Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

• Название: Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики
• Автор: Борис Бирюков
• Издательство: Издательство "Знание"
• Жанр: Математика
• Год: 1977

Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.

---

37

5. Строгое определение цепочки равенств выглядит следующим образом: а) каждое равенство есть (одночленная) цепочка равенств;

б) если Х — цепочка равенств, в которой последней формулой справа является формула φ и φ=χ;, то Х=χ — тоже цепочка равенств:

в) Других цепочек равенств, кроме устанавливаемых на основе пп. а) и б), не имеется.

38

6. Этот список постулатов основан на перечне равносильностей алгебры высказываний, приведенных в кн.: П. С. Новиков. Элементы математической логики. М.» 1973. с. 42.

39

7. Название связано с тем, что в математической логике законы 9 и 10 впервые сформулировал Де Морган. Однако соответствующие правила были известны уже средневековым логикам.

40

8. Вместо этого «общего» правила замены равным в число постулатов можно было бы ввести более «конкретное» правило: если а = β то (γ & а) = (γ & β). (а & γ) = (β & γ); (γ V а) = (γ V β), (а V γ)-(β V γ)» ~а= ~β. «Общее» правило замены равным оказывается в этом случае производным правилом: его можно обосновать с помощью «конкретного» правила замены равным.

41

9. Обращаем внимание на то, что мы не стремимся к независимости постулатов нашего аппарата. Например, свойство рефлексивности отношения равенства оказывается в данном построении производным от свойств симметричности и транзитивности этого отношения и каждой из схем аксиом 7, 8, 11—15. Со свойствами отношения равенства можно подробнее ознакомиться по кн.: А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948, с. 90 и далее. О философских вопросах, связанных в равенством и отождествлением, см: Д. П. Горский. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961.

42

10. То есть (а → β) ≝ (~а V β), где ≝ есть знак «равенства выражений по определению» («графического» их совпадения). Мы будем считать, что к равенствам по определению тоже применимы правила [b] (ср. ниже с. 64—65 и 69—70).

43

11. Различного рода исчисления равенств оказываются весьма полезным инструментом во многих разделах логики и оснований математики (ср. кн.: Р. Л. Гудстеин. Рекурсивный математический анализ. М., 1970, в которой исчисление равенств используется для построения и исследования фрагментов конструктивной математики; о конструктивном направлении в математике см. ниже, гл. 5 и далее). Систематическое представление различных логических систем в виде соответствующих исчислений равенств было осуществлено Г. И. Сыркиным в его курсах лекций «Алгебраические методы в логике», читанных на философском факультете МГУ в 1974—1975 гг. 1

44

12. Столбцы для аргументов от остальной части таблицы мы отделяем двойной вертикальной чертой. Обращаем внимание на то, что фигурирующие в таблицах 0 и 1 не следует смешивать с константами 0 и 1.

45

13. С учетом интерпретации констант 0 и 1, которая будет дана ниже.

46

14. Мы не останавливаемся на некоторых деталях определения;

понятия «верные равенства формул», отсылая читателя к книге П. С. Новикова, указанной в примечании 6.

В этой книге говорится, правда, об отношении «равносильности» формул, но это по существу то же, что мы имеем в виду под совпадением функций (точнее, впрочем, то же, что в следующей интерпретации окажется равенством или равносильностью форм высказываний).

47

15. Вместо слов «формула а при данных значениях своих переменных переходит в истинное (или ложное) высказывание» мы будем употреблять и такое выражение: «формула а принимает такое-то (истинностное) значение», а также говорить: «формула а истинна (ложна)».

48

16. В связи с данной интерпретацией заметим, что со знаками → и ≡ можно было с самого начала поступить иначе: не вводить их определениями (как сокращения), а включить в сам язык формальной системы — в ее алфавит (расширив соответствующим образом пункт I в)). Это приведет к расширению понятия формулы и добавлению к системе постулатов схем аксиом для → и ≡. А именно, в пункт II (в) добавляется- «если а и β — формулы, то (а → β) и (а ≡ β) — тоже формулы», а к системе постулатов IV[a] присоединяются: 18. (а → β) = (~а V β) и 19. (а ≡ β) = (~а V β) & (а V ~β)). Пункт V при этом должен быть удален.

49

17. Ср. формулировку этих законов у Джевонса (с. 43). Очевидно, что способ «формульного» представления этих законов зависит от характера рассматриваемого логического аппарата.

рис. 7. Круговые схемы, изображающие пять возможных отношений между двумя произвольными классами а и β.

50

18. Аналогично, в школьной математике не пишут, скажем, ((а+b)+с)+d или (а+b)+(с+d) а записывают просто а+b+с+d.

51

19. Эрнет Шредер (E. Schroder, 1841—1902) является автором трехтомных «Лекций по алгебре логики» (Vorlesungen uber die Logik. Bd. 1-3, Leipzig, 1890—1905), знаменующих собой — вместе с трудами русского логика и астронома П. С. Порецкого (1846—1907) — вершину развития алгебры логики в прошлом столетии. Задача, которая приводится ниже, заимствована из первого тома «Лекций». Эту задачу приводила в своих лекциях по математической логике в Московском университете С. А. Яновская; мы приводим задачу в ее формулировке.

52

20. Впрочем, операции булевой алгебры можно задавать указанием и других наборов их свойств. О булевых алгебрах см., например:

И. М. Яглом. Алгебра Буля.— В сб.: «О некоторых вопросах современной математики и кибернетики». М., 1965.

53

21. Напоминаем, что здесь высказывание понимается «классически», то есть как выражение либо истинное, либо ложное, но не то и другое вместе.

54

22. При другом подходе булевой алгеброй для логической интерпретации нашего аппарата можно считать множество форм высказываний (рассматриваемых с точностью до отождествления равносильных форм) вместе с заданными на них операциями ~, &. V - такая булева алгебра высказываний оказывается алгеброй Линденбаума — Тарского, о которой см.: Е. Расёва, Р. Сикорскии. Математика метаматематики. М., 1972, с. 282 и далее.

55

23. Заметим, что булеву алгебру можно сформулировать и на основе отношения ≤ (или ≥). См: X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969.

56

24. Для этого имеются и другие причины. Дело в том, что в алгебре логики Буля можно определить операцию дизъюнкции, и тогда все равенства, верные в логике высказываний как булевой алгебре, будут верными и в теории Буля; с другой стороны, в рассмотренной нами теории можно определить строгую дизъюнкцию (например, так:

(А V B)≝((A & ~В) V (~А & В)), и тогда теория Буля может быть пред. ставлена как теория булевой алгебры (в узком смысле).

57

25. Понятие формы класса (классовой формы) следует понимать по аналогии с понятием «форма высказывания».

57

26. Ср. примечание 14.

58

27. Заметим, что при проверке схем аксиом, в каждой из которых фигурирует по две формы классов, следует учитывать возможные отношения между двумя произвольными классами а и β. Таких отношений может быть пять: классы а и β совпадают; класс а полностью входит в класс β, причем в β имеются элементы, не принадлежащие а; то же отношение, но с заменой а на β и наоборот; классы а и β имеют общие элементы, причем в а есть элементы, не принадлежащие классу β, и в β есть элементы, не принадлежащие а; классы а и β не имеют общих элементов. Эти отношения можно передать следующими схемами (рис. 7). Проверяя равенство, нужно убедиться в его справедливости при каждом из этих отношений.

59

28. Абстрактное понятие булевой алгебры есть достижение середины нашего века, в то время как его спецификации — на классах и высказываниях — восходят к логикам прошлого века. Применению аппарата булевой алгебры к исследованию релейно-контактных схем начало положили в 1935—1938 гг. В. И. Шестаков, А. Никасима и К. Шеннон, один из создателей кибернетики (см. его статью «Символический анализ релейных и переключательных схем», в русском переводе опубликованную в кн.: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963). «Приоритет в применении аппарата математической логики к вопросам электротехники (связанным с построением релейно-контактных схем), — отмечает С. А. Яновская, принадлежит... В. И. Шестакову, работа которого «Алгебра релейно-контактных схем»... написанная еще в январе 1935г., к сожалению, не была своевременно опубликована, хотя и легла в основу его кандидатской диссертации» (Послесловие редакции в кн: А. Тарекии. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948. с. 320).

60

1. Эти — и другие — высказывания выдающихся мыслителей о математике см. в кн.: Е. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y. 1962, XV—XVII.