Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Мы уже рассказывали (гл. I-IV) о нескончаемых усилиях, которые с античных времен предпринимало человечество, чтобы выведать у природы ее «математические тайны». Столь высокая приверженность изучению природы отнюдь не ограничивала прикладную математику решением лишь физических проблем. Великие математики нередко выходили за рамки тех проблем, которые стояли перед естествознанием их времени. А поскольку они действительно были великими и полностью сознавали традиционную роль своей науки, им удавалось наметить направления исследований, которые оказывались немаловажными для теоретического естествознания или проливали свет на понятия, уже применявшиеся для исследования природы. Так, Пуанкаре, многие годы посвятивший астрономии (его перу принадлежит фундаментальный трехтомный труд «Новые методы небесной механики»), считал необходимым разрабатывать те вопросы теории дифференциальных уравнений, которые могли способствовать дальнейшему развитию астрономии.

Некоторые математические работы дополняли или завершали исследования, полезность которых была установлена ранее и ни у кого не вызывала сомнений. Так, совершенно очевидно, что если дифференциальные уравнения одного и того же типа неоднократно встречаются в приложениях, то разумно изучить дифференциальное уравнение общего вида, охватывающее все частные случаи. Это позволяет разработать более удобный или отличающийся большей общностью метод решения, а также получить наибольшее количество сведений о всем классе решений. Одна из отличительных особенностей математики, ее абстрактность, позволяет описывать на математическом языке самые различные физические явления. Так, волны на воде, звуковые и радиоволны математика описывает одним и тем же дифференциальным уравнением, известным под названием волнового уравнения. Те дополнительные сведения, которые математик обнаруживает, исследуя волновое уравнение (впервые выведенное при изучении звуковых волн), могли оказаться (и действительно оказывались) весьма полезными при решении, например, некоторых задач из теории радиоволн. Распознавание за внешне различными явлениями тождественных математических структур позволяет упрочить и понять многообразие теоретических построений, вызванных к жизни проблемами познания реального мира, и установить общую абстрактную основу описания таких явлений.

Доказательство теорем существования решений дифференциальных уравнений, впервые предпринятое Коши, должно было отмести все сомнения в том, что физические проблемы, сформулированные на языке математики, допускают решение, и тем самым вселить уверенность в том, что поиск этих решений будет не напрасным. Так чисто математические работы, посвященные доказательству теорем существования, облекались физической плотью. Стимулом для работ Кантора по теории бесконечных множеств, породивших обширную литературу, было стремление ответить на некоторые вопросы теории бесконечных рядов — так называемых рядов Фурье{151}, которые широко использовались в разного рода приложениях.

Развитие математики приводило к постановке и настоятельному поиску решения проблем, не связанных непосредственно с проблемами естествознания. Так, в XIX в. (гл. VIII) математики поняли, что определения многих понятий страдают расплывчатостью, а в математических рассуждениях и доказательствах немало пробелов. Движение за математическую строгость, принявшее необычайно широкий размах, не ставило целью решение каких бы то ни было естественнонаучных проблем, как не преследовали такой цели и позднее возникшие различные школы, пытавшиеся перестроить основания математики. И все же гигантская работа по перестройке оснований математики, производимая в интересах самой этой науки, несомненно, явилась откликом на насущные проблемы не только чистой, но и прикладной математики.

Многие чисто математические работы дополняют и подкрепляют своими результатами старые, хорошо разработанные области математики или способствуют открытию новых направлений, которые обещают стать важными для различных приложений. Такого рода работы можно рассматривать как прикладную математику в самом широком смысле.

Но разве сто лет назад и ранее, спросит читатель, не было математики, созданной лишь ради нее самой, безотносительно к каким бы то ни было приложениям? Разумеется, была. Великолепный примером чистой математики может служить теория чисел. Хотя пифагорейцы считали, что, изучая целые числа, они постигают сокровенные тайны внутреннего строения материальных объектов (гл. I), впоследствии теория чисел стала совершенно самостоятельной наукой. Одним из первых математиков, изучавших числа «сами по себе», был Ферма. Начало проективной геометрии положили художники эпохи Возрождения, стремившиеся к реализму в живописи, а Жирар Дезарг и Блез Паскаль превратили проективную геометрию в последовательный метод получения новых результатов евклидовой геометрии. Но в XVIII в. работы Дезарга и Паскаля были забыты, а когда в XIX в. математики вновь обратились к проективной геометрии, они занимались ей главным образом из чисто эстетических побуждений, хотя от внимания наиболее проницательных геометров не ускользнули важные связи между проективной и неевклидовой геометриями. Многие проблемы были решены сами по себе только потому, что они заинтересовали кого-то из математиков и тем захотелось испытать свои силы.

Чистая математика, полностью оторванная от запросов естествознания, никогда не находилась в центре забот и интересов математиков. Ей отводилась роль своего рода забавы, отдохновения от гораздо более важных и увлекательных проблем, выдвигаемых естественными науками. Так, создатель теории чисел Ферма большую часть своего времени отдавал разработке аналитической геометрии, решению различных задач математического анализа и оптики (гл. VI). Он попытался заинтересовать теорией чисел Паскаля и Гюйгенса, но потерпел неудачу.{152} В XVIII в. столь абстрактная наука, как теория чисел, привлекала лишь очень немногих математиков.

Эйлер, научные интересы которого были весьма разносторонними, не обошел вниманием и теорию чисел. Однако Эйлер был не только величайшим из математиков XVIII в., но и признанным авторитетом в области математической физики. Его работы поражают необычайной широтой: от глубоких математических методов решения физических проблем, например методов решения дифференциальных уравнений, до астрономии, гидродинамики, рационального конструирования судов и парусов, артиллерии, картографии, теории музыкальных инструментов и оптики.

Теорией чисел занимался и Лагранж, но основное время он уделял математическому анализу — области математики, жизненно важной для приложений (гл. III). Его шедевром по праву считается «Аналитическая механика» (Mécanique analitique), посвященная применению математических методов, в механике. В 1777 г. Лагранж пожаловался одному из друзей: «Исследования по теории чисел стоят мне наибольших усилий, но, должно быть, имеют наименьшую ценность». Гаусс также посвятил теории чисел одну из своих величайших работ «Арифметические исследования» (Disquisitiones arithmeticae, 1801), которая по праву считается классической. Тот, кто прочитал только этот труд Гаусса, мог бы подумать, что автор «Арифметических исследований» — чистый математик. Но главной областью его деятельности была прикладная математика (гл. VI). Феликс Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX в.» [98] называет «Арифметические исследования» юношеской работой Гаусса.

Хотя Гаусс в дальнейшем неоднократно возвращался к теории чисел, он явно не считал ее важнейшим разделом математики. Ему нередко предлагали заняться доказательством Великой теоремы Ферма, гласящей, что при n > 2 никакие целые числа x, y и z не удовлетворяют соотношению xn + yn = zn [99]. Но в письме Вильгельму Ольберсу от 21 марта 1816 г. Гаусс заметил, что гипотеза Ферма — это изолированная, ни с чем не связанная теорема и поэтому не представляет особого интереса. Имеется немало гипотез, добавил Гаусс, которые пока не удалось ни доказать, ни опровергнуть, но сильная занятость другими делами не оставляет времени для задач того типа, которые рассмотрены в «Арифметических исследованиях». Гаусс надеялся, что гипотезу Ферма удастся доказать на основе другой выполненной им работы, но и тогда теорема Ферма будет одним из наименее интересных следствий из более общих его результатов.

Обычно в подтверждение того, что Гаусс, якобы, отдавал предпочтение чистой математике, приводят его знаменитое высказывание: «Математика — царица всех наук, арифметика — царица математики. Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, останется за ней». Однако вся научная деятельность Гаусса свидетельствует об обратном, и, возможно, это нехарактерное для Гаусса высказывание, должно быть, вырвалось у него под влиянием минуты. Подлинный же девиз всей его деятельности такой: «Ты, природа, моя богиня, твоим законам я преданно служу». По иронии судьбы именно необычайно тщательный подход Гаусса ко всему, что касалось согласованности математики с природой, привел — через его работы по неевклидовой геометрии — к глубоким и драматическим последствиям, подорвав веру Гаусса в истинность математических законов. В целом же по поводу математики до начала XX в. можно сказать, что хотя чистая математика уже и существовала, не было ни одного чистого математика.