Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— Какая же она, однако, удивительная, эта геометрия! — задумчиво произнес Илюша.

— Если хочешь знать, — отозвался Радикс, — сферическая геометрия еще удивительнее «воображаемой», только мы

— 280 —

к ней более привыкли благодаря тому, что глобус стал нам приятелем со школьной скамьи, если не раньше. А если подумать, то нетрудно убедиться в этом. Сравни хотя бы такие обстоятельства. Прямая у Евклида безгранична, у Лобачевского тоже, а на сфере она (например меридиан) не только не безгранична, но еще и замкнута.

— Да! — отвечал Илюша. — А ведь действительно так!

— Насчет же всяких неожиданностей в «воображаемой» геометрии, так я могу тебе подарить на память еще один такой случай. Если ты возьмешь на плоскости Лобачевского окружность, разделишь ее на несколько равных частей и в точках деления проведешь касательные к этой окружности, то они образуют многоугольник только в том случае, если радиус окружности очень невелик, а в противном случае они вовсе не встретятся и не пересекутся.

— Мы можем, — добавил Асимптотос, — показать тебе еще кое-что по поводу треугольников Лобачевского, но только это будет потруднее. И нам кое в чем придется с тобой условиться.

— Как это условиться? — спросил Илюша.

— Вот как. Мы знаем, что роль «прямых» на сфере играют дуги больших кругов. А теперь мы условимся считать «прямыми» на сфере не дуги больших кругов, а дуги некоторых других кругов. Мы начнем с того, что рассечем сферу пополам. Положим полусферу на плоскость сечением вниз. А далее согласимся считать дуги кругов, плоскость которых перпендикулярна к той плоскости, на которой лежит наша полусфера, прямыми. Надеюсь, что ты понял меня?

— Но ведь можно «условиться» о чем угодно! — сказал в недоумении Илюша. — Захочу и «условлюсь», что у меня семь равняется нулю. Так что ж, так и будет?

— Мне кажется, — отвечал Радикс, — что не так уж трудно придумать случай, когда такое равенство будет иметь смысл. Например, допустим, что ты будешь различать числа только по остаткам, которые они дают при делении на семь. Ясно, что в этом смысле 1, 8, 15 и так далее будут равны между собой; 2, 9, 16 и так далее будут также равны между собой, а 7 окажется равным числам 0, 14, 21 и прочим. Тебе может показаться, что это бессмыслица. Но допусти, что некоторый месяц начинается в воскресенье и мы обозначим этот день нулем, понедельник — единицей, вторник — двойкой и так далее. Тогда, если мы интересуемся только днями недели, а «нуль», «семь» и «четырнадцать» — все будут обозначать воскресенья, то в этом смысле ты можешь не делать между ними различия. Так что уже не столь бессмысленно «условиться», что семерка равна нулю. Имей в виду, что при изучении известных вопросов вполне возможно поставить некоторое осо-

— 281 —

бое условие, и это может даже сделать для нас доступными такие вопросы, которые без этого трудно было бы исследовать[19].

— Пожалуй, — сказал Илюша, — я с таким рассуждением готов согласиться, но вот чего я боюсь: если мы условимся считать какие-то линии на сфере «прямыми», смогут ли эти «прямые» сохранить свои обычные свойства? А если не сохранят, то разве это будут «прямые»?

— Видишь ли, — отвечал Асимптотос, — все свои свойства наши «прямые», разумеется, сохранить не смогут, но ведь мы как раз и хотим рассмотреть на примере такую геометрию, в которой некоторые свойства прямых таковы же, что и на плоскости (например, две «прямые» пересекаются только в одной точке, через две точки проходит одна и только одна «прямая» и так далее). Однако в отношении свойств параллельности или величины суммы углов треугольника наши новые линии должны подчиняться не обычным законам геометрии, а законам геометрии Лобачевского. А если это так, то совершенно очевидно, что такие «прямые», поскольку мы их рассматриваем в нашем обычном евклидовом пространстве, должны и по внешнему виду отличаться от обыкновенных прямых. Сейчас нам даже придется отказаться и от того свойства, которое мы сохраняем на сфере при пояснении римановой геометрии: «прямые» уже не будут линиями кратчайшего расстояния на полусфере. Однако, чтобы ты не очень уж задумывался над смыслом таких «условий», мы сейчас придумаем самый животрепещущий пример…

— Я бы полагал… — перебил нашего оратора Коникос.

— А именно? — вопросил Радикс.

Коникос задумчиво сказал:

— Необходимо соорудить при помощи волшебства…

— Да что именно? — спросил Асимптотос. — Уж не томи ты нас, говори прямо!

— Начнем с полусферы, — уклончиво ответствовал загадочный Коникос, — ну, а потом… посмотрим.

Действительно, тотчас перед Коникосом выросла громадная, трехметровая полусфера тонкого, прозрачного синеватого стекла, под колокол которой он немедля и забрался. Из-под своего халата Коникос тут же извлек громаднейшую кремневую пистолю, самую старозаветную, у которой один только курок весил до полукилограмма, и с торжеством показал свое удивительное оружие Илюше.

— Вот мое восхитительное изобретение! — сказал он. — Эта волшебно-не-евклидова пистоля имеет изумительные свойства. Пуля этой пистоли и будет описывать не-евклидовы

— 282 —

«прямые»! Я буду стрелять, но не прямо, а так, чтобы ее круглая нуля скользила точно, «в притирку» но внутренней стороне моей полусферы. Стекло это очень крепкое, и пробить его пуля не может, она только его поцарапает. Ясно?

— Ясно! — отвечал Илюша.

— Но только вот что! — добавил наставительно Асимптотос. — Запомни раз и навсегда: пуля этой казанской — или, что то же, не-евклидовой — пистоли, скользя по внутренней поверхности полусферы, все время остается в той же вертикальной плоскости, в каковой находился и пребывал ствол этой пистоли в момент выстрела.

Затем Коникос начертил внутри полусферы, на полу, равносторонний треугольник, почти вписанный в круг, который образовывал на полу край полусферы, как нарисовано на следующей странице.

— Ну, уж в этом-то треугольнике никак не может быть больше или меньше двух прямых! — торжествующе заявил Илюша.

Асимптотос и Радикс только чуточку усмехнулись в ответ на это заявление Илюши, а Копикос сказал:

— Ты, юноша, не спорь, а следи как можно внимательнее за тем, что я буду делать.

С этими словами Коникос стал в левом углу при оснований начерченного на полу треугольника (угол С) и обернулся лицом прямо к углу при вершине его. Он поднял над головой свою пистолю, вплотную прижал ее почти совершенно вертикально к внутренней стороне сферы и выпалил. Раздался

— 283 —

страшный грохот, целое облако дыма вырвалось из широкого дула пистоли, по, несмотря на все эти пиротехнические эффекты, пуля летела так медленно, что Илюша видел, как она мелькнула по внутренней стороне полусферы, оставив за собой тонкий след в виде царапины по стеклу.

— Попал! — крикнул Коникос. — Какая меткость! С первого раза!

Илюша удостоверился, что пуля, обогнув полусферу, прошла как раз над вершиной треугольника (В) и ушла в пол.

Затем Коникос снова зарядил пистолю, подсыпал пороху на полку, стал опять на то же место, но повернулся теперь лицом в сторону другого угла (А), который был с правой стороны основания треугольника. Снова бах! Пуля прошла как раз над вершиной справа у основания.

Затем Коникос перешел в тот самый угол, над вершиной которого только что прошла пуля. Теперь он стал в этот правый угол (А) и лицом обратился снова к углу в вершине (В).

Снова он поднял пистолю над головой, так что она стояла почти вертикально, то есть почти перпендикулярно к полу, а затем опять трах! Снова целое извержение порохового дыма, и опять мелькнула пуля, царапая стекло.

Вот такой треугольник начертил на полу Коникос, стоя под полусферой.

— Вот выстрел! Поищи-ка, где пересекаются оба следа.

Илюша обошел сферу, подошел к углу при вершине и убедился, что оба следа пересеклись в точке, лежащей как раз над вершиной В треугольника.

Затем Коникос выполз из-под полусферы и сказал:

— Я полагаю, что пули летели «совершенно прямо», в неевклидовом смысле слова, как это им и свойственно. Они бы, разумеется, летели иначе, если бы им стекло не мешало и они не были бы обязаны сохранять вертикальную плоскость полета, но тут уж им при всей их любви к прямолинейности и краткопутности ничего другого не оставалось! Теперь я попрошу полусферу уменьшиться до полуметра в диаметре, дабы мы имели возможность обозреть результаты моей неподражаемой стрельбы в цель.

— 284 —

Полусфера сейчас же послушалась, и Илюша увидел, что пули начертили на стекле своеобразный треугольник. Тогда Асимптотос взял свой широченный нож и сказал мальчику:

Срез полусферы (экватор)