Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

• Название: Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
• Автор: Алекс Беллос
• Издательство: КоЛибри
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012
• ISBN: 978-5-389-01770-2

Алекс Беллос, известный журналист, многие годы работавший для «Guardian», написал замечательную книгу о математике. Книга эта для всех — и для тех, кто любит математику, и для тех, кто считает ее невероятно скучной и далекой от жизни. Беллосу удалось создать настоящий интеллектуальный коктейль, где есть и история, и философия, и религия, и конечно же математика — чудесные задачки, которые пока не решишь, не заснешь!

---

Имеется девять индийских цифр

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Используя эти девять цифр вместе со знаком 0, который арабы называют «зефир», можно записать любое число, как и будет продемонстрировано.

Знакомством с индийской системой Запад во многом обязан именно «Liber Abaci» — гораздо больше, чем какой бы то ни было другой книге. В своем труде Фибоначчи описал, как можно умножать и делить, используя значительно более быстрые и элегантные методы, чем те, что были до того известны европейцам. В наши дни основы арифметики с использованием арабских числительных могут показаться безотрадно скучными, но в начале XIII века они воспринимались как настоящее чудо.

Впрочем, не все сразу согласились сменить привычки. Во-первых, профессиональные вычислители на абаке ощущали угрозу, исходящую от более простого метода, а во-вторых, время для публикации книги оказалось не очень удачным: «Liber Abaci» вышла в период Крестовых походов, и церковь испытывала понятную подозрительность ко всему, что имело арабскую, исламскую, подоплеку. Некоторые даже усмотрели в новой арифметике дело рук дьявола — причем как раз по причине ее гениальной изобретательности. Страх перед арабскими числительными проявился и в этимологии некоторых современных слов. Из зефира возник «зеро», то есть нуль, но кроме того и португальское «chifre», означающее рога [дьявола], а также английское слово «cipher» — шифр, код. Некоторые ученые видят причину этого в том, что с числами, включающими «зефир», работали втайне, вопреки воле церкви.

В 1299 году во Флоренции арабские числительные были запрещены, потому что, как утверждалось, плавно написанные арабские символы легче подделать, чем ясные и выразительные римские V и I. Из 0 можно сделать 6 или 9, а 1 ничего не стоит преобразовать в 7. Как следствие, римские числительные окончательно ушли со сцены лишь примерно в конце XV века. Отметим, что для утверждения отрицательных чисел потребовалось гораздо больше времени — это произошло лишь в XV столетии, — поскольку многие были уверены, что они используются при вычислениях незаконных денежных ссуд или при ростовщических сделках, считавшихся святотатственными.

С принятием арабских чисел арифметика смогла соединиться с геометрией и превратиться из инструмента лавочников в настоящий составной элемент западноевропейской математики. И тем самым открыла путь, ведущий к научной революции.

* * *

Еще один, менее далекий по времени, вклад Индии в мир чисел — это арифметические приемы, собрание которых известно как ведическая математика. Их открыл в начале XX века молодой свами[21] — Бхарати Кришна Тиртха[22]. Он утверждал, что обнаружил их в Ведах. (Как бы вы реагировали, если бы некий священник заявил, что нашел в Библии метод решения квадратных уравнений?) Ведическая математика основана на следующем списке из 16 коротких изречений, или сутр, которые, согласно Тиртхе, не прописаны где бы то ни было в Ведах в явном виде, но извлекаются оттуда «с помощью интуитивного озарения»:

1. На единицу больше, чем предыдущий

2. Все из 9 и последнее из 10

3. Вертикально и крест-накрест

4. Переставляй и применяй

5. Если сумма та же самая, то нуль

6. Если один в отношении, то другой есть нуль

7. Умножением и вычитанием

8. Дополнением и не-дополнением

9. Дифференциальное исчисление

10. По недостающему количеству

11. Частное и общее

12. Остатки по последней цифре

13. Последнее и дважды предпоследнее

14. На единицу меньше, чем предыдущий

15. Произведение суммы

16. Все множители

Всерьез ли это писалось? Да, и абсолютно всерьез. Тиртха был одним из наиболее уважаемых мудрецов своего поколения. В детстве он был вундеркиндом и к двадцати годам изучил санскрит, философию, английский язык, математику, историю и естественные науки, кроме того, стал талантливым оратором. Уже в самом начале своей взрослой жизни он понял, что ему предназначено судьбой занять видное положение в религиозных кругах Индии. Действительно, в 1925 году Тиртха был признан воплощением Шанкарачарьи и получил в свое ведение основанный древним святым, имеющий национальное значение монастырь в Пури, Орисса, на берегу Бенгальского залива. Этот пост — один из самых высокопоставленных в традиционном индуистском обществе. Как раз в Пури — центр фестиваля колесниц Рат Ятра — я и приехал, надеясь встретить там Шанкарачарью, официального главу ведической математики.

В 1930-х и 1940-х годах, исполняя роль Шанкарачарьи, Тиртха регулярно путешествовал по Индии — читал проповеди перед десятками тысяч людей и раздавал духовные наставления, но кроме того еще и пропагандировал свой новый способ вычислений. Те 16 сутр, учил он, следовало использовать так, как если бы они были математическими формулами. Хотя некоторые из них и могут показаться не слишком внятными, подобно названиям глав в книге для инженеров или нумерологическим мантрам, на самом деле они указывают на ясные правила. Одно из самых простых и понятных — правило номер два: «Все из 9 и последнее из 10». Его надо применять всякий раз, когда производится вычитание числа из степени десятки, например, 1000. Если я желаю вычислить, скажем, 1000 - 456, то я буду вычитать 4 из 9, 5 из 9 и 6 из 10: другими словами, первые два числа из 9, а последнее из 10. Ответ равен 544. (Остальные сутры предназначены для применения в других ситуациях, часть из которых мы рассмотрим ниже.)

Тиртха пропагандировал ведическую математику в качестве дара, который он бескорыстно преподносил своему народу. Тиртха утверждал, что математику, изучаемую в школе примерно 15 лет, можно выучить всего за восемь месяцев — нужно только использовать его сутры. Более того, он утверждал, что его систему можно распространить не только на арифметику, но и на алгебру, геометрию, математический анализ и астрономию. Благодаря моральному авторитету Тиртхи, его харизме и ораторскому таланту люди его просто обожали. На широкую публику, писал он, ведическая математика «произвела колоссальное впечатление, мало того — она вызывала трепет, изумляла и ошеломляла!». Для тех, кто спрашивал, является ли его метод математикой или магией, у него был готовый ответ: «Тут и то и другое. Магия, до тех пор, пока ты ее не понял, и математика, как только это случится».

* * *

В 1958 году, в уже весьма почтенном возрасте, Тиртха посетил Соединенные Штаты, что вызвало большую полемику — индуистским духовным лидерам не разрешалось покидать страну, и то был первый раз, когда какой бы то ни было Шанкарачарья выезжал за пределы Индии. Его поездка вызвала колоссальное любопытство в Соединенных Штатах, и, когда Тиртха добрался до Калифорнии, газета «Los Angeles Times» назвала его «одним из самых значительных — и наименее известных — людей в мире».

Программа пребывания Тиртхи была плотно забита лекциями и выступлениями на телевидении. Как правило, он говорил о мире во всем мире, однако одну лекцию он полностью посвятил ведической математике. Местом действия был Калифорнийский технологический институт, знаменитый Калтех — одно из самых престижных научных учреждений в мире. Тиртха, весивший не более пятидесяти килограммов, в традиционных одеяниях, торжественно уселся в кресло перед слушателями и тихим голосом, в котором, однако, слышались командные нотки, заговорил: «С самого детства я в равной степени увлекался как метафизикой, так и математикой. И не нахожу в этом ничего сложного».

Тиртха начал с того, что показал, как умножить 9 × 8 без использования таблицы умножения. Для этого надо воспользоваться сутрой «Все из 9 и последнее из 10», хотя лишь задним числом становится ясно почему.

Сначала он написал мелом на доске цифру 9, а за ней — разность между 9 из 10, составляющую -1. Ниже он написал цифру 8, а затем — разность между 8 и 10, составляющую -2:

Первую цифру ответа можно получить четырьмя различными способами: сложить числа в первом столбце и вычесть десять (9 + 8 - 10 = 7);

сложить числа во втором столбце и прибавить десять (-1 - 2 + 10 = 7);

сложить числа, стоящие на любой из диагоналей (9 - 2 = 7 или 8 - 1 = 7). В результате неизменно получается семь:

Вторая цифра ответа вычисляется путем перемножения двух чисел во втором столбце: (-1) × (-2) = 2. Окончательный ответ равен 72:

меня этот трюк вызывает чувство глубочайшего удовлетворения. Запись однозначного числа рядом с числом, выражающим его отличие от десяти, до некоторой степени подобна разборке данного числа на части с целью увидеть его внутреннее содержание, выявить его эго и альтерэго. Таким путем достигается более глубокое понимание поведения чисел. Пример типа 9 × 8, конечно, совершенно обыденный, но стоит только копнуть поглубже, как неожиданно проступят изящество и порядок. Данный метод работает не только для 9 × 8, но и для любой пары чисел. Тиртха далее написал мелом другой пример, 8 × 7: