Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

И тем не менее десятилетия спустя, когда математика значительно расширила свои границы, многие ученые продолжали использовать аксиому выбора. Не утихали и споры по поводу того, можно ли считать аксиому выбора и доказываемые с ее помощью теоремы законной, вполне приемлемой математикой.{104} Аксиома выбора стала предметом активного обсуждения и уступала в этом отношении лишь аксиоме Евклида о параллельных. По замечанию Лебега, оппонентам не оставалось ничего другого, как поносить друг друга, ибо прийти к соглашению они не могли. Сам Лебег, несмотря на отрицательное и скептическое отношение к аксиоме выбора, все же пользовался ею, по его собственному выражению, «дерзко и осторожно», полагая, что будущее покажет, кто прав.

Но в первые же годы XX в. математиков стала беспокоить еще одна проблема. Сначала она не представлялась достаточно фундаментальной, но по мере распространения канторовской теории трансфинитных кардинальных и ординальных чисел становилась все более острой и настоятельно требовала своего решения.

В своих последних работах Кантор построил теорию трансфинитных кардинальных чисел на основе теории ординальных чисел. Например, кардинальное число множества всех возможных конечных множеств (точнее, множество всех конечных ординальных чисел) равно N0. Кардинальное число всех возможных множеств ординальных чисел, содержащих лишь считанное число (N0) элементов, равно N1. Продолжая эту последовательность, Кантор получал все большие кардинальные числа, которые обозначил N0, N1, N2, …. Кроме того, каждое очередное кардинальное число непосредственно следовало за предыдущим (было ближайшим к предыдущему кардинальным числом). Но в самом начале своих работ по трансфинитным числам Кантор показал, что множество всех вещественных чисел насчитывает 2N0 членов (эту величину принято кратко обозначать c) и что 2N0 больше, чем N0. Вопрос, который тогда же поставил Кантор, заключался в следующем: с каким членом последовательности алефов совпадает c? Так как кардинальное число N1 следует непосредственно за N0, кардинальное число c больше или равно N1. Кантор высказал предположение, что c = N1. Это предположение, впервые сформулированное в 1884 г. и опубликованное в том же году, получило название гипотезы континуума.{105} Эта гипотеза допускает также другую, несколько более простую формулировку: не существует трансфинитного числа, заключенного между N0 и c (кардинальное число любого бесконечного подмножества множества вещественных чисел либо равно N0, либо равно с).{106} В первые десятилетия XX в. вокруг гипотезы континуума развернулась бурная дискуссия, но проблема так и не была решена. Помимо того что гипотеза континуума дала возможность доказать новые теоремы, она приобрела особое значение, так как позволила глубже понять бесконечные множества, взаимно-однозначное соответствие и аксиому выбора и тем самым способствовала лучшему обоснованию теории множеств.

Итак, в начале XX в. перед математиками встало несколько трудных проблем. Требовалось устранить уже обнаруженные противоречия. Но еще более важным представлялось доказать непротиворечивость всей математики, ибо без этого нельзя было гарантировать, что в будущем не возникнут новые противоречия. Все эти проблемы имели решающее значение для судеб математики. Многие ученые продолжали считать неприемлемой аксиому выбора и ставили под сомнение доказанные на ее основе теоремы. «Нельзя ли доказать те же теоремы, исходя из более приемлемой аксиомы, и полностью отказаться от аксиомы выбора?» — этот вопрос беспокоил умы. Необходимо было также доказать или опровергнуть гипотезу континуума, важность которой по мере развития математики становилась все более очевидной.

Проблемы, с которыми столкнулись математики в начале XX в., были весьма серьезными, однако при других обстоятельствах они вряд ли вызвали бы столь сильные потрясения. Правда, противоречия в любом случае пришлось бы разрешать, но выявленные к началу XX в. противоречия относились к теории множеств — новому разделу математики, и математиков не оставляла надежда, что в свое время его удастся строго обосновать. Что же касается опасений обнаружить в классической математике новые противоречия, возможно связанные с использованием непредикативных определений, то к началу XX в. проблему непротиворечивости удалось свести к проблеме непротиворечивости арифметики, а то, что арифметика непротиворечива, ни у кого не вызывало сомнений. Вещественные числа находились в обращении более пяти тысяч лет, и относительно их было доказано огромное число теорем; при этом никаких противоречий никогда обнаружено не было. То обстоятельство, что какая-то аксиома, в данном случае аксиома выбора, использовалась неявно и что ее продолжали применять, подавляющее большинство математиков не беспокоило. Движение за аксиоматизацию, развернувшееся в конце XIX в., обнаружило, что многие аксиомы использовались неявно. Гипотеза континуума была в то время не более чем деталью теории Кантора, а некоторые математики целиком отвергали канторовскую теорию множеств. Математикам приходилось сталкиваться и с гораздо более серьезными трудностями, но они никогда не теряли присутствия духа. Например, в XVIII в., полностью сознавая принципиальный характер трудностей, возникших при попытках обосновать математический анализ, математики тем не менее продолжали создавать на основе дифференциального и интегрального исчисления новые обширные разделы математики и лишь впоследствии подвели под свои построения прочный фундамент, в основе которого лежало понятие числа.

Проблемы теории множеств можно было бы сравнить с запалом, который приводит к воспламенению заряда, вызывающего взрыв бомбы. Некоторые все еще верили, что математика представляет собой свод незыблемых истин. Они надеялись доказать это, и Фреге предпринял попытку осуществить подобные намерения. Кроме того, возражения против аксиомы выбора были вызваны не только тем, что утверждает сама аксиома. Математики, в частности Кантор, вводили все новые абстрактные понятия, обладавшие, по их утверждениям, той же степенью достоверности, какой обладает, например, понятие треугольника. Другие отвергали абстрактные понятия, считая их далекими от реальности и потому неспособными нести сколько-нибудь полезную нагрузку. Дискуссия по поводу теории множеств Кантора, аксиомы выбора и аналогичных понятий свелась к основному вопросу: в каком смысле можно утверждать, что математические понятия существуют? Должны ли они соответствовать реальным физическим объектам, являясь их идеализацией? Эту проблему рассматривал еще Аристотель. Он, как и большинство греческих мыслителей, считал, что математические понятия непременно должны иметь реальные прототипы. Именно из-за отсутствия физических реализаций Аристотель отвергал и существование бесконечного множества как «готовой» совокупности элементов и правильный семиугольник, который не удавалось построить циркулем и линейкой, что заставляло античных математиков считать его «непостроимым», т.е. в определенном смысле «не существующим». С другой стороны, последователи Платона — а Кантор был одним из них — полагали, что идеи существуют в некоем объективном «мире идей» и не зависят от человека. Человек лишь открывает эти идеи.

Другой гранью проблемы существования был смысл доказательств существования. Например, Гаусс доказал, что любое алгебраическое уравнение n-й степени с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один (комплексный, а может, и вещественный) корень. Но из приведенного Гауссом доказательства не было ясно, каким образом можно вычислить этот корень. Аналогично Кантор доказал, что вещественных чисел больше, чем алгебраических (корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами). Следовательно, должны существовать трансцендентные иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими. Но такое доказательство существования не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Некоторые математики начала XX в. (Борель, Бэр, Лебег) считали чистые доказательства существования бессмысленными. По их мнению, доказательство существования должно позволять математикам вычислять существующие величины с любой степенью точности. Такие доказательства существования получили название конструктивных.

Некоторых математиков беспокоило еще одно обстоятельство. Аксиоматизация математики была осуществлена как формальный ответ на интуитивное принятие многих очевидных фактов. Правда, аксиоматизация помогла избавиться от противоречий и неясностей, в частности в математическом анализе. Но сторонники аксиоматизации настаивали также на явных определениях, формулировках аксиом и доказательствах того, что было очевидно на интуитивном уровне — настолько очевидно, что прежде никто даже не осознавал, в какой мере те или иные рассуждения опираются на интуицию (гл. VIII). Возникшие в результате аксиоматизации дедуктивные построения оказались весьма сложными и громоздкими. Так, построение теории рациональных и в особенности иррациональных чисел на основе аксиоматики целых чисел изобиловало множеством деталей и отличалось большой сложностью. Все это вызывало тягостное чувство у некоторых математиков, в частности у Леопольда Кронекера (1823-1891), считавшего все эти новомодные теории излишне сложными и искусственными. Кронекер первым из выдающихся математиков своего времени пришел к заключению, что с помощью логических средств невозможно создать разумную теорию, выходящую за рамки интуиции, подсказываемой здравым смыслом.