Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

• Название: Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра
• Автор: Борис Розенфельд
• Жанр: Биографии и Мемуары

Книга, название которой подсказано книгой Вейля - это воспоминания и мысли геометра и математика Бориса Абрамовича Розенфельда, который интересовался вопросами истории науки и философии, побывал во многих странах и встречался со многими людьми.

Книга состоит из 18 глав, первые 15 из которых являются воспоминаниями, в последних 3 главах изложены мысли геометра, историка и философа.

---

Улугбек и ал-Каши

Работая в Баку я подготовил русский перевод "Ключа арифметики" и "Трактата об окружности" Джемшида ал-Каши (ум. ок. 1430), руководителя астрономической обсерватории в Самарканде, основанной правителем Самарканда Улугбеком (1394-1449), внуком Тимура.

В 1956 г. я издал в Москве сборник русских переводов этих трактатов ал-Каши с факсимиле рукописей. Этот сборник содержал также изложение Мирима Челеби (ум.1525) трактата ал-Каши об определении синуса 1о.

В Самарканде учился турецкий астроном и математик Кази-заде ар- Руми (1360-1437). Тимур поручил ему воспитание своего внука Улугбека. Ар-Руми привил своему ученику любовь к астрономии и математике.

Когда Улугбек стал правителем Самарканда, он организовал там обсерваторию по образцу Марагинской, и пригласил туда из Ирана ал­Каши.

В этой обсерватории были подготовлены "Астрономические таблицы Улугбека", в работе над которыми участвовали, кроме самого Улугбека, ал-Каши, ар-Руми и ученик Улугбека Али Кушчи (ум.1474).

Слово "кушчи" означает "сокольничий", это имя указывает на то, что первоначально ал-Кушчи был сокольничим Улугбека, любившего соколиную охоту, а затем стал под руководством Улугбека изучать астрономию и математику.

Ал-Каши и ар-Руми умерли до окончания работы над "Астрономическими таблицами Улугбека", и эти таблицы были закончены ал-Кушчи.

В 1449 г. Улугбек был убит, а его обсерватория разгромлена. В настоящее время сохранились только остатки главного инструмента обсерватории - секстанта, я видел их, когда был в Самарканде.

Ал-Кушчи, взяв с собой наиболее ценные книги из библиотеки обсерватории, уехал из Самарканда и после взятия турками Константинополя приехал в этот город, который турки назвали Стамбулом. Ал-Кушчи стал директором медресе при мечети Айя София, в которую был превращен константинопольский храм Святой Софии. Упоминавшийся выше Мирим Челеби, сын дочери ал-Кушчи и сына ар-Руми, был известным турецким астрономом.

"Ключ арифметики" - главный труд ал-Каши, состоит из 5 книг: 1) об арифметике целых чисел, 2) об арифметике дробей, 3) об "арифметике астрономов", т.е.об арифметике шестидесятеричных дробей, 4) о геометрии и 5) об алгебре.

В I книге ал-Каши, следуя ат-Туси, изложил извлечение корней любой натуральной степени из любого натурального числа и формулу бинома Ньютона для любого натурального показателя степени. В отличие от ат- Туси, который производил арифметические действия на доске, покрытой пылью, ал-Каши излагал выполнение арифметических действий на бумаге.

В III книге ал-Каши распространил шестидесятеричную позиционную систему с дробей на натуральные числа. Шестидесятеричными дробями, следуя Птолемею, пользовались астрономы средневекового Востока. Ал-Каши также распространил десятичную позиционную систему с натуральных чисел на дроби, т.е. ввел десятичные дроби.

В IV книге ал-Каши привел таблицу удельных весов различных веществ, а также поместил архитектурную главу.

В V книге ал-Каши привел цифры сияка, которыми пользовались купцы.

"Трактат об окружности" aл-Каши был посвящен вычислению приближенного значения числа п с максимальной практически необходимой точностью. Ал-Каши рассмотрел окружность с радиусом равным радиусу сферы неподвижных звезд и за приближенную величину ее длины принял среднее арифметическое между периметрами вписанного и описанного правильных N-угольников, где число N должно быть таким, чтобы разность между этими периметрами была бы меньше толщины конского волоса. Ал-Каши подсчитал, что N = 3.228. Вычисления ал-Каши производил в шестидесятеричных дробях, но результат выразил также и в десятичных дробях. Полученное им приближенное значение п имало 17 верных десятичных знаков.

В трактате об определении синуса 1о ал-Каши решал задачу необходимую для составления таблицы синусов в "Астрономических таблицах Улугбека". Для этого он решал кубическое уравнение 4x3+q =3x, где q = sin 3о и х = sin 1о. Так как sin 1о - небольшая величина, ее куб еще меньше, за 1-е приближение ал-Каши принимает x1=q/3, 2-е приближение - x2=(q+4x13)/3, 3-е приближение - x 3=(q+4x23)/3 и т.д.

Этой же проблеме был посвящен трактат самого Улугбека, который я перевел и опубликовал в ИМИ в1960 г. Мы получили ксерокопию списка каирской арабской рукописи этого трактата из Берлина. Рукопись была анонимная. Другая анонимная арабская рукопись того же трактата имеется в Стамбуле и турецкий историк науки Салех Зеки опубликовал ее краткое изложение в своей книге "Оставшиеся следы". Он считал, автором этого трактата ар-Руми на основании сообщения Мирима Челеби о том, что его дед ар-Руми написал трактат об этой проблеме. Поэтому мы также считали автором этого трактата ар-Руми.

В выяснении авторства этого трактата важную роль сыграл узбекский академик Ташмухаммед Ниязович Кары-Ниязов, автор книги "Астрономическая школа Улугбека". Я часто спорил с ним на тему, был ли сам Улугбек ученым, или только покровителем наук. Однажды мы встретились с ним в Институте востоковедения Академии наук Узбекистана. "Сейчас я вам докажу, что Улугбек сам был автором научных трактатов" - сказал Кары-Ниязов мне и попросил рукопись комментариев ал-Бирджанди к "Астрономическим таблицам Улугбека". Получив рукопись, он показал мне слова ал-Бирджанди о том, что об определении синуса одного градуса были написаны два трактата, один - "султаном геометром" ал-Каши, а другой - "султаном-мучеником" Улугбеком. Далее ал-Бирджанди подробно описал содержание анонимного трактата. Что же касается трактата ал-Руми, описанного его внуком, то он был написан на персидском языке. Сопоставив все это, мы с А.Ахмедовым опубликовали в 1975 г. в Ташкенте статью о том, что автором анонимного трактата был не ар-Руми, а Улугбек. В 1976 г. я поместил в "Хрестоматии по истории математики" важнейшую часть этого трактата, указав, что его автором был Улугбек Об этом я и Ахмедов сделали доклад на симпозиуме в Стамбуле в 1994 г., этот доклад был опубликованный в 2000 г.

В главе "Пенсильвания"я подробно описал историю публикации английского перевода математического трактата Улугбека с его арабским текстом в статье, написанной мной вмесе с Я.П.Хогендайком.

В 2000 г. в родном городе ал-Каши Кашане состоялся международный конгресс, повященный 600-летию ал-Каши. На этом конгрессе М.М.Рожанская прочла мой доклад о трактатах ал-Каши и Улугбека об определении синуса 1о.

Гипергеометрические названия степеней в Европе

Выше я упоминал, что названия степеней в "Арифметике" Диофанта были аддитивные, т.е.квадрато-кубом он называл 5-ю степень (5=2+3).

Такие же названия степеней применяли ат-Туси, ал-Каши и другие математики, писавшие на арабском языке.

Однако индийские математики применяли более сложную систему названий степеней: для тех степеней, которые можно представить как произведения чисел 2 и 3, они пользовались мультипликативными названиями, т.е. называли квадрато-кубом не 5-ю, а 6-ю степень (2.3=6), но для тех степеней, которые нельзя представить в виде произведений чисел 2 и 3, они пользовались аддитивными названиями с добавлением специального термина, указывающего, что это название аддитивное.

Французский историк науки Поль Таннери обнаружил один случай применения мультипликативных названий у греков - он нашел текст современника Диофанта александрийского христианского епископа Анатолия, который называл 5-ю степень первым невыразимым (protos alo- gos), 6-ю степень квадрато-кубом, а 7-ю степень - вторым невыразимым (deuteros alogos).

Текст, обнаруженный Таннери, позволил мне проанализировать названия степеней у итальянских и немецких алгебраистов эпохи Возрождения. Итальянский математик Лука Пачоли (1454-1514) в своей книге "Сумма [знаний] по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" называл квадрат censо, куб - cubo, 4-ю степень - censo de censo, 5-ю степень - primo relato, 6-ю степень -censo de cubo, 7-ю степень - secondo relato и т.д.

Джироламо Кардано (1501-1576) в своем "Великом искусстве алгебраических правил" пользовался аналогичными латинскими названиями, вместо слова relato он писал relatum. Я в статьях и в книге "История математики с древнейших времен" объяснял эти термины как искаженные переводы термина alogos. Это слово можно перевести не только как "невыразимое", но и как "не-отношение". По-видимому, первоначально это слово было переведено в его втором значении словами irrelato и irrelatum, которые впоследствии потеряли приставку ir-.

От итальянских алгебраистов, которые, следуя арабам, называли неизвестную величину "вещью" (cosa), aлгебра попала в Германию, где ее стали называть Coss - от итальянского слова cosa, поэтому немецких алгебраистов той эпохи называют коссистами. Как и итальянские алгебраисты, коссисты пользовались мультипликативной системой названий степеней. Они называли неизвестную величину Res ("вещь" на латыни), квадрат - Zensus, куб - Cubus, 4-ю степень - Zеnsus Zensi, 5-ю - Sursolidum, 6-ю Zensus Cubi, 7-ю - Bissursolidum и далее все "невыразимые" степни - словом sursolidum с добавлением сокращений латинских числительных ter-, quadr-, quint- и т. д. Слово sursolidum первоначально имело вид surdesolidum, от латинских слов surdus - "глухой", которым часто переводили греческое слово alogos (в частности, для обозначения иррациональных величин и чисел), слово solidum - "тело" появилось, по-видимому, по аналогии со словом "куб". Впоследствии слово sursolidum стали понимать как "сверхтело" и в латинских текстах заменять его словом supersolidum.