Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Название: Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
• Автор: Джон Дербишир
• Издательство: Астрель: CORPUS
• Жанр: Математика
• Год: 2010
• ISBN: 978-5-271-25422-2

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

---

Этим математиком был Эдмунд Ландау; он был на семь дней младше Харди. Ландау был феноменом, который встречается не так часто: выходец из богатой семьи, он тем не менее выбрал совершенно не прибыльную сферу деятельности и добился в ней больших успехов — придерживаясь при этом высочайших стандартов трудовой этики. Его мать Йоханна, урожденная Якоби, происходила из богатой семьи банкиров, а отец был успешным профессором гинекологии в Берлине, имевшим прекрасную практику. Кроме того, Ландау-старший активно поддерживал идеи еврейского движения. Их дом располагался в наиболее фешенебельном берлинском квартале по адресу Pariser Platz 6а, недалеко от Бранденбургских ворот. Эдмунд Ландау стал профессором в Геттингене в 1909 году. Когда люди спрашивали, как найти дорогу к его дому, он отвечал: «Вы его не пропустите. Это самый элегантный дом в городе». Как и отец (и как Жак Адамар), он проявлял интерес к сионизму, способствовал организации Еврейского университета в Иерусалиме и прочитал там (на иврите) первую лекцию по математике вскоре после открытия университета в апреле 1925 года.

Ландау был незаурядной личностью — а это было великое время для незаурядных личностей от математики, — и апокрифов о нем имеется не меньше, чем о Гильберте и Харди. Наверное, самый известный анекдот — его замечание об Эмми Нетер, которая была его коллегой по Геттингену. Нетер была мужеподобна манерами и фигурой. Когда Ландау спросили, не являет ли она собой пример великого математика-женщины, он ответил: «Я твердо заявляю, что Эмми — великий математик; но насчет женственности не поручусь». Его трудовая дисциплина вошла в легенду. Рассказывают, что, когда один из его ассистентов лежал в больнице, поправляясь после серьезной болезни, Ландау забрался по лестнице к окну, которое вело к несчастному, и пропихнул через него толстенную папку с работой. Литлвуд говорил о нем: «Он просто не знал, что такое чувствовать себя усталым». Харди добавляет, что Ландау работал каждый день с семи утра до полуночи.

Ландау был одаренным и увлеченным преподавателем и необычайно продуктивным математиком. Он написал более 250 статей и 7 книг. Его роль в нашей истории определяется первой из них — классическим трудом по теории чисел, опубликованным в 1909 году. Это та книга, о которой говорит Литлвуд в отрывке, приведенном в самом начале этой главы: «Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» Полное название книги было Handbuch der Lehre van der Verteilung der Primzahlen — «Учебник по теории распределения простых чисел». Теоретико-числовики обычно называют ее просто Handbuch.[129] В двух томах этой книги, каждый из которых состоит более чем из 500 страниц, собрано все, что было в тот момент известно о распределении простых чисел; изложение построено с сильным акцентом в сторону аналитической теории чисел. Гипотеза Римана сформулирована на странице 33. Handbuch была не первой книгой по аналитической теории чисел — Пауль Бахманн опубликовал такую книгу в 1894 году, — однако очень подробное и систематическое изложение в книге Ландау сделало весь предмет более ясным и привлекательным, и эта книга немедленно стала стандартом в этой области.

Мне кажется, что Handbuch Ландау не переводился на английский. Специалист по теории чисел Хью Монтгомери (он будет главным действующим лицом в главе 18) выучил немецкий по мере того, как трудился над чтением Handbuch, держа один палец на раскрытом словаре. Он рассказывает следующее. Первые 50 с чем-то страниц посвящены историческому обзору, разбитому на разделы, каждый из которых озаглавлен по имени великого математика, внесшего главный вклад в данную область: Эвклид, Лежандр, Дирихле и т.д. Последние четыре раздела озаглавлены Hadamard, Von Mangoldt, De la Vallée Poussin, Verfasser. На Хью произвел большое впечатление вклад, который внес в науку Verfasser, но он недоумевал, почему же раньше ему не приходились слышать об этом замечательном математике. Лишь некоторое время спустя он узнал, что Verfasser по-немецки означает «автор» (обычные существительные в немецком пишутся с заглавной буквы).

V.

«Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» И Харди, и Литлвуд наверняка прочитали ее, как только она вышла. Вот слова Харди из некролога Ландау, написанного им (совместно с Хансом Хайльбронном) для Лондонского математического общества:

Handbuch, вероятно, была самой важной из написанных им книг. В ней аналитическая теория чисел впервые представлена не как собрание нескольких прекрасных разрозненных теорем, а как систематическая наука. Появление этой книги изменило сам предмет, до того представлявший собой нетронутый уголок для нескольких безрассудных смельчаков, превратив его в плодороднейшее поле для исследований, каким он и оставался в течение прошедших с тех пор трех десятилетий. Почти по всем рассматриваемым там вопросам сейчас получено новое знание, в силу чего написанное в книге устарело, и в этом-то и состоит ее величайшая роль.

Без сомнения, именно из Handbuch и Харди, и Литлвуд заразились навязчивой идеей Гипотезы Римана. Первые плоды последовали в 1914 году, но не в виде совместной работы, хотя они и сотрудничали в то время, а в виде двух отдельных статей, каждая из которых сыграла значительную роль.

Статья Харди под названием Sur lez zéros de la fonction ζ(s) de Riemann[130] вышла в Comptes Rendus Парижской академии наук. В ней он доказал первый важный результат о распределении нетривиальных нулей.

Результат Харди 1914 года

Бесконечно много нетривиальных нулей дзета-функции удовлетворяют Гипотезе Римана (т.е. имеют вещественную часть одна вторая).

Хотя это и был значительный шаг вперед, для читателя важно понимать, что это не решило вопроса с Гипотезой. Имеется бесконечно много нетривиальных нулей; Харди доказал, что бесконечно много из них имеют вещественную часть одна вторая. Тем самым остаются открытыми три возможности.

• Бесконечно много нулей не имеют вещественную часть одна вторая.

• Лишь конечное число нулей не имеет вещественной части одна вторая.

• Нет нулей, вещественная часть которых не равна одной второй, — утверждение Гипотезы!

Чтобы провести аналогию, рассмотрим следующие утверждения о четных числах, превосходящих двойку, т.е. 4, 6, 8, 10, 12, …

• Бесконечно много этих чисел делится на 3; бесконечно много не делится.

• Бесконечно много из них больше чем 11; только четыре числа не больше.

• Бесконечно много из них представимы в виде суммы двух простых; нет таких, которые не представимы — гипотеза Гольдбаха (которая все еще не доказана на момент написания книги).

Статья Литлвуда, также опубликованная в Comptes Rendus Парижской академии наук в том же году, называлась Sur la distribution des nombres premiers. В ней доказан результат столь же тонкий и столь же замечательный, как результат Харди, хотя и относящийся к несколько другому направлению исследований в данной области. Обсуждение этого результата требует небольшой преамбулы.

VI.

Мы уже отмечали, что в начале XX века наблюдалось следующее общее направление мыслей по поводу Гипотезы Римана. Теорема о распределении простых чисел (ТРПЧ) была доказана. С математической точностью было установлено, что действительно π(x) ~ Li(x) — или, словами, что относительная разность между π(x) и Li(x) уменьшается до нуля по мере того, как x делается все больше и больше. Так что же тогда можно утверждать об этой разности — т.е. об остаточном члене? Именно при внимательном рассмотрении остаточного члена математики обратили свои взоры к Гипотезе Римана, поскольку в работе Римана 1859 года для остаточного члена было приведено точное выражение. Как будет показано в должном месте, это выражение включает в себя все нетривиальные нули дзета-функции, так что ключ к пониманию остаточного члена каким-то образом скрыт среди этих нулей.

Чтобы говорить более конкретно, я приведу некоторые реальные значения остаточного члена. В таблице 14.1 «абсолютн.» означает разность Li(x) − π(x), а «относит.» означает это же число, отнесенное к (т.е. деленное на) π(x).

Таблица 14.1.

Мы видим, что относительная ошибка, без сомнения, уменьшается, стремясь к нулю, как ей и предписывает ТРПЧ. Это происходит потому что, хотя абсолютная ошибка тоже растет, она делает это далеко не так быстро, как π(x).

Пытливый математический ум сейчас спросит: «А как именно ведут себя эти два числа?» Имеются ли правила, описывающие медленный рост абсолютной ошибки или стремление относительной ошибки к нулю? Другими словами, если выкинуть из таблицы 14.1 вторую и четвертую колонки и рассмотреть получившуюся двухколоночную таблицу как «моментальный снимок» некоторой функции (колонки аргумент-значение), то что это будет за функция? Можно ли для нее получить формулу с волнами, как это было сделано для π(x)?