Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— Да! — отвечал в почтительной задумчивости мальчик. — Только ведь это сочинение Архимеда о счете песка никаких особенных задач не решает. Правда?

— Ошибаешься! — отвечал Радикс. — Это сочинение имеет необыкновенно важное значение, и даже гораздо более важное, нежели решение какой-либо частной проблемы. Оно ставит такие серьезные вопросы, которых никто еще до Архимеда на практике не решался касаться; если же и касался, то, так сказать, несознательно, не представляя себе всей важности этой задачи. Она, в частности, заключается в доказательстве положения, утверждающего, что ум человеческий

— 177 —

способен легко строить числа, превышающие любую заранее заданную величину. Сам Архимед определял задачу этого сочинения так: оно должно доказать, что данное число песчинок не бесконечно и что возможно построить число, превышающее его. Но ведь песчинки — только частный пример, поэтому я настаиваю на моем первом определении задачи «Псаммита» (так называется по-гречески это сочинение Архимеда).

— Это очень интересно, — ответил Илюша поразмыслив. — Но ведь это только для того, чтобы посмотреть, к чему приведет такая странная задача? Не правда ли?

— Напрасно ты так думаешь, — ответил, нахмурясь, Радикс, — совершенно напрасно!.. «Псаммит» был сочинен Архимедом не для праздной забавы, отнюдь. Чем более серьезные задачи ставил перед собой человек в те древние времена (задачи из области физики, механики, астрономии и так далее), тем более сложный математический аппарат ему был нужен. И вот, чтобы начать строить этот аппарат, ему, человеку, и понадобились очень большие числа. Громадные! Необъятные! И «Псаммит» Архимеда был первым серьезным шагом в этой области. После того как содержание этого сочинения Архимеда было усвоено, можно было ставить себе и иные задачи. Например: что мы будем получать, если начнем последовательно делить единицу на ряд чисел Архимеда и дойдем до самых больших из названных им чисел?

— По-моему, — сказал Илюша, — это будет история путешествия синьориты Одной Энной по натуральному ряду.

— Недурно сказано! — воскликнул Радикс. — Недурно!

— По-видимому, эта особа будет все уменьшаться в объеме.

— А не найдешь ли ты такого числа, на которое она все более и более будет походить?

— Не знаю, — произнес мальчик осторожно, — какое же это может быть число. Ну, разве что нуль? То есть я хочу сказать, что чем дальше будет продолжаться прогулка синьориты Одной Энной по натуральному ряду, тем труднее ее будет отличить от нуля.

— Это разумный вывод, — отвечал одобрительно Радикс. — Так, конечно, и будет. Ну, а что случится, по-твоему, если я возьму все значения твоей приятельницы, госпожи Одной Энной, и начну теперь делить единицу на каждое из ее значений? Ну-ка!

— Ясно, — отвечал Илюша, — что ты снова получишь все те целые числа, с которых я начал, когда мы заговорили и синьорите Одной Энной.

— Прелестно! Рад от души!.. Но скажи на милость, а нет ли такой величины или даже такого математического образа, на который все более и более будут походить эти все расту-

— 178 —

щие и растущие обратные величины значений синьориты Одной Энной?

Илюша не знал, что ответить на это, и только высказал предположение, что числа эти будут невообразимо громадны, так что вскоре даже и слава пресловутого «последнего» архимедова числа сильно потускнеет.

— Послушай, Илюша, — промолвил» Радикс, — ты только что сказал: что ни далее, тем значения синьориты Одной Энной все менее и менее будут отличаться от…

— От нуля.

— Правильно. Следовательно, перед нами будет ряд частных, делители которых все приближаются и приближаются к нулю. Прекрасно! А к чему же будут приближаться частные?

Илюша призадумался. Затем он сказал так:

— Видишь ли, я слышал, что есть такое слово «бесконечность». Только я не знаю: правильно ли будет, если мы сейчас о нем вспомним? Как ты скажешь?

— Это дело серьезное. И даже весьма. Тут есть над чем голову поломать. А в общем, чтобы подвести итог нашему разговору о «Псаммите», попробуй скажи мне в одной фразе, что там говорится.

Илюша подумал и ответил так:

— Какую бы мой собеседник величину ни назначил, я немедленно сооружу число во много раз больше.

И Радикс улыбнулся, на этот раз вполне удовлетворенный ответом Илюши.

— 179 —

Схолия Одиннадцатая,

которая, во-первых, довольно длинная, а во-вторых, не так уж проста, так что читателю придется проявить если не упрямство, то немалое упорство, коли он хочет и дальше играть в схолии. Однако если не читать этой схолии, то и вообще больше ничего читать в этой книжке не придется. Поэтому тот, кто хочет читать далее Одиннадцатой Схолии, должен запастись мужеством. Тогда он узнает кое-что новое о яблоках, о кружочках и прутиках одного не очень послушного и даже упрямого мальчика, который жил неподалеку от одной большой горы. Именно тут Илюша слышит превосходные арифметические рассуждения, но как только дело чуть-чуть касается геометрии, поднимается невероятная кутерьма, вызванная появлением некоего неуклюжего авиадесанта, одолеть который только и можно с помощью вышеупомянутого упрямства.

— Ну-с, уважаемый Илья Алексеич, — произнес важно Радикс, — изложите мне вкратце, как вы себя изволите чувствовать.

Илюша посмотрел на него немного подозрительно, припомнив не совсем приятный разговор с командором, но потом решил, что вряд ли Радикс вспоминает именно об этой истории.

— Во-первых, — начал Илюша, — мне никогда в голову не

— 180 —

приходило, что у нас здесь столько чудес. Во-вторых, я никогда не думал, чтобы такой пустяк, как, например, Дразнилка, мог привести к таким серьезным и сложным выводам.

Правда, мне папа раз прочел две строчки из стихов, которые написал поэт Баратынский про Ньютона, но только я… если уж по совести сказать… пропустил эту штуку мимо ушей…

— А ты помнишь эти строчки?

— Помню, — ответил Илюша. — Вот как там сказано:

Плод яблони со древа упадает,
Закон небес постигнул человек.

Ну, это в том смысле, что человек, увидавши вещь самую простую, которую все видали миллионы раз, подумал над ней, как следует размышлять настоящему ученому, и открыл, что такое всемирное тяготение. Только я не знаю, так я рассказываю или нет.

— Приблизительно так, — сказал его друг. — Как будто и на самом деле с Ньютоном случилось нечто в этом роде, но в данном случае ведь не это самое важное. Ты ведь вспомнил об этом стишке потому, что теперь ты заметил, как размышление над предметами самыми простыми и обычными может привести нас к очень важным и глубоким заключениям. Так я тебя понял?

— Да, — ответил Илюша, — я как раз это и хотел сказать.

— Хорошо, что ты это заметил. Надо только еще вспомнить вот о чем. Эти стихи неправильны и в другом смысле.

Дело в том, что один человек никогда бы не смог путем размышления открыть столь сложный закон. Нужна была работа целых поколений мыслителей, чтобы постепенно подвести человечество к такому состоянию знаний, когда стало возможно такое открытие. Законы падения тел были впервые научно определены великим Галилеем, жившим в Италии в шестнадцатом и семнадцатом веках. Ньютон родился в Англии как раз в год смерти Галилея. И все работы Галилея были к его услугам. Вот как было на самом деле. Однако, конечно, даже и такого великого мыслителя, как Галилей, было еще мало для этого. На самом деле работа великого Ньютона была гениальным итогом работы гораздо большего числа людей. В их числе нельзя не назвать еще астронома-наблюдателя Тихо де Браге и великого его последователя Иоганна Кеплера. А к этому надо еще добавить, что как Галилей, так и Кеплер — оба они опирались на замечательные труды Николая Коперника…

— Как интересно!..

— Конечно! По этому поводу мне припомнились сейчас еще

— 181 —

и другие стихи, которые высказывают примерно ту же самую мысль, но, пожалуй, в более удачной форме, потому что стихи, которые ты прочитал, вспоминают Ньютона, на мой взгляд, совершенно не к месту. С другой стороны, однако, возможно, что первая, еще не совсем ясная идея о всемирном тяготении, как это иногда бывает в таких случаях, действительно могла возникнуть у ученого, когда он услыхал, как стукнулось о землю упавшее яблоко. Кажется, что это случилось внезапно, но на самом деле ученый давно уж размышлял об этом. Был еще такой английский поэт Александр Поп. Жил он в восемнадцатом веке, пользовался в свое время большой известностью, и его сочинения до сих пор высоко ценятся на его родине. Так вот, однажды он написал такие стихи:

Был скрыт закон небес во мгле, но бог сказал:
«Да будет Ньютон!» — И свет просиял над миром.

В этих стихах Поп подражает Библии, где рассказывается, что бог сотворил мир из ничего, просто путем заклинаний. Ты, я полагаю, прекрасно понимаешь, что эти древние сказки ни в малой мере не объясняют происхождения мира и его устройства, что нужны были миллионы лет постепенного развития, чтобы мир стал таким, какой он есть, и что это может выяснить только наука, а не сказки. Совершенно то же возражение мы должны высказать и стихам Попа: «Вы, дорогой поэт, придумали очень занимательно о Ньютоне, с этим мы не спорим, но, по существу, вы неправы, ибо творения Ньютона не с неба свалились, а есть результат упорной и долгой работы людей ученых, как и он, его предшественников, плод постепенных и отнюдь не легких усилий всего мыслящего человечества. С другой стороны, мы хорошо понимаем, что Ньютон был не человек, а истинное чудо, но тогда надо сделать оговорку, что это не какое-нибудь сверхъестественное чудо, а одно из таких чудес, которые всегда делало, делает и будет делать человечество». Можно еще добавить, что нередко очень важные открытия появляются на белый свет как бы неожиданно, и люди им удивляются. Но затем обычно выясняется, что это удивительное открытие давно уже где-то потихоньку вызревало, только не все это замечали.