей и т. д. и т. д. Идя по этому пути, мы никогда не сможем выразить всего целого при помощи его частей — и это потому, что части возникают в результате постепенного дробления, т. е. в результате становящегося дробления, в результате становящегося отождествления целого и частей.

Теперь мы можем дать некоторого рода логическую формулу, определяющую понятие бесконечности.

Бесконечность есть становящееся тождество (или становящийся синтез) целого и дробного.

Это простейшая концепция бесконечности, без которой невозможно будет понять и отдельных видов бесконечности. Тут мы видим, что без момента целости нельзя получить понятие бесконечного. Видим также, что в бесконечность входит и момент процесса, становления. Необходимо полнейшим образом представлять себе участие каждого из этих моментов в общем понятии бесконечности.

Целое дробится, выражается своими частями. По условию целое должно содержаться в своей части — тем самым возникает их тождество. Но части должны мыслиться не стационарно, но в последовательном возникновении, в становлении. Тогда получается невозможность исчерпать все части целого, т. е. образуется бесконечность.

В бесконечности дана целость, но не сама по себе, а как подчиненный момент. Если бы ее тут не было, то не могло бы быть и дробления, т. е. не было бы никакого перехода к мельчайшим частям и не было бы, значит, ухода в бесконечность. В бесконечности дана дробность, но опять–таки не сама по себе, а как подчиненный момент. Если бы ее тут не было — опять не могло бы возникнуть процесса дробления и не могло бы возникнуть ухода в бесконечность. Бесконечность не целое и не дробное. Но она и целое, и дробное, и нечто гораздо большее, в чем обе эти категории как бы взаимно растворяются. Это целое, из объединившее, есть становление одного другим, становление целого дробным и дробного, частного—целым. В бесконечности все последовательные моменты равны один другому, но они в то же время и различны, так как возникают они в процессе становления. Целое стремится выразиться в убывающих частях и не может, и части стремятся стать целым и не могут. Все это в процессе становления по самой природе своей алогично, т. е. нерасчленимо, неразличимо.