Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

«В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

Для среднего и старшего возраста.»

Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. — V_E.

---

Илюша повел пальцем по дорожкам, но у него не вышло.

Он попробовал еще — не вышло. Попробовал в третий раз — опять то же самое.

— Не выходит, — сказал Илюша.

— Взгляни на мое честное и открытое лицо. Можешь ли ты обойти все его линии и по каждой линии пройти один раз?

Илюша попробовал, и очень скоро это ему удалось.

— Выходит! — сказал Илюша. — А на ордене никак не получается.

— О неопытный и трижды легкомысленный отрок! — произнес, покачивая головой, Командор Ордена Семи Мостов. — Во-первых, докажи, что это действительно невозможно, ибо ты получишь право утверждать это только тогда, когда сможешь твердо и определенно объяснить, почему одна такая задача решается, а другая не имеет решения.

— А какой смысл, — сказал Илюша, — заниматься задачами, которые не имеют решения?

— Смысл?.. — лениво протянула тетушка Розамунда. — А можешь ли ты толком объяснить, что значит: «решить задачу»? Попробуй реши вот эту: «Скорый поезд прошел за два часа сто километров. Однако, если бы он шел не два часа, а столько часов, сколько километров прошел в течение второго

— 46 —

часа, и при этом с той же скоростью, с какой шел в первый час, то он прошел бы не сто километров, а две тысячи пятьсот два километра. Спрашивается: какова была скорость поезда в первый час и какова была его скорость во второй час?»

Услыхав условие задачи, доктор Уникурсальян презрительно нахмурился:

— Не сложна ли эта задача для такого богатыря, который только что пал бездыханным при осаде Квадратного Трехчлена?

Однако тетушка Розамунда была настроена довольно милостиво; она улыбнулась почти до самых ушей, а ее проворный язык быстро притащил откуда-то карандаш и бумагу и вручил их Илюше.

— Ничего, — отвечала тетушка Магистру Деревьев. — Эти волшебные предметы ему помогут. Он поумнеет. Он хороший мальчик.

— Разве это волшебные предметы? — спросил с напускным удивлением гордый Доктор Узлов.

— Да, — отвечала тетушка, — давно уж доказано, выяснено и принято всеми академиями к сведению и руководству, что карандаш и бумага суть волшебные предметы неограниченного могущества.

— Ах, вот как! — мрачно провозгласил командор. — Простите, я забыл.

Илюша прекрасно понял, что все это было одно притворство: ничего он, конечно, не забывал! Мальчик храбро схватил волшебный карандаш, но не прошло и нескольких минут, как он разочарованно пробурчал, что решить эту задачу немыслимо.

— Очень рад! Восхищен! — отвечал ему Доктор Четных и Нечетных. — А нельзя ли как-нибудь иначе изложить результаты этого маленького опыта? Что обозначает «немыслимо»?

— Нет на свете таких двух чисел, которые годились бы для этой задачи, — вот что это означает, — отвечал Илюша. — Следовательно… тут ни я, ни кто другой ничего сделать не может. Чисел таких нет. Вот мое решение.

— Согласен, — спокойно ответствовал доктор Уникурсальян. — Это действительно можно считать решением. Другими словами: раз ты доказал, что задача неразрешима, то у нас здесь считают, что ты ее решил. Заданный тебе вопрос исчерпан.

— Так, — сказал Илюша, — это я понимаю. Но мне неясно, зачем надо задавать такие вопросы? Мало ли что тут можно придумать!

— Эту важнейшую проблему надлежит с осторожностью рассматривать двояко..»

— 47 —

— Двояко! — повторила тетушка Розамунда.

— Вот именно! — громогласно возопил доктор. — Ибо дело не в выдумке, а в том, что если бы наука не занималась вопросами, которые кажутся неразрешимыми, она бы не двигалась вперед. В том-то и сила, что неразрешимые требуют новых способов для своего разрешения, а каждый новый способ — это новый шаг вперед. Слушай внимательно: вот тебе простой и превосходный пример. Это будет у нас часть вторая, ибо с первой мы уже покончили. Есть возражения? Говори прямо.

— Возражений, — отвечал мальчик, — как будто бы и нет, но.,.

— Но ты желаешь, чтобы тебя убедили. Слушай, и все получишь… Итак, в геометрии издавна возникла необходимость разделить данный угол на несколько частей, скажем, на три. У геометра в руках есть линейка и циркуль. Может он с этими инструментами проделать это деление или нет? Со времен седой древности пробовали это сделать, но ни у кого не выходило. Вот тут-то и надо выяснить, почему не выходит.

В чем тут дело? Долго не могли добиться. Но наконец выяснили, что имеется бесконечное число таких углов, которые точно разделить натрое с помощью циркуля и линейки невозможно.

— А прямой угол как будто можно разделить? — осторожно осведомился Илюша.

— Как? Ты умеешь делить прямой угол на три? — с искренним изумлением сказала тетушка. — А умеешь, так рассказывай.

— Прямой угол — это девяносто градусов, — отвечал Илюша, — значит, надо получить тридцать. Отнимем шестьдесят, а это сделать нетрудно — ведь он один из углов равностороннего треугольника, потому что сумма углов треугольника равна 2d, то есть 180°. На чертеже совсем просто получается!

— Не смею спорить! — ответствовал свирепый доктор Уникурсальян, раскланиваясь с Илюшей очень любезно, но все же ехидно. — Кто станет спорить? Прямой угол, поистине прямой, ты прав. Но с непрямыми не выходит. Еще в древности пыта-

— 48 —

лись, а причины затруднений еле-еле выяснили только во второй половине шестнадцатого столетия нашей эры. И ни один грамотный человек, кроме нелепых упрямцев-чудаков, заниматься этим не будет. К таким безнадежным задачам относятся еще древние задачи о квадратуре круга, когда требуется построить опять-таки с помощью циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному кругу, затем задача об удвоении куба.

Впрочем, обо всем этом ты узнаешь попозже[5]. Но это еще отнюдь не все… Самое главное в том, что попутно с этими решениями выяснено вполне и до конца, какие именно задачи можно решать с помощью циркуля и линейки, а какие нельзя, и почему нельзя. Вот в чем дело. А если ты уяснил, и почему какая-нибудь задача не имеет решения, то тогда ты можешь узнать, что именно тебе требуется для решения подобных задач.

— Извините… — произнес Илюша. — А с другими углами очень трудно?

— Не столь трудно, — отвечал с усмешкой Доктор Четных и Нечетных, — сколь замысловато…

— Когда готово, то нетрудно! — кротко заметила тетушка Розамунда, а язык ее, громко прищелкнув, вдруг нарисовал в воздухе чертеж. Все линии были голубоватые и очень приятно светились.

Линейка для невсиса с двумя отметками.

— Прелестный чертеж! — вежливо заметил доктор. — Ну-с, вот тебе угол ABC — 75°, а вот угол СВЕ — 25°. Но делается это не линейкой и циркулем, а линейкой, на которой есть две отметки — одна за другой, и каждая равна отрезку АВ. Этот способ в древности назывался способом невсиса. Через точку В надо провести прямую так, чтобы отрезок DE равнялся бы удвоенному отрезку АВ. При помощи вспомогательных прямых на чертеже нетрудно доказать, что угол AFD равен двум углам AEF…

— Как внешний угол по отношению к треугольнику AEF, — догадался Илюша.

— 49 —

— Точно… — протянула тетушка.

И у Илюши на душе стало на минутку полегче — он все-таки догадался. Ему хотелось еще кое о чем спросить, но доктор Уникурсальян не дал ему и рта раскрыть.

— Сделать можно, — возопил доктор, — а вот объяснить, почему надо делать так, а не иначе, то есть, почему этот способ в данном случае приводит к цели, — это потруднее!

— А когда-нибудь… — робко начал Илюша.

— Все должно двигаться в самом удивительном порядке, — заявила тетушка Розамунда, а ее неукротимый: язык принес откуда-то линейку с двумя отметками, приложил ее на чертеже к отрезку DE, и вышло точь-в-точь.

— Вот именно! — воскликнул доктор Четных и Нечетных — Это невсис Паппа Александрийца. Замысловато, а зато точь-в-точь! Терпи, мой любезнейший, сами греки тоже помучались как следует. А разобрать до конца не удалось. Только в шестнадцатом веке Франциск Виета разобрал[6]. Вот и смекай — нехитрая на вид задача, а в руки попросту не дается. — Вслед за этим доктор мрачно покосился на Илюшу и пробормотал угрожающе: — Внимание и молчание!..

— А ведь, пожалуй, теперь я начинаю соображать… — сказал Илюша.

— Прелестно! — отвечал командор. — Я вижу, что вы, любезнейший юноша, делаете некоторые успехи, как сказала одна заботливая мамаша, ухватив за ухо своего предприимчивого отпрыска в ту минуту, когда он забрался во вторую банку с вареньем.

— Только как это сделать? — со вздохом сказал Илюша. — То есть я не про варенье, а про невсис.

— Все в свое время, — отвечала Розамунда.