Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

— 54 —

расшибут вдребезги, искренне удивляясь, как жестоко наказывает его судьба за то, что он забыл про квадратный трехчлен.

И вдруг…

И вдруг он почувствовал, что никто его не держит и он мчится по воздуху с быстротой пикирующего самолета.

«Центробежная сила! — подумал впопыхах Илюша, быстро перевертываясь в воздухе то вниз, то вверх головой и размахивая руками. — Оторвался и лечу по касательной. Вот так история!..»

Тут он почувствовал, что скорость его полета начинает понемногу ослабевать. Вдруг он перевернулся вверх головой и стал сразу на обе ноги.

— Наконец-то! — сказал ему с облегчением Радикс.

— А! — обрадовался Илюша. — Это ты! А я уж думал, что лечу прямо в тартарары. Фу! И как это я жив до сих пор?! Я видел совершенно удивительные вещи, только вот беда — мало что понял… Кое-что разобрал, да и то, по правде сказать, через пятое на десятое. А в общем… ужас что такое! Надоело ужасно — слушаю, гляжу и ничего не понимаю. Если бы ты мне рассказал…

— Это можно, — сказал Радикс. — Ну, выкладывай, чего ты не понял.

— Во-первых, — начал Илюша, — часы…

В это время какие-то часы звучно пробили четыре. Илюша обернулся и увидел странный циферблат.

— Что такое? Бьют четыре, а показывают десять!

Илюша внимательно поглядел на часы. Раз-два-три… десять?.. Снова — раз-два-три и опять новый десяток?

— Ох! — воскликнул Илюша, хлопнув себя по лбу. — Другой циферблат! Да это не десяток! Чепуха какая! Это просто другая система исчисления. Четверичная система. Первый класс — единицы, потом второй — четверки…  а следующий класс будет четыре в квадрате, то есть шестнадцать. Как у нас на первом месте единицы, на втором — десятки, а третье место занимают сотни, а это ведь десять в квадрате. У нас число пишется так:

a100 + b101 + c102 + …,

а у них:

a140 + b141 + c142 + …,

причем а, b, с … могут принимать все значения от нуля до девяти, но a1, b1 c1 … могут принимать значения от нуля до трех. И так далее. Если, значит,

— 55 —

написать девятнадцать по этой системе, будет шестнадцать плюс три, то есть сто три. А если взять сто, то выйдет тысяча двести десять. Экая досада, что я не догадался!

— Штука нехитрая, — сказал Радикс.

— Вот то-то и обидно! — отвечал Илюша.

— Они тебя, — заметил Радикс, — все-таки немножко надули. То есть были приняты меры к тому, чтобы ты не догадался. Ведь перерыв-то у них сдвинут так, что прием кончается раньше перерыва.

— Экая досада! — возмущенно повторил Илюша. — А все-таки я должен был догадаться!

— Разумеется. Зевать не надо. Ну-с, далее?

— Дальше вот что. Часы что — это пустяк, шутка…

— Не всегда, — заметил Радикс, посмеиваясь.

— Ну все-таки. А вот этот невсис… Я о нем даже не слыхал. Прямо удивительно. Поставь на линейке две метки — в сразу готово!

— В том-то вся и сила, что просто. Узнаешь немного погодя.

— А потом все эти мои скитания по коридорам. Ведь это был настоящий лабиринт. Так или нет?

— Не совсем настоящий, но вроде этого.

— Я решил, что если все время буду держаться правой или левой рукой (это все равно, только не менять руку) за стену, то можно дойти до середины и выйти назад.

— Почему ты так решил?

Илюша постарался изложить своему другу все, что придумал о сходстве лабиринта с тупиком.

Радикс выслушал и процедил:

— Да-а… Но я берусь выстроить лабиринт, где твое правило правой руки ни к чему не приведет. В лабиринт надо войти, дойти до некоторой заранее определенной точки, которая будет центром этого лабиринта, и выйти обратно. Не так ли?

Илюша согласился.

— Так вот. Мой лабиринт будет представлять собой то, что ты называешь петлей. То есть тот же тупик, только вместо замыкающей стенки будет еще один кругообразный ход. В середине этого хода находится островок, в нем дверь, за ней коридор, который и кончается той точкой — центром. Далее я утверждаю, что какой бы рукой ты ни пользовался, правой или левой, ты обойдешь мой лабиринт, выйдешь обратно, но не попадешь в центр, и задача не будет решена. Что ты на это скажешь?

Илюша нарисовал чертеж и углубился в его рассмотрение.

Двойной лабиринт Радикса.

— Да, — сказал Илюша, — действительно, в центр не по-

— 56 —

паду. Тогда, мне кажется, можно поступить так. При обходе лабиринта по правилу правой руки я убеждаюсь, что в центр не могу попасть, и замечаю, что какой бы рукой я ни пользовался, всегда на противоположной от меня стене, то есть на той, которой я не касаюсь рукой, мне встречается дверь, и я в нее не попадаю. Если в лабиринте есть такая дверь, то я поставлю против нее крестик на моей стене, сменю руку и пойду кругом островка. Когда я попаду в эту дверь, то дойду до центра, выйду из него и, снова дойдя до моего крестика, сменю руку во второй раз. Мне кажется, что это получается лабиринт в лабиринте, и, по-моему, такой лабиринт надо называть двойным. Так можно и тройной построить!

— Можно, — спокойно ответствовал Радикс. — Во-первых, эта система внутренних петель и островков может быть довольно сложной, а во-вторых, именно на такого рода усложнениях и основана путаница лабиринта. Ну, что у тебя еще есть? Выкладывай. А к лабиринту мы вернемся еще.

— Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?

— Начнем с его рожицы, — отвечал Радикс. — Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурсальной. Вот почему его так зовут.

Правда, это слово — «уникурсальный» — иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится — одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево.

Попробуй начертить одним росчерком!

У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникурсальная.

— В чем же тут дело? — спросил

— 57 —

Илюша. — Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?

Четный узел

— Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное — нечетный. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от него по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают.

Нечетный узел.

В каждый из них ты можешь пройти. Другое дело — нечетный узел. Например, из него три пути…

— Ясно, — подхватил Илюша. — Раз приду и раз уйду — значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей — и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.

— Совершенно верно, — отвечал терпеливый Радикс. — Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?

— Допустим, что они будут тройные.

— Два нечетных узла?.. — повторил Илюша. — Я сейчас нарисую.

Илюша нарисовал два чертежа.

Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).

— Ну вот, — сказал он, — две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и H возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти…

— Так, — сказал Радикс. — Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура. Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя

— 58 —

фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.