Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

d) Можно сказать еще и так. Выше (§ 106.5) мы уже отметили, что в моменте алогически становящегося инобытия, если этот момент брать как таковой, в чистом виде, нет ровно никакой разницы между мнимым числом и числом иррациональным. Оба они предполагают, что некая рационально–вещественная величина вбирает в себя свое инобытие. Но какое именно инобытие? Внутри самой числовой структуры тоже есть инобытие; оно, как таковое, уже не выходит за ее пределы и оставляет самую субстанцию этого числа нетронутой. Число может объединиться с таким своим внутренним инобытием. Получится та внутренно–внешняя структура, которую мы выше именовали пределом. Но значит ли это, что число вошло тут в синтез с инобытием в абсолютном смысле, с инобытием в его субстанциальности, в его абсолютной независимости и самостоятельности? Конечно, нет. Это инобытие — внутреннее отличение[200] числа; и тут число входит поэтому в синтез со своим же собственным внутренним содержанием. Можно, однако, дать инобытию абсолютную, субстанциальную свободу. Это будет значить, что в поисках такого инобытия мы должны покинуть уже все число, а не ограничиваться только распут [ыв ]анием его внутреннего содержания. И вот синтез с таким инобытием будет уже синтез полный, абсолютный. Тут оба момента войдут в общий синтез действительно при полном равноправии. Это–то и есть комплексное число.

В рациональном числе тоже дан синтез бытия и инобытия, внутреннего и внешнего. Но этот синтез дан тут в свете первого члена, бытия, а инобытие тут подчинено ему, соразмеряется с ним. В иррациональном числе тоже дан синтез бытия и инобытия, внутреннего и внешнего. Но этот синтез предполагает здесь превалирование алогического инобытия, этой дробящейся внешности. Оба синтеза поэтому не могут быть окончательными. Первый, основанный на примере внутренней целостности, подчиняет все внешнее становление числа себе и считает его своим внутренним достоянием, в то время как оно свободно и от него само число не должно зависеть. Второй синтез, основанный на примере внешне–становящейся дробности, подчиняет все внутреннее себе и вовлекает его в стихию своего становления (то [т ] предел есть не что иное, как закон самого же этого становления), в то время как это внутреннее[201] должно быть совершенно свободно и независимо ни от чего внешнего. Тогда наступает пора для третьего синтеза, когда бытие и небытие, или внутреннее и внешнее, объединяются на основании своего чистого синтеза, т. е. когда примат остается не за внутренним бытием, не за внешним инобытием, а именно за их равноправным синтезом. Тогда и рождается комплексное число. Его вещественная часть есть та самая внутренняя целостность, которая уже не поглощает ничего внешнего и ничему внешнему не подчиняется. Его мнимая часть есть та самая внешняя выраженность, которая нисколько не мешает вещественной части существовать в ее полной свободе и которая также и сама нисколько ей не подчиняется, происходя из источника, субстанциально нового в отношении ее (из другого измерения). Самый же синтез тем не менее не есть [ни] только внутреннее <…>, ни только внешнее бытие, но совершенно новая положенность нового числового бытия, — бытие перспективное, в котором уже нельзя различить, где предмет и где его становление, где внешняя и где внутренняя его структура и направление.

В рациональном числе установлен только самый факт перспективы без ее конкретной формы, т. е. факт внут–ренно–внешнего синтеза; поэтому внутреннее и внешнее, логическое и алогическое просто совпадают тут и больше ничего. В иррациональном числе установлено то растекание факта перспективы, та алогизация внешности, без которой эта внешность не может превратиться в гибкий и податливый материал для перспективного оформления; поэтому внутреннее и внешнее тут просто не совпадают, и нужно бесконечно долго (и в (…) и в буквальном смысле бесконечно долго) трудиться, чтобы достигнуть этого совпадения. В положительном числе дан не голый бесформенный факт перспективы и не голая, оформляемая, текучая ее материальность, но сама перспектива в своей конкретной оформленности, фигурности, определенности и разграниченности.

е) Таким образом, для понятия мнимости достаточно уже простой антитезы рационального и иррационального. Все прочее может считаться детализацией, конгруэнцией и демонстрацией этого основного определения мнимости.

6. В заключение нашего рассмотрения комплексного числа необходимо было бы указать на ряд чисто математических теорем и правил в области этого учения. Делать это, однако, в данном месте не очень целесообразно ввиду того, что большинство интереснейших построений с этим мнимым i требует еще исследования таких китов математической мысли, как <…>, т. е. предполагает исследование трансцендентных чисел, чего мы еще не предпринимаем. Таков интеграл Коши, выражающий значение аналитической функции внутри замкнутой области регулярности через значения функции на контуре области. Такова теория Абелевых, и в частности эллиптических, функций или теория автомо[рфных] функций и т. д. Упомянем только ряд простейших положений теории комплексных чисел.

Таково прежде всего сложение комплексных чисел. Оно происходит по правилу обычного векторного сложения, через построение на слагаемых векторах параллелограмма. Как указывалось выше (§ [106]), это есть признак того, что комплексное число предполагает переход в иное измерение. Сложить два комплексных числа потому и равносильно сложению двух разнонаправленных вещественных векторов.

Комплексное умножение, предполагающее для множимого числа его растяжение и поворот, отличается от векторного (внешнего) умножения в вещественной области тем, что произведение остается здесь в той же плоскости и сама плоскость не получает никакого вещественного направления, как в умножении вещественных векторов.

Извлечение корня из комплексного числа геометрически есть не что иное, как деление окружности на то или иное число равных частей. А это в комплексных случаях должно предполагать переход окружности в иное измерение, т. е. [пониматься] как ее изгибание.

Известна теорема Коши: интеграл от регулярной аналитической функции, взятый по замкнутому контуру, равен нулю в области ее регулярности. Но, как известно, то же самое явление мы замечаем и в криволинейных интегралах. А криволинейный интеграл предполагает две вещественных переменных. Следовательно, и здесь мы наталкиваемся на тот факт, что комплексное число (или [мнимое]) соответствует переходу из одного измерения в другое.

Эту перспективность, лежащую в основе мнимой величины, нетрудно было бы показать и на многих других примерах как из математического анализа, так и из гидродинамики, теории[202] упругости, электромагнитной теории света, из теории потенциала и др.

О МЕТОДЕ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ В ЛОГИКЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая работа имеет своею целью дать маленькое, но самостоятельное исследование одного из самых важных вопросов марксистско–ленинской теории, именно вопроса о текучем, подвижном, становящемся характере мышления, который вытекает как из того обстоятельства, что мышление есть отражение подвижного бытия и вечно становящейся материи, так и вследствие необходимости рассматривать все существующее диалектически. Мы умеем рассматривать природу и мир как вечно подвижные; но подвижность и текучесть мышления очень часто остается у нас только на бумаге, и, приступая к логике, т. е. к науке о мышлении, мы очень часто оказываемся в цепях самой доморощенной метафизики и рассматриваем понятия как неподвижные и абсолютно непроницаемые субстанции. Классики марксизма–ленинизма много сделали для того, чтобы приучить нас к текучему и становящемуся характеру понятия, суждения и умозаключения; и метод бесконечно–малых наряду со многими другими точками зрения играл у них в этом отношении далеко не последнюю роль. Конкретизировать и развивать соответствующие указания классиков марксизма–ленинизма и является целью настоящей работы.

К сожалению, как ни ценна сама математика, ее материалы в логическом отношении являются совершенно неразработанными у самих математиков, страдающих почти всегда слишком большим формализмом, техницизмом и даже номинализмом. Им, напр., часто кажется, что они витают в каком–то неприступном идеальном царстве мысли и что их построения ровно ничему не соответствуют объективному. Даже и прямое значение математики в механике и технике очень часто понимается вполне махистски, т. е. так, что математика продолжает быть у них даже и здесь чисто априорной дисциплиной, как будто не существует никакой материи или она не нужна для этих математических построений. Покамест в математике не разрушен этот формализм, фикционизм и номинализм, нечего и думать принимать без критики то, что говорят сами математики. Приходится применять их методы на основе их конкретной разработки в самой математике, но никак не в силу формулировок и интерпретаций их у самих математиков. У математиков бывает часто даже прямое презрение к другим наукам, с их точки зрения недостаточно точным, и какое–то бахвальство своим особым, привилегированным положением среди прочих научных работников, наплевизм на огромные усилия человеческого ума понимать мир не только математически. В основе такого сепаратизма лежит наивное убеждение в том, будто бы математические истины никак не связаны с человеческим опытом и что они не уходят своими корнями в эмпирически наблюдаемую объективную реальность.