Владимир Арнольд - Истории давние и недавние

• Название: Истории давние и недавние
• Автор: Владимир Арнольд
• Издательство: ФАЗИС
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 2002
• ISBN: 5-7036-0077-4

Новая книга выдающегося математика современности Владимира Игоревича Арнольда раскрывает ещё одну сторону его многогранного таланта — создание исторических миниатюр, удивительных и по форме, и по содержанию. Простые и яркие изложения собственных воспоминаний и событий многовековой давности всегда несут долю юмора и предстают на страницах книги столь реально, что невольно чувствуешь себя их участником. И ещё одно замечательное свойство «Историй» Арнольда: они всегда поучительны — раскрытые в них человеческие качества удивительным образом перекликаются с современностью. Наконец, многие исторические события и их детали, собранные в этой книжке, вряд ли стали бы нам известны, если бы не мудрость автора, помноженная на умение и страсть «рыться» в лучших библиотеках мира. Так что, без сомнения, эта книжка станет добрым спутником многих читателей.

---

С тех пор индусские студенты в Кембридже передают друг другу, как надо расстилать постель, и больше уже не замерзают. Странно, правда, что, несмотря на эти одеяла, вклад Рамануджана в математику остался непревзойдённым: его имя стоит рядом с именами Абеля и Галуа.

Один из самых знаменитых результатов Рамануджана связывает не вычислимые по отдельности (даже через числа π и е) слагаемые

удивительной формулой для их суммы:

Вот пример удивительных открытий Рамануджана — его теоремы о делимости чисел разбиений.

Для любого натурального числа n обозначим через р(n) число различных разбиений числа и на натуральные слагаемые. Например, р(3) = = 3, как это показывают три разбиения (других нет):

3 = 3, 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 1 +1.

Числа разбиений при n = 1, 2, 3…. образуют последовательность

р(n) = 1, 2,3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176….

которая много изучалась, начиная с Эйлера, связавшего её с теорией степенных рядов и градуированных колец в своём «Введении в анализ».

Рост этой последовательности при больших и описывается асимптотической формулой Харди-Рамануджана-Радемахера

Согласно майору британской артиллерии МакМагону,

р(200) = 3 972 999 029 388.

(Это число можно вычислить по дающему большую точность приближению в правой части формулы.)

В этой формуле всё удивительно: в левой части стоит целое число чисто комбинаторного происхождения, задающее, сколькими способами можно разбить n на слагаемые.

В правой части стоит комбинация квадратного корня и экспоненциальной функции, в которой вдобавок участвуют иррациональные числа: π = 3,14… (задающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Непера е = 2,718… (являющееся основой всего математического анализа).

То, что левая часть с большой точностью вычисляется по такой формуле, — совершенно удивительное открытие, где ярко проявляется фундаментальное единство всех частей математической науки: алгебры, геометрии, анализа, комбинаторики, теории вероятностей и техники приближенных вычислений.

Открытия Рамануджана делимости чисел разбиений состоят, например, в следующем:

числа р(5n + 4) [это 5, 30, 135…] делятся на 5.

Математика — экспериментальная наука, и свои открытия Рамануджан сделал, экспериментируя с приведённой выше последовательностью.

Восхищаясь гением Рамануджана, я всё же больше люблю чем-то более близких мне Абеля и Литлвуда. Доказательство Абеля неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени 5 и выше я в 1963 году перевёл на топологический язык теории римановых поверхностей и групп монодромий накрытий — это доказательство я рассказал тогда московским школьникам, и один из них впоследствии издал это доказательство в виде книжки (В.Б. Алексеев. «Теорема Абеля в задачах и решениях» — М.: Наука, 1976). Поэтому в 2001 году один талантливый польский математик (долго обучавшийся в Москве) опубликовал по-английски своё «новое топологическое доказательство теоремы Абеля» в журнале «Топологические методы в нелинейном анализе».

Отлёты саранчи и отселение оленей

Экологи и этологи давно уже начали исследование того, как решают мальтузианскую проблему животные различных видов. Было обнаружено, что ещё до того, как положение с пищей становится катастрофическим, наблюдается на первый взгляд странное поведение (вроде похода грызунов к морю, где они и утопают), целесообразное не для отдельной особи, но лишь для сохранения вида.

К сожалению, я забыл имена авторов открытий, о которых прочитал в одном из московских научно-популярных журналов (не помню даже, была ли это «Наука и жизнь», «Знание — сила», «Техника — молодежи», «Природа» или «Химия и жизнь»).

Первый случай — отлёт саранчи, порой за тысячи километров. Поразительно здесь то, что улетают не те особи, которые увидели, что их стало слишком много на ближнем поле, а лишь их дети. При этом даже и не обязательно, чтобы их действительно стало много. Можно просто расставить по полю уголковые отражатели, как на аэродроме, отражающие зеркальный образ зрителя, с какой бы стороны он ни подошёл. Тогда саранча примет свои собственные многочисленные отражения за соседних родственников. И в результате следующее поколение — дети — улетят.

Как именно родители передают детям знание о том, что надо улетать, неясно, но во всяком случае не речью и не показом. По-видимому, передача происходит химическим путем. Возможно даже, что достаточно накормить молодёжь особями, видевшими многочисленных «соседей», — тогда молодёжь захочет улететь, соберется в стаю и улетит.

Второй пример — олени. Когда в лесу их становится слишком много, они делятся на две группы. Первая группа — более настырные особи — захватывают лучшие угодья, где хватит пищи и им, и их потомкам.

Вторая группа — менее настырные — уходят на неудобные пастбища и там ведут тихую и мирную жизнь. По-видимому, они играют в весёлые игры, перепрыгивают друг через друга, занимаются наукой и философией, поют и сочиняют стихи — на вид они совершенно счастливы, и самое главное отличие от настырных их родственников состоит в том, что они вовсе не размножаются и не приносят потомства. В результате еды для всех хватает и олений род в лесу сохраняется.

За клюквой

Мало кто знает подмосковные клюквенные болота, но я давно отыскал их и практически каждую осень набираю ведро-другое клюквы километрах в десяти от дома, среди сосновых лесов междуречья Истры и Москвы-реки.

Последнее время поблизости появились дачные поселки, да и поляны внутри леса начали застраиваться; думаю, что это — преступление против лесоохранных законов, но члена соседнего сельсовета, пытавшегося протестовать, недавно застрелили подъехавшие на машине заинтересованные граждане. Новые жители, кажется, не разбираются в дарах леса, так что мои соперники на грибных и ягодных местах — давно уже знакомые мне крестьяне соседних деревень.

Недавно меня поразили на большом клюквенном болоте две молодые девушки, видимо сменившие своих матерей: они пришли с маленькими скамеечками, уселись на сфагновом поле и стали в нём рыться со страшной скоростью, вытаскивая ягоды клюквы с глубины сантиметров двадцать и, пожалуй, обгоняя меня.

Впрочем, вскоре собирательницы эти встретились с естественным затруднением: на болоте от воды тянет холодом (в середине поляны есть даже чёрное озеро, где я всегда купаюсь, пока оно не замёрзнет вконец). Чтобы отдать долг природе, девушки, не обращая на меня внимания (или не заметив — до меня было метров пятьдесят), не прекращая быстро собирать клюкву, спустили свои джинсы, облегчились, подобно коровам, и продолжили работу.

В этот день я перешёл на меньшее соседнее болото, где никого уже не встретил. Кроме клюквы, по краю этого болота я собирал столько белых грибов, что перевозка всего этого урожая домой на велосипеде стала затруднительной.

Хотя эти замечательные леса стали теперь (кажется, впервые после Петра I) вырубать, они всё ещё полны сокровищ.

Томография мозга, геометрия и алгебра

За последние десятилетия в изучении работы мозга произошёл кардинальный сдвиг. Компьютерная томография позволяет следить за активностью разных частей мозга при выполнении разных заданий с миллисекундной точностью, и механизмы, о которых можно было только догадываться, теперь изучены детально.

Вот несколько ярких открытий, о которых легко рассказать неспециалисту. Оказывается, мужской и женский мозг анатомически различны с рождения (это — статистика: у некоторых женщин мозг скорее мужской).

Например, часть мозга, отвечающая за умножение многозначных чисел, у женщин, в среднем, в несколько раз больше и сильнее, чем у мужчин. Напротив, пространственное ориентирование (будь то в лесу или в городе) легче даётся мужчинам — опять-таки по анатомическим причинам.

У женщин, как правило, более развито мозолистое тело, осуществляющее связи между левым и правым полушариями мозга. Поэтому они используют обычно оба полушария: и левое, склонное к логике и к последовательным действиям, и правое, ответственное за пространственную ориентировку и за эмоции.

Напротив, из мужчин большинство либо левополушарны, либо правополушарны, и склонны заменять своё менее привычное к работе полушарие более привычным: одни решают геометрические задачи алгебраически (как Декарт, изгнавший чертежи из геометрии), а другие применяют геометрию для решения алгебраических задач (как Ж.-Ж. Руссо, который говорит в «Исповеди», что не мог поверить выведенной им самим формуле «квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с удвоенным их произведением», пока не нарисовал чертёж).