Дионис Бюргер - Сферландия

• Название: Сферландия
• Автор: Дионис Бюргер
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1976

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях.

---

Однажды (я хорошо помню этот вечер) мы сидели по своему обыкновению в семейном кругу, как вдруг кто-то из моих детей спросил, слышали ли мы новость: директора Тригонометрической службы освободили от занимаемой должности. Меня это сообщение удивило. Не имея чести быть лично знакомым с директором, я тем не менее знал его как пунктуального служащего, весьма сведущего в науке и технике, который пользовался к тому же широкой известностью как искусный и точный наблюдатель. Что явилось причиной его внезапного позорного изгнания?

Моя жена высказала предположение, что снятый с поста директор мог питать пристрастие к деньгам (такое иногда случается с самыми высокопоставленными чиновниками), по я не мог поверить, чтобы многоугольник, посвятивший себя науке и получавший огромное жалование, был способен пойти на преступление.

— Мало ли с какими финансовыми затруднениями мог столкнуться директор, — возразила мне жена. — Не исключено, что он потерял много денег на каких-нибудь спекуляциях.

— Может быть, у него расточительная жена, — высказал новое предположение мой сын.

— Или транжира сын, — в пику ему подхватила моя жена.

В то время мы еще ничего не знали об истинных причинах увольнения директора и могли лишь строить догадки.

— А что такое Тригонометрическая служба? — спросил мой старший внук.

— Служба, которая занимается измерением углов треугольников, — пояснил я.

— Я тоже знаю, как это делать, — ответил мой внук. — Ведь, в конце концов, каждый из нас с полным правом может называть себя угломером. У всех, кто встречается мне на улице, я прежде всего измеряю обращенный ко мне угол — прикидываю на глаз его величину. Такая оценка, как известно, оказывается очень точной— то ли от постоянных упражнений, то ли в силу врожденной способности измерять углы. В школе нас также, к сожалению, заставляют заниматься этим более чем скучным делом. А тому, кто умеет измерить утлы, известен и сам треугольник.

— И все же измерение углов необходимо, — возразил я. — Время, потраченное на изучение этого тонкого искусства, нельзя считать потерянным напрасно. Каждый, кто быстро оценивает величину углов, хорошо разбирается в людях!

— Я не спорю, — признал мою правоту внук. — Просто мне хотелось сказать, что в измерении углов нет ничего особенно сложного — оно доступно каждому. Если же нам требуется измерить углы более точно, то их можно ощупать или обратиться в специально созданные для этой цели учреждения, где любому желающему не только измерят с высокой точностью его угол, но и выдадут официальное удостоверение о результатах измерения. И мне никогда не приходилось слышать, чтобы подобными делами занималась Тригонометрическая служба.

— Замечание вполне справедливое, — согласился я. — Тригонометрическая служба учреждена специально для того, чтобы путем измерения треугольников составить точную карту мира. Для этого весь мир был разбит на треугольники (триангулирован, или покрыт триангуляционной сетью), их углы измерены, а длины сторон вычислены.

— Дедушка, — укоризненно воскликнул мой младший внук, — как ты можешь так говорить! Разве можно вычислить длины сторон треугольника, зная лишь его углы?

— Разумеется, нельзя, — успокоил я внука, — в этом ты совершенно прав. Необходимо еще знать длину какой-нибудь из сторон. Тогда, точно измерив углы треугольника, можно вычислить длины остальных сторон.

— Для вычисления всех сторон треугольника достаточно знать длину одной из сторон и величину двух углов. Третий угол вычислить совсем не трудно, поскольку сумма всех углов треугольника равна двум прямым углам, или 180°, — счел необходимым добавить маленький всезнайка.

Я был горд его замечанием. Оно еще раз свидетельствовало о том, что малыш шел но стопам своих предков. Разве не был основатель нашего рода, знаменитый Квадрат, его прапрадедом?

На некоторое время в комнате воцарилась тишина. Каждый размышлял над необычайным происшествием. Первой нарушила молчание моя жена. Она сказала:

— Не понимаю, каким образом в вычислении сторон треугольников директор Тригонометрической службы усмотрел повод для того, чтобы совершить мошенничество. Может быть, директор злоупотребил своим правом выбирать вершины триангуляционной сети? Впрочем, выбор вершин — задача чисто техническая.

— Неизвестно, сколь строго следил директор за тем, как выполняют свои обязанности сотрудники Тригонометрической службы, — вмешалась в разговор жена моего сына, — а здесь-то и могли совершаться различные мошеннические проделки.

— Не будем больше говорить на эту тему, — потребовал я. — Мы ничего достоверно не знаем и лишь теряемся в догадках. Не будем фантазировать.

— Может быть, вскоре нам удастся разузнать какие-нибудь подробности? — предположила моя жена.

— Вполне возможно, — ответил я, не подозревая, сколь близок мой ответ к истине.

16. ВИЗИТ ДОКТОРА ПУНКТО

Однажды я занимался, сидя в своем кабинете. Мой любимый предмет — математика — увлекал меня все больше и больше. В тот вечер я размышлял над одной сложной задачей, когда мне доложили, что меня спрашивает некий господин. Я попросил провести посетителя ко мне в кабинет. Им оказался стройный восьмиугольник, двигавшийся с непринужденным изяществом. Внешность его с первого взгляда располагала к полному доверию и внушала почтение. Велико же было мое удивление, когда посетитель представился доктором Пункто, недавно уволенным со своего поста директора Тригонометрической службы, чья неожиданная отставка вызвала столько кривотолков.

— Возможно, вы догадываетесь, — начал он, — что послужило причиной моего визита.

Что я мог ему ответить? Хотя кое-какие соображения на этот счет и мелькнули у меня в голове, однако высказывать их вслух я считал не вполне удобным: по моим предположениям посетитель пришел просить меня о помощи в связи со своей отставкой. Разве станет кто-нибудь, а тем более разумный и просвещенный восьмиугольник обращаться за советом к шарлатану и прорицателю и разве не был я в глазах широкой публики искушен в черной магии? Разве не считали мои недоброжелатели, что я знаюсь с нечистой силой? Мой посетитель не производил впечатление многоугольника, способного побеспокоить кого-нибудь по пустякам или ради праздной болтовни. Похоже было, что он решил (быть может не без влияния своей жены) прибегнуть к последнему средству.

Что ему от меня нужно? Может быть, он надеется, что с помощью волшебства я извлеку для него, из третьего измерения ту сумму денег, которую он растратил или потерял, и ему удастся таким способом оправдаться? Подобные мысли промелькнули у меня в голове, и я пребывал в растерянности, не зная, что ответить моему посетителю. По-видимому, он заметил мое смущение, потому что, немного помедлив, сказал:

— Вкратце дело, по которому я осмелился вас побеспокоить, сводится к следующему. Я пришел к вам за советом. Как вы, несомненно, слышали, меня уволили из Тригонометрической службы.

— Мне известно, — продолжал доктор Пункто, — что моя отставка породила множество самых нелепых слухов. Смею думать, однако, что вы придерживаетесь несколько иных взглядов на вещи, нежели широкая публика.

— Должен признаться, — ответил я, — что мне известен лишь сам факт вашей отставки. Относительно причин, вызвавших ее, я по сей день пребываю в полном неведении. Вам придется просветить меня на этот счет, чтобы я мог составить обо всем собственное мнение. Боюсь, однако, что не смогу ничем вам помочь.

Может быть, мои слова прозвучали несколько враждебно, но я умышленно избрал холодный тон. Я твердо решил без обиняков указать нежданному гостю на дверь, невзирая на его восемь равных сторон, если только он вздумает обратиться ко мне как к чернокнижнику и колдуну.

— Понимаю ваше недоумение, — сказал доктор Пункто. — Вы не усматриваете, каким образом могли бы мне помочь. К сожалению, я не могу ответить на ваш вопрос, ибо и сам ничего не знаю. Я хочу лишь предложить вашему вниманию некий комплекс загадок, путь к их решению для меня покрыт мраком. Я даже не знаю, в каком направлении его искать. Но если окажется, что эти загадки не под силу решить далее вам, то этого не сумеет сделать никто!

— В мире, я имею в виду в нашем двумерном Мире, — продолжал мой гость, подмигнув при этом, — есть немало математиков, но, думается мне, что здесь нашей старой, классической, математикой не обойтись. А поскольку вы показали, что способны не только воспринимать новые идеи, но и распространять усвоенные вами знания, то я решил: вряд ли кто-либо во всей Флатландии способен лучше вас беспристрастно разобраться в фактах.

— Если я правильно вас понял, — осторожно заметил я, — то ваш визит каким-то образом связан с чисто математическими проблемами и, следовательно, не имеет отношения к… гм… проблемам юридического и финансового порядка? Надеюсь, вы не рассердились на меня за то, что я задал вам столь прямой вопрос? — добавил я извиняющимся тоном.