Леонард Млодинов - Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

• Название: Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
• Автор: Леонард Млодинов
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-904584-60-3

Мы привыкли воспринимать как должное два важнейших природных умений человека – воображение и абстрактное мышление, а зря: «Евклидово окно» рассказывает нам, как происходила эволюция нашей способности представлять то, чего мы не видим воочию.

Эта книга – восхитительная смесь научного авторитетного труда и веселого балагурства, она превращает классические теории и понятия геометрии в доступные, поражающие воображение истории.

Спасибо Млодинову: не нужно быть математиком или физиком, чтобы постичь загадки пространства и поразиться великолепию мироустройства.

---

Чем больше храбрецов отправлялось в странствия за семь морей, тем острее становилась потребность в картах – с гораздо более насущной целью. Совсем недавно, в 1915 году, когда судно сэра Эрнеста Шеклтона, «Эндьюренс», оказалось в ледяном плену и потерпело крушение среди антарктической зимы, величайшей опасностью для команды стали не ветры в 200 миль/час и не температуры, опускавшиеся до –70°С, а невозможность найти дорогу назад. И так было всю историю человечества: главная задача мореплавателей и первопроходцев в открытом океане – не потеряться. Допустим, вы отклонились от курса и не располагаете никакой информацией о том, где находитесь. Инструментов навигации у вас нет, а есть лишь примитивнейший приемопередатчик, чтобы позвать на помощь. Как сообщить спасателям о своем местоположении?

Две координаты, описывающие в наши дни положение на поверхности Земли, называются «широта» и «долгота». Представить их можно так: поместим в наш умозрительный ящик с инструментами три точки, две линии и шар. Берем шар и представляем его плавающим в пространстве. Он, понятно, символизирует Землю. Затем разместим на нем три точки в следующем порядке: одну – на Северном полюсе, одну – в центре, а третью – в любом месте на поверхности. Первой линией из нашего набора соединим Северный полюс и центр Земли. Это ось вращения планеты. Второй линией соединим центральную точку и точку на поверхности. Она окажется под некоторым углом к оси Земли. Этот угол, независимо от способа обозначения, определяет вашу широту.

Исходная идея широты пришла на ум античному метеорологу по имени Аристотель. Изучив влияние местоположения на Земле на климат в данной точке, он предложил поделить земной шар на пять климатических зон исходя из их положения относительно севера и юга. Эти зоны со временем включили в карты и провели между ними линии постоянных широт. Теория Аристотеля предполагает, что широту можно определить, хоть и приблизительно, исходя из климата местности: холоднее всего на полюсах, а чем ближе к экватору, тем теплее. Ясное дело, в некоторые дни в Стокгольме может быть теплее, чем в Барселоне, а значит, этот метод не слишком практичен – если только не торчать подолгу на одном месте, наблюдая за погодой. Лучше определять широту, ориентируясь по звездам. Проще всего это делать, найдя звезду, расположенную вдоль оси Земли. И такая звезда в северном полушарии есть, называется она «Полярная».

Полярная звезда полярной была не всегда[81] – земная ось по отношению к звездам не зафиксирована на одном месте. Она прецессирует, описывая узкий конус примерно за 26 000 лет. В некоторых великих пирамидах Древнего Египта есть проходы, выстроенные вдоль линии, проходящей через альфу Дракона: во времена постройки пирамид полярной была именно эта звезда. Древним грекам оказалось труднее: им настоящей полярной звезды было не видать. Всего через 10 000 лет северную полярную звезду наблюдать будет очень просто: ею станет Вега, ярчайшая звезда северного неба.

Если есть возможность видеть одновременно Полярную звезду и линию горизонта на севере, простая геометрия показывает, что угол между линиями от вас до Полярной звезды и от вас до горизонта и есть приблизительное значение широты.

Приблизительное оно оттого, что предполагает размещение Полярной звезды точно вдоль оси Земли и что радиус Земли пренебрежимо мал по сравнению с расстоянием до этой звезды; оба этих приближения годны, однако не идеально точны. В 1700 году[82] Исаак Ньютон изобрел секстант – прибор, облегчающий процесс вычисления широты этим способом. Заблудившийся путешественник мог, тем не менее, применить и старинный метод, сделав угломер из двух палок.

Долготу определить труднее. Добавим к нашему инструментарию еще одну сферу – гораздо бо́льшую, чем Земля, с Землей в качестве ядра. На этой сфере вообразим звездную карту. Если бы Земля не вращалась, долготу можно было бы измерять, соотносясь с этой картой. Однако вращение Земли приводит к тому, что звездная карта, видимая вам, через мгновение станет картой, видимой вашему соседу, расположенному чуть западнее вас. Говоря совсем точно, коль скоро Земля совершает оборот в 360° за 24 часа, наблюдатель западнее вас на 15° увидит то же небо, что и вы, буквально через час. На экваторе эта разница соответствует примерно 1000 миль. Сравнение двух фотоснимков звезд, сделанных на одной широте, но без указания времени съемки, ничего не сообщает о вашей долготе. Напротив, если сравнить снимки, сделанные на одной широте и в одно время ночи, можно определить разницу в долготах. Но для этого нужны часы.

Аж до XVIII века не существовало часов, способных выдерживать движение, температурные перепады и соленый влажный воздух, непременные на морских судах, и при этом идти так точно, чтобы по ним в безбрежном океане можно было определять долготу. Удовлетворить требование к точности оказалось непросто: ошибка всего в три секунды[83] в день за шестинедельное путешествие соответствует ошибке в определении долготы более чем на полградуса. До XIX века, к тому же, существовало множество разных систем определения долготы. Наконец в октябре 1884 года[84] удалось договориться об одном меридиане на весь мир, назначить его «нулевой» долготой и от него отсчитывать разницу. Этот главный меридиан проходит через Королевскую обсерваторию в Гринвиче, неподалеку от Лондона.

Первая великая карта мира, доставшаяся нам от греков, была составлена учеником Фалеса Анаксимандром примерно в 550-х годах до н. э. Его карта делила мир на две части – Европу и Азию. На карте Анаксимандра Азия включала в себя Северную Африку. К 330 году до н. э. греки даже наносили карты на некоторые свои монеты; на одной видно возвышенности, поэтому ее принято считать «первой известной в истории физической картой рельефа местности».

Пифагорейцы, вдобавок к своим эпическим открытиям, похоже, первыми предположили, что Земля имеет форму сферы. Это представление, конечно, совершенно необходимо для точного составления карт и, к счастью, обрело мощную поддержку в лице Платона и Аристотеля – еще до того, как Эратосфен более-менее доказал этот факт, применив сферическую модель планеты для расчетов длины окружности Земли. После того как Аристотель предложил делить мир на климатические зоны, Гиппарх додумался разбить их на равные интервалы, добавив линии «север – юг» под прямыми углами. К появлению Птолемея, примерно через пять веков после Платона и Аристотеля и четыре столетия после Эратосфена, этим линиям дали имена «широта» и «долгота».

В «Географии» Птолемея, похоже, применен метод, схожий со стереографической проекцией Земли на плоскую поверхность. Для определения местоположений Птолемей применил широту и долготу как координаты. Он присвоил их каждому месту на Земле, какие были ему тогда известны, – итого 8000. В книге также содержались рекомендации по составлению карт. «География» на сотни лет стала главным источником картографической информации. Картография, как и геометрия, изготовилась идти дальше – к современности. Но, как и геометрия, никакого развития в Римскую эпоху не получила.

Римляне составляли карты, но, как и в случае с геометрией, сосредоточивались на вражеских войсках за рекой – их усилия оказались нацелены исключительно на решение прагматических, а зачастую – сугубо военных задач. Когда орда христиан разгромила библиотеку Александрии, «География» вместе с математическими трудами греков исчезла. С падением Рима начались времена невежества цивилизации – в равной степени и в части определения местоположения, и в отношении теорем и связей между пространственными объектами. Геометрия и картография в конце концов переживут второе рождение и будут трансформированы новой теорией места. Но для этого нужно было совершить возрождение само́й интеллектуальной традиции западной цивилизации.

Глава 9. Наследие проклятых римлян

Близился к концу VIII век. Великие труды и традиции греков утеряны и забыты; часы и компас – почти так же далеко в будущем, как для нас – звездолет «Энтерпрайз»[85]. Лежа в своих постелях или прямо на полу, дрожа от холода или обливаясь по́том, пытаясь заснуть, обитатели тех времен не бормотали себе под нос: «Если я не воскрешу в себе тягу к знаниям, этот период интеллектуального распада и застоя не закончится еще почти тысячу лет». И все-таки один великий человек признавал необходимость дальнейшего постижения и предпринял шаги, приведшие в конце концов к возрождению европейской интеллектуальной традиции.

Генетически Карл Великий, он же Шарлемань[86], может показаться белой вороной. Его скелет после смерти померяли – король оказался шести футов четырех дюймов роста[87], по тем временам – великан. Его отец, которого Папа Стефан возвел на трон как короля Пипина I в 754 году, был коротышкой, до этого прозывавшимся Пипином Коротким. Статью Карл пошел, судя по всему, в мамашу, королеву Берту. Ее после смерти никто не обмерял, но прозвище намекает на ее габариты: ее звали «grand pied», т. е. «большая нога».