Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Обычно в подтверждение того, что Гаусс, якобы, отдавал предпочтение чистой математике, приводят его знаменитое высказывание: «Математика — царица всех наук, арифметика — царица математики. Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, останется за ней». Однако вся научная деятельность Гаусса свидетельствует об обратном, и, возможно, это нехарактерное для Гаусса высказывание, должно быть, вырвалось у него под влиянием минуты. Подлинный же девиз всей его деятельности такой: «Ты, природа, моя богиня, твоим законам я преданно служу». По иронии судьбы именно необычайно тщательный подход Гаусса ко всему, что касалось согласованности математики с природой, привел — через его работы по неевклидовой геометрии — к глубоким и драматическим последствиям, подорвав веру Гаусса в истинность математических законов. В целом же по поводу математики до начала XX в. можно сказать, что хотя чистая математика уже и существовала, не было ни одного чистого математика.

Несколько событий в корне изменили отношение математиков к их собственной науке. Первым в ряду таких событий стало осознание того, что математика не является более сводом незыблемых истин о природе (гл. IV). Гаусс отчетливо показал это на примере геометрии, а появление кватернионов и матриц с их некоммутативным умножением ускорило понимание того, что даже обычная арифметика целых чисел не может рассматриваться как априорное знание — обстоятельство, которое Гельмгольц довел до сведения всего математического мира. Хотя это открытие не поставило под сомнение приложимость математики к описанию реального мира, но все же оправданием усилий математиков более не могла считаться надежда на отыскание абсолютной истины или единого закона всего сущего.

Столь выдающиеся достижения математической мысли, как неевклидова геометрия и кватернионы, казалось, явно не согласуются с природой, хотя их создатели и исходили из физических соображений.{153} Тем не менее и неевклидова геометрия, и кватернионы, как выяснилось впоследствии, вполне применимы к описанию реального мира. Осознание того, что творения человеческого ума, равно как и все понятия, традиционно считавшиеся внутренне присущими «плану мироздания», весьма пригодны для описания природы, вскоре привело к развитию совершенно нового подхода к математике. Почему это не может случиться с творениями человеческого разума и в будущем? Многие математики пришли к выводу, что заниматься решением проблем, так или иначе связанных с реальным миром, совершенно не обязательно: ведь и математика как свод идей, зародившихся в человеческом разуме, рано или поздно непременно окажется полезной. Более того, чистое мышление, не стесняемое необходимостью следовать за физическими явлениями, обретает большую свободу и соответственно продвигается дальше. Человеческое воображение, не знающее оков, создает более мощные теории, которые способствуют более глубокому пониманию реального мира и овладению природой.

Были и другие причины, побудившие математиков отойти от изучения реального мира. Широкий размах математических и естественнонаучных исследований не позволял ученым чувствовать себя одинаково свободно и в математике, и в естественных науках. Стоящие перед естествознанием проблемы, подобные тем, в решении которых ранее неизменно принимали участие великие математики, ныне становились все более сложными. Так почему бы, решили математики, не ограничить свою деятельность рамками чистой математики и тем не облегчить себе работу?

Существовала еще одна причина, вынудившая многих математиков обратиться к проблемам чистой математики. Естественнонаучные проблемы редко удается решить окончательно раз и навсегда. Обычно ученые получают все лучшее приближение, но отнюдь не полное решение задачи. Основные научные проблемы, например проблема трех тел, т.е. описания движения трех тел (скажем, Солнца, Земли и Луны), каждое из которых притягивает два других тела, по-прежнему остаются нерешенными. Как заметил Фрэнсис Бэкон, изощренность природы неизмеримо превосходит человеческую мудрость. А чистая математика, напротив, дает нам примеры четко поставленных проблем, допускающих полное решение. Для человеческого разума такие четко поставленные и до конца решаемые проблемы обладают особой привлекательностью в отличие от проблем недосягаемой глубины и неисчерпаемой сложности. Немногие проблемы, устоявшие перед натиском математиков нескольких поколений (например, гипотеза Гольдбаха), формулируются подкупающе просто.

Говоря о мотивах, побуждающих обращаться к проблемам чистой математики, нельзя не упомянуть о давлении, оказываемом на математиков со стороны тех учреждений, где они работают, например университетов, — требовании публиковать результаты своих исследований. Поскольку для решения прикладных проблем необходимы обширные познания по крайней мере в одной из естественных наук и в математике, а нерешенные проблемы по трудности превосходят чисто математические, гораздо легче придумывать свои собственные задачи и решать то, что возможно решить. Профессора не только сами выбирают проблемы, поддающиеся решению, но и предлагают их своим ученикам в качестве тем для диссертаций. При этом профессора во многих случаях действительно могут помочь диссертантам преодолеть любые встречающиеся на их пути трудности.

Назовем несколько направлений, в которых развивается современная чистая математика, — это позволит читателю лучше понять различие между чисто математическими и прикладными проблемами. Одно из таких направлений — абстракция. После того как Гамильтон ввел кватернионы, которые он намеревался применить к решению физических проблем, другие математики поняли возможность существования не одной, а многих алгебр и занялись поиском всех возможных алгебр, не задумываясь над тем, насколько они применимы к описанию реального мира. Это направление математической деятельности процветает и поныне; оно является одним из направлений абстрактной алгебры.

Другое направление чистой математики — обобщение. Конические сечения (эллипс, парабола и гипербола) описываются алгебраическими уравнениями второй степени. В приложениях встречаются также кривые, описываемые уравнениями третьей степени. Обобщение позволяет перепрыгнуть сразу к кривым, описываемым алгебраическими уравнениями n-й степени, и подробно изучить их свойства, хотя такие кривые вряд ли могут помочь нам при описании явлений природы.

Обобщение и абстракция, предпринятые с единственной целью — написать очередную статью для «отчета», как правило, не представляют ценности с точки зрения приложений.{154} Подавляющее большинство работ такого рода посвящено переформулировке на более общем и более абстрактном языке с использованием новой терминологии того, что было известно и раньше, но излагалось на более простом и частном языке. Что же касается приложений математики, то здесь такая переформулировка не дает ни более мощного метода, ни более глубокого понимания. Распространение новомодной терминологии, как правило искусственной и не связанной с какими-либо физическими идеями, хотя и направленной якобы на модернизацию идей, заведомо не способствует более эффективному применению математики, а, наоборот, затрудняет его. Это новый язык, но не новая математика.

Третье направление, избираемое чистой математикой, — специализация. Еще Евклид ставил и решал вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел. Теперь «естественно» спросить, существует ли простое число среди любых семи последовательных целых чисел. Пифагорейцы ввели понятие дружественных чисел. Два числа называются дружественными, если сумма делителей одного числа равна другому числу. Например, 284 и 220 — дружественные числа. Один из лучших специалистов по теории чисел Леонард Диксон предложил задачу о дружественных тройках чисел. «Мы будем говорить, что три числа образуют дружественную тройку, если сумма собственных делителей каждого числа равна сумме двух других чисел», — писал Диксон и поставил задачу об отыскании таких троек. Другой пример подобного рода относится к так называемым степенным числам. Условимся называть натуральное число n степенным, если из того, что n делится на простое число p, следует, что оно делится и на p2 (другими словами, если в «каноническом» разложении n = р1α1∙р2α2∙…∙pkαk числа n на простые множители все показатели степени α1, α2, …, αk ≥ 2). Существуют ли положительные целые числа (отличные от 1 и 4), представимые бесконечно многими способами в виде разности двух взаимно-простых степенных чисел?