Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— Вот странно! — воскликнул Илья, — вот уж я никогда бы не подумал, что землемер или портниха занимаются не-евклидовой геометрией! Впрочем… я и о фонтанах китов тоже не догадался бы.

— Вот то-то и оно! — сердито возразил Радикс. — Имей в виду, кстати, что сам Бельтрами был геодезист, то есть именно землемер. Есть основания думать даже, что и великий Гаусс, который много занимался задачами практического землемерия, натолкнулся на неевклидову геометрию Лобачевского, именно размышляя о своеобразии геодезических задач. Кстати тебе сказать, все споры О «воображаемой» геометрии только тогда и закончились, когда была опубликована наконец перепис-

— 267 —

ка Гаусса, где он откровенно говорит своим друзьям о своих открытиях в области геометрии Лобачевского. Это случилось уже в шестидесятых годах прошлого века, а работы Лобачевского начались с двадцатых годов.

Илюша посмотрел на Радикса и подумал: «Псевдосфера! Вот почему Фавн говорил о псевдокруглом сыре. Понятно».

— Ну, а теперь, — сказал, усмехаясь, Асимптотос, — надо нам вспомнить еще Илюшиного друга — Пифагора.

— Кстати, — подхватил Коникос, — слышал ли ты легенду о «египетском мерном шнуре» с двенадцатью узлами? Греки даже называли египетских землемеров «арпедонапты», то есть «вервиетягатели».

Египетский мерный шнур для построения прямого угла. В точках В и С вбиваются колышки. Получается прямой угол в точке с при одновременном натяжении ВА и СА.

— Нет, — отвечал мальчик.

— Двенадцать, — продолжал Асимптотос, — легко разбить на три слагаемых: три, четыре и пять…

— Пифагоровы числа! — воскликнул Илюша.

— Они самые! Вот поэтому-то при помощи шнура с двенадцатью узлами очень легко построить прямой угол, который нужен и землемеру и строителю. Египтяне знали это правило чуть не за три тысячи лет до вашей эры. У нас здесь есть тоже треугольник — некий волшебно-математический аппарат, который показывает, куда мы попали — в знакомую страну или в незнакомую, где евклидовы и пифагоровы правила не годятся.

— Я как будто догадываюсь. Этот аппарат проверяет, плоская эта поверхность или нет?

— Он не только это проверяет, он еще указывает, далеко ли отклоняется от плоскости данная поверхность и как именно она это делает. А стоит тебе это узнать, и ты сейчас же сообразишь, какая там геометрия годится. Вот и все.

Илюша осмотрел ап-

— 268 —

парат, который представлял собой прямоугольный треугольник, сделанный из оловянного листа, а сбоку был циферблат со стрелкой. В середине стояла большая буква «Е», и на нее указывала стрелка. С одной стороны было написано «Положительная кривизна», а с другой — «Отрицательная кривизна».

Когда Илюша приложил аппаратик к сфере, тот немедленно ответил: «Положительная кривизна». Когда же он приложил аппаратик к стене, то стрелка осталась стоять против буквы «Е», а буква «Е», конечно, напомнила об Евклиде.

— А это что значит? — спросил Илюша. — Ты, Радикс, ведь говорил, что если взять очень большой шар, то там геометрия будет почти такая же, как евклидова.

Значит, чем меньше я буду брать шар, тем будет «более кривая» поверхность с точки зрения этого аппаратика?

— Правильно! — отвечал Радикс. — Если, например, ты на поверхности земного шара будешь брать треугольник со сторонами менее ста километров, ты можешь смело считать его совершенно плоским.

— Ну, а что может значить «отрицательная» кривизна?

Асимптотос с сомнением покачал головой и принес две кривые: одна была эллипсом, другая гиперболой.

— Наша Центрифуга есть поистине дивный аппарат для получения поверхностей вращения.

Затем он взял эллипс и прикрепил его вдоль и посредине (то есть по его большой оси — смотри на картинке!) к стержню, пустил в ход Центрифугу, а потом сиял получившееся тело со стержня.

— Это эллипсоид вращения, — объяснил он.

Эллипсоид вращения

— 269 —

Тут он взял две ветви гиперболы и повесил их симметрично в воздухе на равных расстояниях от стержня.

— Простите, пожалуйста! — взмолился Илюша. — Вот когда вы снимаете с Центрифуги конус или эллипсоид, которые, собственно, состоят из ничего, и ставите на пол, ведь это волшебство?

— Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА! — отвечал Асимптотос, торжественно подняв ввысь палец.

— А когда вы вешаете эти кривые в воздухе, это тоже волшебство?

— Не совсем! Я прикрепляю гиперболу к стержню при помощи со мнимой оси. Ну, а так как она мнимая, то ее, разумеется, довольно плохо видно. Вот и все! Если мы рассекаем два конуса с общей вершиной, мы получаем две ветви гиперболы.

Они симметричны в двух направлениях. Во-первых, они симметричны относительно действительной, или вещественной, оси гиперболы, параллельной оси нашего конуса. А во-вторых, они симметричны относительно воображаемой линии, перпендикулярной к оси конуса. Эта линия называется мнимой осью гиперболы. Вот я ее и надел на стержень.

Затем Асимптотос пу-

— 270 —

стил в ход быстролетную Центрифугу. Вскоре из двух ветвей гиперболы образовалась поверхность вращения, средняя часть которой представляла собой кольцо с загибающимися краями.

— Это однополостный гиперболоид вращения.

Однополостный гиперболоид вращения.

Если бы мы вращали гиперболу по вещественной оси, мы получили бы двуполостный гиперболоид, то есть две отдельные чаши. Ну, теперь все.

Он поставил гиперболоид на пол рядом с эллипсоидом.

— Начнем с эллипсоида. Замечаешь ли ты, что в длину он согнут не так, как в ширину? Ясно, что и в ширину он в сечении даст круг, но дело в том, что в длину, то есть по своей большой оси, если мы будем рассматривать точку над самой ее серединой, он гнется не так сильно, как гнется в том же месте по направлению малой оси.

— Конечно! — отвечал Илюша.

— Следовательно, в одном направлении у него одна кривизна, в другом — другая. Теперь я разрежу эллипсоид пополам и возьму два круга — один побольше, другой поменьше.

Асимптотос разрезал эллипсоид вдоль. Оказалось, что он внутри совершенно пустой. Получилось такое эллиптическое корытце, вроде половинки скорлупы фисташкового ореха, если бы, конечно, орех был в точности симметричен.

— Смотри! — сказал Коникос. — Маленький круг я могу в него вставить и по направлению малой оси и по направлению большой. Маленький круг совпадает с сечением эллипсоида по малой оси и измеряет его кривизну в этом направлении.

А большой круг по малой оси в это эллиптическое корытце не влезает, но зато он очень хорошо входит в корытце по большой оси. Конечно, круг не совпадает с сечением по большой оси, ибо это сечение есть эллипс, а не круг, но он соприкасается с этим сечением как только возможно тесно. Этот круг измеряет кривизну эллипсоида по большой оси, однако только в данной точке. Ясно, что круги становятся друг к другу перпендикулярно, потому что ведь и сами оси перпендикулярны.

Самое важное в этом случае то, что центры обоих кругов находятся с одной и той же вогнутой стороны эллипсоида. Понял? Вот когда центры кругов, измеряющих кривизну, оказываются с одной стороны поверхности, то такая кривизна

Центры кругов кривизны находятся по одну сторону поверхности — положительная кривизна.

— 271 —

называется положительной.

Откуда идут эти названия, сразу не расскажешь, и на этих тонкостях я останавливаться не буду. А теперь перейдем к гиперболоиду.

Асимптотос разрезал и гиперболоид вдоль.

Получились две седлообразные поверхности, похожие на горный перевал.

— Смотри внимательно! — сказал Асимптотос. — Я беру снова среднюю точку и буду измерять кривизну опять теми же кругами и по таким же двум взаимно перпендикулярным осям.

Когда Асимптотос начал приставлять круги к этой седлообразной поверхности, то оказалось, что эта поверхность в продольном направлении вогнутая, а в поперечном — выпуклая.

Поэтому центр большого круга оказался вне гиперболоида, а центр маленького — по другую сторону поверхности гиперболоида. Центры кругов оказались с разных сторон поверхности.

Центры кругов кривизны находятся с разных сторон поверхности — отрицательная кривизна.

— Ну вот! — сказал Асимптотос. — Когда центры кругов кривизны оказываются с разных сторон поверхности, то это и называется отрицательной кривизной. Геометрия Лобачевского осуществима только на поверхности с отрицательной кривизной. Однако слушай далее внимательно, ибо это еще не все. Сфера имеет во всех своих точках одну и ту же кривизну. Мы говорим, что эта поверхность постоянной положительной кривизны. Ясно, что хотя эллипсоид имеет тоже положительную кривизну, но она отнюдь не постоянна. Однополостный гиперболоид, наоборот, имеет отрицательную, но тоже непостоянную кривизну. Спрашивается: имеются ли поверхности постоянной отрицательной кривизны? Такие поверхности были открыты еще до Бельтрами. Отличительной особенностью поверхностей постоянной кривизны является то, что кусок такой поверхности может скользить по ней самой без разрывов и сжатий, как футляр шара по поверхности шара или кусочек бумаги по гладкой поверхности стола либо цилиндрической колонны. Важнейшее открытие Бельтрами состояло вот в чем: он обнаружил, что треугольники, сторонами которых являются кратчайшие линии на поверхности постоянной отрицательной кривизны, подчиняются «воображаемой» геометрии Лобачевского. Таким образом, выяснилось, что плоская геометрия Лобачевского осуществляется на одной из простейших поверхностей с постоянной отрицательной кривизной (именно такой поверхностью и является псевдосфера), и тогда уже не оста-